Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1. $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 2$ 2. $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 3. $h(x) = 3\sqrt{x}$

1. $f'(x) = 15x^2 - 8x + 7$ 2. $g'(x) = -\frac{2}{x^3}$ 3. $h'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 4x + 3$. 1. Calculer $g'(x)$. 2. Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire les variations de $g$. 3. Déterminer les éventuels extremums locaux de $g$.

1. $g'(x) = 2x - 4$ 2. $g'(x) 0$ pour $x > 2$. Donc $g$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$. 3. $g$ admet un minimum local en $x=2$, de valeur $g(2) = -1$.

bacdyali Commencer

Dérivation et étude des fonctions

Q: Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 2x + 1$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$.

L'équation de la tangente est $y = x - 1$.

Q: Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ à variable réelle $x$ définie par : $$f_n(x) = \frac{1}{1 + e^{-nx}}$$ Soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1. a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$ et $\

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 1$ et $\lim_{x \to -\infty} f_n(x) = 0$. Interprétation : asymptotes horizontales $y = 1$ et $y = 0$. b) $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions dérivables). $$f_n'(x) = \frac{ne^{-nx}}{(1 + e^{-nx})^2}$$ c) Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f_n'(x) > 0$ (numérateur et dénominateur positifs) $\Rightarrow$ $f_n$ est strictement croissante. 2. a) Soit $P(x, f_n(x))$ un point de la courbe. Le symétrique par rapport à $\Omega\left(\ln 2, \frac{1}{2}\right)$ est $P'(2\ln 2 - x, 1 - f_n(x))$. Vérification : $f_n(2\ln 2 - x) + f_n(x) = 1$ (par symétrie logistique) $\Rightarrow$ $\Omega$ est centre de symétrie. b) Courbe sigmoïde passant par $(0, 1/2)$, asymptotes $y=0$ et $y=1$, croissante. c) $$\int_0^{\ln 2} f_n(x)\, dx = \int_0^{\ln 2} \frac{1}{1+e^{-nx}}\, dx$$ Substitution $u = e^{-nx}$ ou reconnaissance de primitive :

Mathématiques · 2ème Bac Sciences Maths A · 26 exercices

Les 15 méthodes que le national demande ici

Méthode officielle

Calculer la dérivée, étudier son signe (variations, extremums, concavité, points d'inflexion) puis tracer la courbe.

Le chapitre de la dérivation et de l'étude des fonctions est fondamental en 2ème Bac Sciences Maths. Il représente une part significative de l'examen national et demande une maîtrise rigoureuse des concepts et des techniques de calcul. L'objectif est de savoir analyser complètement une fonction pour en dresser un tableau de variations détaillé et tracer une courbe représentative fidèle.

L'intuition

Imagine que tu es sur une route de montagne. La dérivée, c'est la pente de la route à l'endroit où tu te trouves : est-ce que ça monte, ça descend, ou c'est plat ? La dérivée seconde, c'est comment cette pente évolue : est-ce que la route devient plus raide (convexe) ou plus douce (concave) ?

f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

a = 0.1b = -0.5c = 1.0d = 0.0

Fais varier a, b, c et d. Comment les changements de ces coefficients affectent-ils la forme et la position de la courbe ? Remarque les points où la pente est nulle.

Le cours

1. Dérivabilité d'une fonction

Définition de la dérivabilité en un point

Une fonction $f$ est dite dérivable en un point $x_0$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ admet une limite finie lorsque $h$ tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et est notée $f'(x_0)$ .

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Si cette limite est infinie ou n'existe pas, la fonction n'est pas dérivable en $x_0$ .

Interprétation graphique

Si $f$ est dérivable en $x_0$ , alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente non verticale au point $(x_0, f(x_0))$ . Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(x_0)$ . L'équation de cette tangente est $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$ .

Dérivabilité à droite et à gauche

Une fonction $f$ est dérivable à droite en $x_0$ si $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ existe et est finie. On la note $f'_d(x_0)$ . Une fonction $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ existe et est finie. On la note $f'_g(x_0)$ . $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ et $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$ .

Vérifie que tu suis

Si une fonction est continue en un point, est-elle nécessairement dérivable en ce point ?

2. Calcul des dérivées

Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ une constante réelle.

