Fonctions exponentielles

Le chapitre sur les fonctions exponentielles est crucial pour ton Bac. Il représente une part significative de la section Analyse, qui pèse pour environ 50% de l'examen. Maîtriser l'exponentielle, c'est s'assurer des points sur les limites, la dérivation et l'étude de fonctions.

L'intuition

Imagine que tu places de l'argent à la banque avec un taux d'intérêt composé continu. Plus l'argent rapporte d'intérêts, plus il y a d'argent, et plus les intérêts rapportent d'intérêts... C'est une croissance qui s'auto-alimente. La fonction exponentielle $e^x$ modélise parfaitement ce type de phénomène où le taux de croissance est proportionnel à la quantité présente.

Un autre exemple, plus concret : la propagation d'une rumeur ou d'un virus. Au début, peu de personnes sont touchées, mais chaque personne touchée peut en toucher d'autres. Le nombre de personnes touchées augmente de plus en plus vite. C'est ça, la croissance exponentielle.

Le cours

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln(x)$.

Définition et propriétés fondamentales

La fonction $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0, +\infty[$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $y \in ]0, +\infty[$, on a l'équivalence : $y = e^x \iff x = \ln(y)$.

De cette définition découlent des propriétés essentielles :

1. $e^0 = 1$
2. $e^1 = e$ (où $e \approx 2.718$)
3. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.
4. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.
5. Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.

Propriétés algébriques

Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle sont analogues à celles des puissances : Pour tous réels $a$ et $b$ :

1. $e^{a+b} = e^a \times e^b$
2. $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
3. $(e^a)^b = e^{ab}$
4. $\frac{1}{e^a} = e^{-a}$

1. 1

   Démonstration de $e^{a+b} = e^a \times e^b$

2. 2

   Soient $x = e^a$ et $y = e^b$.

3. 3

   Alors $a = \ln(x)$ et $b = \ln(y)$.

4. 4

   Donc $a+b = \ln(x) + \ln(y) = \ln(xy)$.

5. 5

   En appliquant la fonction exponentielle de chaque côté : $e^{a+b} = e^{\ln(xy)}$.

6. 6

   Comme $e^{\ln(Z)} = Z$ pour $Z>0$, on a $e^{a+b} = xy$.

7. 7

   En remplaçant $x$ et $y$ par leurs expressions : $e^{a+b} = e^a \times e^b$.

Étape suivante

Étude de la fonction $x \mapsto e^x$

1. Continuité et dérivabilité : La fonction $\exp$ est continue et indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Dérivée : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$. Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
3. Sens de variation : Puisque $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la dérivée $(e^x)' = e^x$ est toujours positive. La fonction $\exp$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limites usuelles

Les limites de la fonction exponentielle sont fondamentales :

1. $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
2. $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Ces limites sont cruciales pour l'étude des fonctions composées avec l'exponentielle.

Limites de croissance comparée : L'exponentielle "l'emporte" sur les fonctions puissances et les fonctions logarithmes. Pour tout entier naturel $n$ :

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
2. $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$

1. 1

   Démonstration de $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour $n=1$

2. 2

   On sait que pour tout $x>0$, $e^x > x+1$.

3. 3

   On peut montrer par récurrence que pour tout $x>0$, $e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.

4. 4

   Donc $\frac{e^x}{x^n} > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!x^n} = \frac{x}{(n+1)!}$.

5. 5

   Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{(n+1)!} = +\infty$, par le théorème de comparaison, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$.

Étape suivante

Fonctions puissances $x^a$

Pour tout $a \in \mathbb{R}$ et pour tout $x > 0$, la fonction puissance $x^a$ est définie par : $x^a = e^{a \ln(x)}$.

Propriétés :

1. $(x^a)' = a x^{a-1}$ pour $x > 0$.
2. $\lim_{x \to +\infty} x^a = +\infty$ si $a > 0$.
3. $\lim_{x \to +\infty} x^a = 0$ if $a < 0$.
4. $\lim_{x \to 0^+} x^a = 0$ if $a > 0$.
5. $\lim_{x \to 0^+} x^a = +\infty$ if $a < 0$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $e^x=e^3$. Simplifier l’expression $A=e^{2x-1}\times e^{3- x}$. Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}$.

1. 1

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^x=e^3$.

2. 2

   L'équation $e^x=e^3$ est équivalente à $x=3$ car la fonction exponentielle est strictement monotone (injective).

3. 3

   La solution est $x=3$.

4. 4

   Simplifier l’expression $A=e^{2x-1}\times e^{3- x}$.

5. 5

   On utilise la propriété $e^a \times e^b = e^{a+b}$.

6. 6

   $A = e^{(2x-1) + (3-x)}$

7. 7

   $A = e^{2x-1+3-x}$

8. 8

   $A = e^{x+2}$

9. 9

   L'expression simplifiée est $A = e^{x+2}$.

10. 10

    Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}$.

11. 11

    Posons $X = -x$.

12. 12

    Quand $x \to +\infty$, $X \to -\infty$.

