Nombres complexes

L'intuition

Imagine que tu es sur une ligne droite, l'axe des nombres réels. Tu peux avancer, reculer. Mais comment représenter une rotation, ou la solution d'une équation comme $x^2 + 1 = 0$ ? Les nombres complexes ajoutent un axe "imaginaire" perpendiculaire à l'axe réel. Maintenant, tu peux te déplacer dans un plan. Ce plan, c'est le plan complexe.

Quand tu bouges la partie imaginaire (Im(z)), le point se déplace verticalement dans le plan. Le module $|z|$ représente la distance de ce point à l'origine (0,0). Si tu augmentes Im(z), le point s'éloigne de l'axe réel, et donc $|z|$ augmente.

Le cours

I. L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$

1. Définition et forme algébrique

• $x$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
• L'ensemble de tous les nombres complexes est noté $\mathbb{C}$.
• Si $y=0$, $z=x$ est un nombre réel. $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
• Si $x=0$, $z=iy$ est un nombre imaginaire pur.

2. Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. $z = z' \iff \text{Re}(z) = \text{Re}(z')$ et $\text{Im}(z) = \text{Im}(z')$.

3. Opérations sur les nombres complexes

Soient $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ deux nombres complexes.

• Addition et soustraction : $z + z' = (x + x') + i(y + y')$ $z - z' = (x - x') + i(y - y')$

L'addition de nombres complexes suit la règle du parallélogramme, comme pour l'addition de vecteurs.

• Multiplication : $z \times z' = (x + iy)(x' + iy') = xx' + ixy' + iyx' + i^2yy'$ Puisque $i^2 = -1$, on a : $z \times z' = (xx' - yy') + i(xy' + yx')$

• Conjugaison : Le conjugué de $z = x + iy$ est $\bar{z} = x - iy$. Propriétés :

  • $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
  • $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$
  • $\overline{\bar{z}} = z$
  • $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$
  • $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$
  • $z \times \bar{z} = x^2 + y^2$ (c'est un nombre réel positif)

• Division : Pour diviser par un nombre complexe non nul $z'$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. $\frac{z}{z'} = \frac{z \times \bar{z'}}{z' \times \bar{z'}} = \frac{(x + iy)(x' - iy')}{(x' + iy')(x' - iy')} = \frac{(xx' + yy') + i(yx' - xy')}{x'^2 + y'^2}$ $\frac{z}{z'} = \frac{xx' + yy'}{x'^2 + y'^2} + i \frac{yx' - xy'}{x'^2 + y'^2}$

4. Interprétation géométrique

Le plan complexe est un plan muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

• À tout nombre complexe $z = x + iy$, on associe un point $M(x, y)$ appelé image de $z$.
• Réciproquement, à tout point $M(x, y)$, on associe le nombre complexe $z = x + iy$ appelé affixe de $M$.
• À tout vecteur $\vec{w}$ de coordonnées $(x, y)$, on associe le nombre complexe $z = x + iy$ appelé affixe de $\vec{w}$.

Propriétés :

• L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$.
• La distance $AB$ est $|z_B - z_A|$.
• Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.

II. Module et argument d'un nombre complexe

1. Module

Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre réel positif $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Géométriquement, $|z|$ est la distance du point $M(x, y)$ à l'origine $O(0, 0)$.

Propriétés :

• $|z| = \sqrt{z \bar{z}}$
• $|z| = |\bar{z}|$
• $|z \times z'| = |z| \times |z'|$
• $|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$ (pour $z' \neq 0$)
• $|z^n| = |z|^n$
• $|z + z'| \le |z| + |z'|$ (inégalité triangulaire)

2. Argument

Pour un nombre complexe $z = x + iy$ non nul, l'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est une mesure de l'angle $(\vec{u}, \vec{OM})$ en radians. Il est défini à $2k\pi$ près ($k \in \mathbb{Z}$). Si $\theta = \arg(z)$, alors $x = |z|\cos\theta$ et $y = |z|\sin\theta$. Donc $\cos\theta = \frac{x}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{y}{|z|}$.