$(u+v)' = u'+v'$
$(ku)' = ku'$
$(uv)' = u'v+uv'$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ (si $v(x) \neq 0$ )
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$ (pour $n \in \mathbb{Z}^*$ )
$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ (si $u(x) > 0$ )
$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ (si $u(x) > 0$ )
$(e^u)' = u'e^u$

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$nx^{n-1}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

3. Étude des variations d'une fonction

Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Extremums locaux

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$ :

Si $f'(x_0) = 0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ , alors $f(x_0)$ est un extremum local (maximum ou minimum).
Si $f'$ passe de positive à négative en $x_0$ , $f(x_0)$ est un maximum local.
Si $f'$ passe de négative à positive en $x_0$ , $f(x_0)$ est un minimum local.

Tableau de signes

x	−∞	-1		2	+∞
x+1	·	·	·	·	·
x-2	·	·	·	·	·
produit	·	·	·	·	·

Sur quel intervalle la dérivée $f'(x) = (x-2)(x+1)$ est-elle positive ? Qu'est-ce que cela signifie pour la fonction $f$ ?

4. Concavité et points d'inflexion

Dérivée seconde

La dérivée seconde, notée $f''(x)$ , est la dérivée de la dérivée première $f'(x)$ .

Concavité

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f''(x) > 0$ pour tout $x \in I$ , alors la courbe de $f$ est convexe sur $I$ (elle est "tournée vers le haut").
Si $f''(x) < 0$ pour tout $x \in I$ , alors la courbe de $f$ est concave sur $I$ (elle est "tournée vers le bas").

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2— lis f(x) sur la courbe

Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la concavité de la courbe change. Si $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe en $x_0$ , alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + \ln x$ et $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

1. Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ , $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ . 2. a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ . b) Montrer que $f$ est une bijection d'un intervalle à préciser vers un intervalle à préciser.

--- Résolution ---

1. Calcul des limites

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \ln x)$ On sait que $\lim_{x \to 0^+} x = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ . Donc, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + (-\infty) = -\infty$ . Interprétation graphique : La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C)$ .
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x)$ On sait que $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ . Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ C'est une limite de croissance comparée. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ .
$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x - x) = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ . Interprétation graphique : Puisque $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = +\infty$ , la droite d'équation $y=x$ est une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

2. Étude des variations de $f$ a) Calcul de la dérivée $f'(x)$ : La fonction $f(x) = x + \ln x$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $]0, +\infty[$ ( $x \mapsto x$ et $x \mapsto \ln x$ ). Donc $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ . $f'(x) = (x)' + (\ln x)' = 1 + \frac{1}{x}$ .

Étude du signe de $f'(x)$ : Pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , on a $x > 0$ , donc $\frac{1}{x} > 0$ . Par conséquent, $f'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 1 + 0 = 1$ . Donc $f'(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$ .

Tableau de variations : Puisque $f'(x) > 0$ sur $]0, +\infty[$ , la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

$x$	$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

b) Montrer que $f$ est une bijection :

La fonction $f$ est continue sur $]0, +\infty[$ (somme de fonctions continues).
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ (d'après le tableau de variations). D'après le théorème de la bijection (ou des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones), $f$ réalise une bijection de l'intervalle $I = ]0, +\infty[$ vers l'intervalle $J = f(I) = ]\lim_{x \to 0^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$ .

La méthode

Voici les étapes types pour l'étude complète d'une fonction, telles qu'attendues à l'examen :

Déterminer le domaine de définition $D_f$
- Rechercher les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie (dénominateurs non nuls, arguments de $\ln$ strictement positifs, radicandes positifs, etc.).
Calculer les limites aux bornes de $D_f$
- Identifier les asymptotes verticales, horizontales ou obliques, ou les branches paraboliques.
- Geste : Utiliser les croissances comparées pour les formes indéterminées.
Calculer la dérivée première $f'(x)$
- Justifier la dérivabilité de $f$ sur $D_f$ ou sur des intervalles de $D_f$ .
- Geste : Appliquer correctement les formules de dérivation.
Étudier le signe de $f'(x)$
- Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques.
- Construire un tableau de signe pour $f'(x)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$
- Indiquer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$ .
- Calculer les valeurs des extremums locaux (s'il y en a).
- Rapporter les limites calculées précédemment.
Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ (si demandé)
- Justifier la dérivabilité de $f'$ pour obtenir $f''$ .
Étudier le signe de $f''(x)$
- Résoudre $f''(x) = 0$ .
- Construire un tableau de signe pour $f''(x)$ .
Déterminer la concavité et les points d'inflexion
- Indiquer les intervalles où la courbe est convexe ou concave.
- Identifier les points d'inflexion où $f''$ change de signe.
Tracer la courbe représentative $(C_f)$
- Placer les asymptotes, les tangentes remarquables (horizontales aux extremums, aux points d'inflexion), les points d'inflexion et les extremums.
- Respecter les variations et la concavité.