13. 13

    Donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x} = \lim_{X\to -\infty} e^X$.

14. 14

    On sait que $\lim_{X\to -\infty} e^X = 0$.

15. 15

    Donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x} = 0$.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend de toi.

1. Résolution d'équations et inéquations avec $e^x$ :

   • Pour $e^{f(x)} = e^{g(x)}$, utilise l'injectivité de $\exp$ : $f(x) = g(x)$.
   • Pour $e^{f(x)} > e^{g(x)}$, utilise la stricte croissance de $\exp$ : $f(x) > g(x)$.
   • Pour $e^{f(x)} = k$ avec $k>0$, utilise la réciproque : $f(x) = \ln(k)$. Si $k \le 0$, pas de solution.

2. Simplification d'expressions :

   • Applique les propriétés algébriques : $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^b = e^{ab}$.
   • Transforme les $x^a$ en $e^{a \ln(x)}$ si nécessaire.

3. Calcul de limites :

   • Identifie la forme de la limite ($e^x$ en $+\infty$ ou $-\infty$).
   • Utilise les limites de croissance comparée si tu as des formes indéterminées comme $\frac{e^x}{x^n}$ ou $x^n e^x$.
   • N'oublie pas les changements de variable si l'argument de l'exponentielle est complexe (ex: $e^{-x}$, $e^{1/x}$).

4. Dérivation :

   • La dérivée de $e^x$ est $e^x$.
   • La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$. C'est une erreur fréquente d'oublier le $u'(x)$.

Pièges classiques

1. Oublier le domaine de définition : L'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$, mais $\ln(x)$ est définie sur $]0, +\infty[$. Attention aux compositions. Par exemple, $e^{\ln(x)}$ est définie pour $x>0$, mais $\ln(e^x)$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$.
2. Confondre les propriétés algébriques :
   • $e^{a+b} \neq e^a + e^b$
   • $e^{ab} \neq e^a e^b$
   • $(e^a)^b \neq e^{(a^b)}$
3. Erreurs de signe dans les limites : Une erreur courante est de dire que $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = +\infty$. Non, c'est $0$.
4. Oublier $u'(x)$ lors de la dérivation de $e^{u(x)}$ : C'est une faute qui coûte des points à coup sûr.

   Vérifie que tu suis

   Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{x^2}$ ?

   $2xe^{x^2}$$e^{x^2}$$2x$
5. Résoudre $e^x = k$ pour $k \le 0$ : L'équation $e^x = -2$ n'a aucune solution réelle car $e^x$ est toujours strictement positif.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions exponentielles est systématiquement évalué dans la partie Analyse. Attends-toi à des questions qui testent :

• Application directe des propriétés algébriques et des définitions (environ 40% du barème de l'exercice) :

  • Résolution d'équations ou d'inéquations simples (ex: $e^x=e^3$, $e^{2x-1} > 1$).
  • Simplification d'expressions (ex: $e^{2x-1}\times e^{3- x}$).
  • Calcul de limites usuelles (ex: $\lim_{x\to +\infty} e^{-x}$, $\lim_{x\to -\infty} x e^x$).

• Mobilisation des connaissances dans des situations familières (environ 40% du barème) :

  • Étude de fonctions impliquant l'exponentielle (dérivée, sens de variation, tableau de variation, asymptotes).
  • Calcul de limites plus complexes nécessitant des changements de variable ou les croissances comparées.
  • Intégration de fonctions avec exponentielle (souvent après avoir trouvé une primitive).

• Situations non familières (synthèse) (environ 20% du barème) :

  • Problèmes où l'exponentielle est combinée avec d'autres fonctions (logarithme, fonctions trigonométriques, suites).
  • Démonstrations d'inégalités ou de propriétés spécifiques en utilisant les outils du chapitre.
  • Questions sur la continuité ou la dérivabilité en des points particuliers.

Format des questions réelles (extraits d'annales) :

• "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $e^x=e^3$." (Application directe)
• "Simplifier l’expression $A=e^{2x-1}\times e^{3- x}$." (Application directe)
• "Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}$." (Application directe)
• "Étudier les variations de la fonction $f(x) = (x-1)e^x$." (Mobilisation)
• "Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$." (Mobilisation, croissance comparée)
• "Montrer que la fonction $F(x) = (ax+b)e^x$ est une primitive de $f(x) = xe^x$." (Synthèse, intégration)

Conseils pour le jour J :

• Rigueur de la rédaction : Chaque étape de calcul doit être justifiée. Pour une limite, indique la forme indéterminée si c'est le cas, et la règle utilisée (croissance comparée, composition, etc.).
• Barème par étape : Même si le résultat final est faux, une démarche correcte et bien justifiée te rapportera des points. Ne saute pas d'étapes.
• Gestion du temps : Les questions sur l'exponentielle sont souvent au début des exercices d'analyse. Elles sont généralement plus abordables et te permettent de prendre confiance. Ne t'y attarde pas trop si tu bloques, passe à la suite et reviens-y.