Propriétés (pour $z, z'$ non nuls) :

• $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$
• $\arg(z \times z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
• $\arg(\frac{z}{z'}) = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$
• $\arg(z^n) = n\arg(z) \pmod{2\pi}$
• $\arg(k z) = \arg(z) \pmod{2\pi}$ si $k > 0$
• $\arg(k z) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}$ si $k < 0$

III. Formes trigonométrique et exponentielle

1. Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, où $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

2. Forme exponentielle

On définit $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. C'est la formule d'Euler. Alors, tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme : $z = re^{i\theta}$, où $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

Propriétés (dérivées des propriétés de l'argument et du module) :

• $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$
• $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')}$
• $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ (Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$)

IV. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Considérons l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{C}$ et $a \neq 0$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta = 0$, l'équation a une solution double $z_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta \neq 0$, l'équation a deux solutions distinctes $z_1 = \frac{-b - \delta}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}$, où $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$.

Comment trouver les racines carrées d'un nombre complexe $Z = X + iY$ ? Soit $\delta = x + iy$ une racine carrée de $Z$. Alors $\delta^2 = Z$. $(x+iy)^2 = X+iY \iff x^2 - y^2 + 2ixy = X+iY$. Cela donne le système d'équations : $\begin{cases} x^2 - y^2 = X \\ 2xy = Y \end{cases}$ De plus, $|\delta^2| = |Z|$, donc $x^2 + y^2 = \sqrt{X^2 + Y^2} = |Z|$. On résout le système : $\begin{cases} x^2 - y^2 = X \\ x^2 + y^2 = |Z| \end{cases}$ En additionnant les deux équations : $2x^2 = X + |Z| \implies x^2 = \frac{X + |Z|}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{X + |Z|}{2}}$. En soustrayant la première de la deuxième : $2y^2 = |Z| - X \implies y^2 = \frac{|Z| - X}{2} \implies y = \pm\sqrt{\frac{|Z| - X}{2}}$. Enfin, on utilise $2xy = Y$ pour déterminer les signes de $x$ et $y$.

• Si $Y > 0$, $x$ et $y$ ont le même signe.
• Si $Y < 0$, $x$ et $y$ ont des signes opposés.

V. Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Soit $Z = Re^{i\Phi}$ un nombre complexe non nul. On cherche les solutions $z$ de l'équation $z^n = Z$. On écrit $z = re^{i\theta}$. Alors $z^n = r^n e^{in\theta}$. Donc $r^n e^{in\theta} = Re^{i\Phi}$. Par identification des modules et des arguments :

• $r^n = R \implies r = \sqrt[n]{R}$ (le module est unique et positif).
• $n\theta = \Phi + 2k\pi \implies \theta = \frac{\Phi + 2k\pi}{n}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$. Il y a $n$ racines $n$-ièmes distinctes, données par : $z_k = \sqrt[n]{R} e^{i\frac{\Phi + 2k\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$.

Géométriquement, ces $n$ racines sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $\sqrt[n]{R}$ centré à l'origine.

VI. Transformations géométriques

Les nombres complexes permettent de représenter et d'étudier des transformations géométriques dans le plan.

1. Translation

La translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $z_0$ transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$. L'affixe de $M'$ est $z' = z + z_0$.

2. Homothétie

L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$. L'affixe de $M'$ est $z' - \omega = k(z - \omega)$, soit $z' = k(z - \omega) + \omega$.

3. Rotation

La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\alpha$ transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\vec{\Omega M'} = R_\alpha(\vec{\Omega M})$. L'affixe de $M'$ est $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$, soit $z' = e^{i\alpha}(z - \omega) + \omega$.

4. Similitude directe

Une similitude directe est une transformation qui combine une homothétie et une rotation. Elle transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ par la relation $z' = az + b$, où $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$.

• Le rapport de la similitude est $|a|$.
• L'angle de la similitude est $\arg(a)$.
• Si $a \neq 1$, le centre de la similitude est le point invariant $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. $m$ est un nombre complexe différent de $2$ et de $-i$. On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E): z^2-(m-i)z-im=0$. 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $(m+i)^2$. 1-b) Déterminer $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $(E)$. 1-c) Sachant que $m = e^{i\frac{\pi}{8}}$; écrire le nombre $z_1 + z_2$ sous forme exponentielle."

Résolution :

1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $(m+i)^2$. L'équation est de la forme $az^2 + bz + c = 0$ avec $a=1$, $b=-(m-i)$ et $c=-im$. Le discriminant $\Delta$ est donné par la formule $b^2 - 4ac$. $\Delta = (-(m-i))^2 - 4(1)(-im)$ $\Delta = (m-i)^2 + 4im$ $\Delta = m^2 - 2im + i^2 + 4im$ $\Delta = m^2 - 2im - 1 + 4im$ $\Delta = m^2 + 2im - 1$ On reconnaît une identité remarquable : $(m+i)^2 = m^2 + 2im + i^2 = m^2 + 2im - 1$. Donc, $\Delta = (m+i)^2$.