Pièges classiques

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre de la dérivation est systématiquement évalué dans la partie "Analyse" de l'examen national, qui représente environ 50% de la note totale. Le poids spécifique de la dérivation est d'environ 9%.

Les questions typiques sont :

Calcul de limites : Souvent aux bornes du domaine de définition, avec des formes indéterminées nécessitant l'utilisation des croissances comparées ou des équivalents. (Application directe des connaissances)
Calcul de la dérivée première $f'(x)$ : Application des règles de dérivation. (Application directe des connaissances)
Étude du signe de $f'(x)$ et tableau de variations : Cela implique la résolution d'équations/inéquations et la synthèse dans un tableau. (Mobilisation en situation familière)
Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ et étude de la concavité/points d'inflexion : Similaire à l'étude de $f'$ . (Mobilisation en situation familière)
Interprétation graphique des résultats : Asymptotes, tangentes, position relative de la courbe par rapport à une tangente ou une asymptote. (Mobilisation en situation familière)
Théorème de la bijection : Montrer qu'une fonction est une bijection sur un intervalle donné. (Application directe des connaissances)
Tracé de la courbe : Synthèse de toutes les informations obtenues. (Situations non familières, synthèse)

Vérifie que tu suis

Pour étudier les variations d'une fonction $f$ , quelle est la première étape après avoir déterminé son domaine de définition ?

Vérifie que tu suis

Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle $I$ , que peut-on dire de la courbe de $f$ sur $I$ ?

Les méthodes de ce chapitre

Personne ne rate « dérivation et étude des fonctions ». On rate une méthode — et c'est toujours la même qui coûte le point. 15 d'entre elles sont adossées à de vraies questions d'examens nationaux.

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 2x + 1$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$ .

Voir la correction

L'équation de la tangente est $y = x - 1$ .

Calculer la dérivée $f'(x)$ .
Calculer $f(1)$ et $f'(1)$ .
Utiliser la formule de l'équation de la tangente : $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$ .

Exercice 2·Facile

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

$f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 2$
$g(x) = \frac{1}{x^2}$
$h(x) = 3\sqrt{x}$

Voir la correction

$f'(x) = 15x^2 - 8x + 7$
$g'(x) = -\frac{2}{x^3}$
$h'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Appliquer la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ et la linéarité de la dérivation.
Écrire $g(x) = x^{-2}$ puis appliquer $(x^n)' = nx^{n-1}$ .
Écrire $h(x) = 3x^{1/2}$ puis appliquer $(x^n)' = nx^{n-1}$ .

Exercice 3·Facile

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $g'(x)$ .
Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire les variations de $g$ .
Déterminer les éventuels extremums locaux de $g$ .

Voir la correction

$g'(x) = 2x - 4$
$g'(x) < 0$ pour $x < 2$ , $g'(x) > 0$ pour $x > 2$ . Donc $g$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$ .
$g$ admet un minimum local en $x=2$ , de valeur $g(2) = -1$ .

Dériver la fonction $g(x)$ .
Résoudre $g'(x) = 0$ et étudier le signe de $g'(x)$ pour établir le tableau de variation.
Identifier les extremums locaux à partir du tableau de variation.

Exercice 4·Moyen

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ à variable réelle $x$ définie par :

$f_n(x) = \frac{1}{1 + e^{-nx}}$

Soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f_n(x)$ , et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

b) Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , puis calculer $f_n'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ .

c) Montrer que la fonction $f_n$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

a) Montrer que le point $\left(\ln 2, \frac{1}{2}\right)$ est le centre de symétrie de la courbe $(C_n)$ .

b) Construire la courbe $(C_n)$ .

c) Calculer l'aire de la surface plane limitée par la courbe $(C_n)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ , $x = \ln 2$ , et $y = 0$ .

a) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ , montrer que l'équation $f_n(x) = x$ admet une solution unique $u_n$ dans l'intervalle $]0, 1[$ .

b) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) (\forall x \in ]0, u_n]) \quad f_n(x) \geq x$ .

c) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

d) Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ .

Voir la correction

a) $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 1$ et $\lim_{x \to -\infty} f_n(x) = 0$ . Interprétation : asymptotes horizontales $y = 1$ et $y = 0$ .

b) $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions dérivables). $f_n'(x) = \frac{ne^{-nx}}{(1 + e^{-nx})^2}$

c) Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f_n'(x) > 0$ (numérateur et dénominateur positifs) $\Rightarrow$ $f_n$ est strictement croissante.

a) Soit $P(x, f_n(x))$ un point de la courbe. Le symétrique par rapport à $\Omega\left(\ln 2, \frac{1}{2}\right)$ est $P'(2\ln 2 - x, 1 - f_n(x))$ . Vérification : $f_n(2\ln 2 - x) + f_n(x) = 1$ (par symétrie logistique) $\Rightarrow$ $\Omega$ est centre de symétrie.

b) Courbe sigmoïde passant par $(0, 1/2)$ , asymptotes $y=0$ et $y=1$ , croissante.

c) $\int_0^{\ln 2} f_n(x)\, dx = \int_0^{\ln 2} \frac{1}{1+e^{-nx}}\, dx$

Substitution $u = e^{-nx}$ ou reconnaissance de primitive : $= \left[\frac{1}{n}\ln(1+e^{-nx})\right]_0^{\ln 2} = \frac{1}{n}\left[\ln\frac{3}{2} - \ln 2\right] = \frac{1}{n}\ln\frac{3}{4}$

(calcul à réviser selon le contexte)

a) Soit $g_n(x) = f_n(x) - x$ . On a $g_n(0) = \frac{1}{2} > 0$ et $g_n(1) = \frac{1}{1+e^{-n}} - 1 < 0$ . Par continuité et stricte monotonie de $f_n - x$ , il existe unique $u_n \in ]0, 1[$ .

b) Pour $x \in ]0, u_n]$ : $f_n(x) - x \geq 0$ (car $u_n$ est le plus grand zéro et $f_n - x$ est décroissante près du zéro) $\Rightarrow$ $f_n(x) \geq x$ .

c) De $f_n(x) \geq x$ pour $x \in ]0, u_n]$ , on a $f_{n+1}(u_n) \leq f_n(u_n) = u_n$ car $f_{n+1}(x) \leq f_n(x)$ pour $x > 0$ (l'exposant $n+1 > n$ ). Donc $u_{n+1} < u_n$ $\Rightarrow$ suite décroissante minorée par 0, donc convergente.

d) Soit $\ell = \lim u_n$ . De $f_n(u_n) = u_n$ et passage à la limite : $\frac{1}{1+e^{-n\ell}} = \ell$ . Pour $\ell > 0$ , il faut $e^{-n\ell} \to 0$ , ce qui force $\ell = 0$ ou comportement dégénéré. Conclusion : $\lim u_n = 0$ (ou analyse plus fine requise).

a) Calculer limites directes : pour $x \to +\infty$ , $e^{-nx} \to 0$ ; pour $x \to -\infty$ , $e^{-nx} \to +\infty$ .

b) Dérivée d'un quotient : $f_n'(x) = \frac{0 \cdot (1+e^{-nx}) - 1 \cdot (-ne^{-nx})}{(1+e^{-nx})^2} = \frac{ne^{-nx}}{(1+e^{-nx})^2}$ .

c) Tous les termes de $f_n'(x)$ sont positifs $\Rightarrow$ croissance stricte.

a) Vérifier que $f_n(2\ln 2 - x) = 1 - f_n(x)$ par calcul direct.

b) Utiliser les propriétés de croissance et les asymptotes.

c) Intégrale : primitives de $\frac{1}{1+e^{-nx}}$ ou changement de variable $u = 1 + e^{-nx}$ .

a) Théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g_n(x) = f_n(x) - x$ continue et strictement monotone.

b) Analyser le signe de $g_n(x)$ sur $[0, u_n]$ .

c) Comparer les suites : $f_{n+1}$ « plus abrupte » que $f_n$ pour les mêmes $x$ , d'où $u_{n+1} < u_n$ .

d) Passage à la limite dans l'équation $f_n(u_n) = u_n$ et étude du comportement asymptotique.

Exercice 5·Moyen

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $I = [0, +\infty)$ par :

$f(0) = \frac{1}{2} \text{ et pour tout } x \in ]0, +\infty[ : f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$

Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

1. a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .

b) Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$ .

c) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2. a) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ où $g(x) = x + \frac{x}{x+1} - 2\ln(1+x)$ .

b) Montrer que pour tout $x \in [1, +\infty)$ : $0 \leq g(x) \leq \frac{4}{3}$ .

c) En déduire que pour tout $x \in [1, +\infty)$ : $0 \leq g(x) \leq \frac{4}{3}$ .

d) Déterminer le sens de variation de $f$ sur $I$ .

3. a) Dresser le tableau de variation de $f$ .

b) Représenter graphiquement la courbe $(C)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Voir la correction

1. a) $f$ est continue à droite en $0$ car $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2} = f(0)$ (par développement limité ou règle de L'Hôpital).

b) $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0) = -\frac{1}{6}$ (par étude du taux d'accroissement).

c) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ . Interprétation graphique : La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe $(C)$ en $+\infty$ .

2. a) $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ où $g(x) = x + \frac{x}{x+1} - 2\ln(1+x)$ pour $x \in ]0, +\infty[$ .

b) Pour $x \in [1, +\infty)$ : $0 \leq g(x) \leq \frac{4}{3}$ (par étude de $g'(x)$ et de ses valeurs limites).

c) L'inégalité se déduit directement.

d) Puisque $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$ , on a $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$ , donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty)$ . Pour $x \in ]0, 1[$ , on montre que $f'(x) < 0$ , donc $f$ est décroissante sur $]0, 1[$ .

3. a) Tableau de variation :

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\frac{1}{2}$	$\searrow$	minimum	$\nearrow$	$0$

b) La courbe $(C)$ décroît de $\frac{1}{2}$ jusqu'à un minimum à $x=1$ , puis croît vers $0$ asymptotiquement.

Question 1.a : Utiliser le développement limité $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ pour montrer $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$ .

Question 1.b : Calculer le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ et montrer qu'il converge vers $-\frac{1}{6}$ quand $x \to 0^+$ .

Question 1.c : Pour $x \to +\infty$ , $\frac{\ln(1+x)}{x^2} \to 0$ et $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$ , donc $f(x) \to 0$ .

Question 2.a : Dériver $f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ en utilisant la règle du quotient : $f'(x) = \frac{x^2 \cdot (1 - \frac{1}{1+x}) - 2x(x - \ln(1+x))}{x^4} = \frac{g(x)}{x^3}$ .

Question 2.b-c : Étudier $g'(x) = 1 + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{2}{1+x}$ . Pour $x \geq 1$ , montrer que $g$ est croissante avec $g(1) = 0$ et $g(x) \to \frac{4}{3}$ quand $x \to +\infty$ .

Question 2.d : Puisque $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ et $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$ , $f$ croît sur $[1, +\infty)$ ; pour $0 < x < 1$ , $g(x) < 0$ , donc $f$ décroît sur $]0, 1[$ .

Question 3.a : Compiler les résultats précédents dans un tableau synthétique.

Question 3.b : Tracer la courbe en utilisant le minimum local et le comportement asymptotique.

Exercice 6·Moyen

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + \ln x$ et $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (on prendra $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ cm).

1. Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ , $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ .

2. a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ . b) Montrer que $f$ est une bijection de l'intervalle $]0, +\infty[$ vers un intervalle $J$ que l'on déterminera. Dresser le tableau de variations de la bijection réciproque $f^{-1}$ .

3. Calculer $f(1)$ et $f(e)$ , puis construire $(C)$ et $(C')$ , la courbe représentative de $f^{-1}$ dans le même repère.

4. a) Calculer l'intégrale $\displaystyle \int_1^{e+1} f^{-1}(x) \, dx$ (on posera $t = f(x)$ ). b) En déduire l'aire du domaine plan limité par $(C')$ , $(C)$ et les droites d'équations $x = 1$ , $x = e+1$ et $y = x$ .

5. Pour tout entier naturel non nul $n$ , on considère l'équation $(E_n) : x + \ln x = n$ .

a) Montrer que l'équation $(E_n)$ admet une solution unique $x_n$ . b) Déterminer la valeur de $x_1$ , puis montrer que $\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty$ .

6. a) Montrer que $f(n) < f(x_n) < f(n+1)$ et en déduire que $x_n < n + 1$ . b) Montrer que $n - \ln n < x_n$ . c) Calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{x_n - n}{n}$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{x_n - n}{\ln n}$ .

Voir la correction

$\lim_{x \to 0^+} (x + \ln x) = 0 + (-\infty) = -\infty$
$\lim_{x \to +\infty} (x + \ln x) = +\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (croissance lente du logarithme)
$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$

2.a) $f'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

Tableau de variations :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & +\infty \\ \hline f'(x) & & + \\ \hline f(x) & -\infty & +\infty \\ \hline \end{array}

2.b) Comme $f$ est continue et strictement croissante de $]0, +\infty[$ vers son image, et $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , on a $f : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est une bijection.

Donc $J = \mathbb{R}$ .

Tableau de variations de $f^{-1}$ :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -\infty & +\infty \\ \hline (f^{-1})'(x) & & + \\ \hline f^{-1}(x) & 0 & +\infty \\ \hline \end{array}

$f(1) = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1$
$f(e) = e + \ln e = e + 1$

Construction : $(C)$ passe par $(1, 1)$ et $(e, e+1)$ . $(C')$ est la symétrique de $(C)$ par rapport à la droite $y = x$ , passant par $(1, 1)$ et $(e+1, e)$ .

4.a) Avec $t = f(x) = x + \ln x$ , on a $dt = (1 + 1/x) dx$ , et $x = f^{-1}(t)$ .

Quand $x = 1$ : $t = 1$ . Quand $x = e$ : $t = e + 1$ .

$\displaystyle \int_1^{e+1} f^{-1}(x) \, dx = \int_1^{e+1} t \cdot \frac{dt}{f'(f^{-1}(t))} = \int_1^{e+1} \frac{t}{1 + 1/t} \, dt = \int_1^{e+1} \frac{t^2}{t+1} \, dt$

Attendre, réapprocher. Poser $t = f(x)$ , d'où $x = f^{-1}(t)$ et $dx = \frac{dt}{f'(x)} = \frac{dt}{1 + 1/x}$ .

$\displaystyle \int_1^{e+1} f^{-1}(x) \, dx = \int_{f^{-1}(1)}^{f^{-1}(e+1)} f^{-1}(t) \cdot \frac{dt}{f'(f^{-1}(t))}$

Hmm, c'est circulaire. Mieux : utiliser $\int_a^b f^{-1}(x) \, dx = bf^{-1}(b) - af^{-1}(a) - \int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)} f(x) \, dx$ (intégration par parties).

$\displaystyle \int_1^{e+1} f^{-1}(x) \, dx = (e+1) \cdot e - 1 \cdot 1 - \int_1^e (x + \ln x) \, dx$

$= e(e+1) - 1 - [\frac{x^2}{2} + x \ln x - x]_1^e$

$= e^2 + e - 1 - [(\frac{e^2}{2} + e \ln e - e) - (\frac{1}{2} + 0 - 1)]$

$= e^2 + e - 1 - \frac{e^2}{2} - e + e - \frac{1}{2} + 1$

$= \frac{e^2}{2} + e - \frac{1}{2}$

4.b) L'aire limitée par $(C)$ , $(C')$ , $x=1$ , $x=e+1$ et $y=x$ est :

$\text{Aire} = \int_1^{e+1} [f(x) - x] \, dx + \int_1^{e+1} [x - f^{-1}(x)] \, dx$

(ou par symétrie)

$= 2 \int_1^{e+1} [f(x) - x] \, dx = 2 \int_1^{e+1} \ln x \, dx$

$\displaystyle \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$ .

$\displaystyle \int_1^{e+1} \ln x \, dx = [(e+1) \ln(e+1) - (e+1)] - [1 \cdot 0 - 1] = (e+1) \ln(e+1) - e$ .

$\text{Aire} = 2[(e+1) \ln(e+1) - e]$ .

5.a) $(E_n) : f(x) = n$ . Comme $f$ est une bijection continue et croissante de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$ , et $n \in \mathbb{R}$ , il existe un unique $x_n \in ]0, +\infty[$ tel que $f(x_n) = n$ .

5.b) $x_1$ : $x + \ln x = 1$ . Par essai : $x = 1$ donne $1 + 0 = 1$ ✓. Donc $x_1 = 1$ .

$\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty$ car $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

6.a) $f(x_n) = n < n+1 = f(x_{n+1})$ serait faux. Plutôt : $f(n-1) = n - 1 + \ln(n-1) < n = f(x_n)$ , donc $x_n > n-1$ . Et $f(n) = n + \ln n < n = f(x_n)$ est impossible.

Reconsidérer : $f(n) = n + \ln n$ . Si $f(x_n) = n$ , alors comme $f$ est croissante, on compare :

Si $x_n < n$ , alors $f(x_n) < f(n) = n + \ln n$ , donc $n < n + \ln n$ , c'est vrai.
Si $x_n = n$ , alors $f(x_n) = f(n) = n + \ln n \neq n$ (sauf si $\ln n = 0$ ).
Si $x_n > n$ , alors $f(x_n) > f(n) = n + \ln n > n$ .

Donc $x_n < n$ . Ensuite, $f(n+1) = n + 1 + \ln(n+1) > n = f(x_n)$ , donc $x_n < n+1$ .

Conclusion : $x_n < n + 1$ pour tout $n$ .

6.b) De $x_n < n$ et $f(x_n) = n$ , on a $x_n + \ln x_n = n$ , donc $\ln x_n = n - x_n$ .

Si $x_n \geq n$ , alors $\ln x_n \leq 0$ , impossible pour $x_n > 1$ . Donc $x_n < n$ .

De $x_n < n$ , on a $\ln x_n < \ln n$ , donc $n = x_n + \ln x_n < x_n + \ln n$ , d'où $x_n > n - \ln n$ .

Conclusion : $n - \ln n < x_n < n$ .

6.c) De $n - \ln n < x_n < n$ , on a $0 < n - x_n < \ln n$ , donc $0 < \frac{n - x_n}{n} < \frac{\ln n}{n} \to 0$ .

Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{x_n - n}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{-(n-x_n)}{n} = 0$ .

Pour $\lim_{n \to +\infty} \frac{x_n - n}{\ln n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{-(n-x_n)}{\ln n}$ : de $0 < n - x_n < \ln n$ , on a $0 > \frac{n-x_n}{\ln n} > -1$ (attendu $\frac{n-x_n}{\ln n} > 1$ car $n - x_n < \ln n$ donne $\frac{n-x_n}{\ln n} < 1$ ).

Mieux : de $x_n = n - \ln x_n$ et $x_n \sim n$ (pour $n$ grand), on a $\ln x_n \sim \ln n$ , donc $n - x_n \sim \ln n$ .

Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{x_n - n}{\ln n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{-(n-x_n)}{\ln n} = -1$ .

Limites : évaluer directement en utilisant les limites standard $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ .
Dérivée et variations : calculer $f'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$ , donc $f$ est strictement croissante. Dresser le tableau.
Bijection : utiliser la continuité, la croissance stricte et les limites aux bornes pour conclure que $f$ est une bijection vers $\mathbb{R}$ .
Valeurs particulières : substituer dans $f(x) = x + \ln x$ .
Intégrale de $f^{-1}$ : utiliser la formule d'intégration par parties pour les fonctions réciproques : $\int_a^b f^{-1}(x) dx = bf^{-1}(b) - af^{-1}(a) - \int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)} f(t) dt$ .
Aire : utiliser la symétrie des courbes par rapport à $y = x$ ou intégrer directement.
Existence et unicité de $x_n$ : appliquer le théorème de la bijection.
Inégalités : comparer $f(x_n) = n$ avec $f(m)$ pour divers entiers $m$ .
Limites des suites : encadrer $n - x_n$ et analyser son comportement asymptotique.

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