1-b) Déterminer $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $(E)$. Puisque $\Delta = (m+i)^2$, les racines carrées de $\Delta$ sont $\delta = \pm(m+i)$. Les solutions de l'équation sont $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$. $z_1 = \frac{-(-(m-i)) - (m+i)}{2(1)} = \frac{m-i - m - i}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$. $z_2 = \frac{-(-(m-i)) + (m+i)}{2(1)} = \frac{m-i + m + i}{2} = \frac{2m}{2} = m$. Les deux solutions sont $z_1 = -i$ et $z_2 = m$.

1-c) Sachant que $m = e^{i\frac{\pi}{8}}$; écrire le nombre $z_1 + z_2$ sous forme exponentielle. On a $z_1 = -i$ et $z_2 = m = e^{i\frac{\pi}{8}}$. $z_1 + z_2 = -i + e^{i\frac{\pi}{8}}$. Pour écrire sous forme exponentielle, il faut d'abord l'écrire sous forme algébrique, puis trouver le module et l'argument. $e^{i\frac{\pi}{8}} = \cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8})$. Donc $z_1 + z_2 = -i + \cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8}) + i(\sin(\frac{\pi}{8}) - 1)$. C'est la forme algébrique. Maintenant, trouvons le module et l'argument. $|z_1 + z_2|^2 = (\cos(\frac{\pi}{8}))^2 + (\sin(\frac{\pi}{8}) - 1)^2$ $= \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) - 2\sin(\frac{\pi}{8}) + 1$ $= 1 - 2\sin(\frac{\pi}{8}) + 1 = 2 - 2\sin(\frac{\pi}{8})$. On sait que $\sin(\frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi/4}{2}) = \sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1-\sqrt{2}/2}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$. Donc $|z_1 + z_2|^2 = 2 - 2 \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = 2 - \sqrt{2-\sqrt{2}}$. Ce n'est pas une forme simple pour l'exponentielle.

Reprenons $z_1 + z_2 = -i + m$. On sait que $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$. $z_1 + z_2 = e^{-i\frac{\pi}{2}} + e^{i\frac{\pi}{8}}$. Factorisons par $e^{i\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}}$ : $z_1 + z_2 = e^{i\frac{-\pi/2 + \pi/8}{2}} (e^{i\frac{-\pi/2 - \pi/8}{2}} + e^{i\frac{\pi/8 - (-\pi/2)}{2}})$ $z_1 + z_2 = e^{i\frac{-4\pi/8 + \pi/8}{2}} (e^{i\frac{-5\pi/8}{2}} + e^{i\frac{5\pi/8}{2}})$ $z_1 + z_2 = e^{i\frac{-3\pi/16}{}} (e^{-i\frac{5\pi}{16}} + e^{i\frac{5\pi}{16}})$ $z_1 + z_2 = e^{i\frac{-3\pi}{16}} (2\cos(\frac{5\pi}{16}))$. Puisque $\frac{5\pi}{16} \in ]0, \frac{\pi}{2}[$, $\cos(\frac{5\pi}{16}) > 0$. Donc la forme exponentielle est $2\cos(\frac{5\pi}{16}) e^{-i\frac{3\pi}{16}}$.

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend.

1. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique/exponentielle :

   • Calculer le module : $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
   • Calculer l'argument :
     • Mettre $z$ sous la forme $r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
     • $\cos\theta = \frac{x}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{y}{|z|}$.
     • Déterminer $\theta$ à partir des valeurs de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ (souvent des angles remarquables).
     • N'oublie pas que $\theta$ est défini à $2k\pi$ près.

2. Passer de la forme trigonométrique/exponentielle à la forme algébrique :

   • Utiliser la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.
   • Calculer les valeurs de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ pour l'angle donné.
   • Développer $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cos\theta + ir\sin\theta$.

3. Résoudre une équation du second degré $az^2+bz+c=0$ :

   • Calculer le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
   • Trouver les racines carrées de $\Delta$ : Si $\Delta$ est réel, c'est facile. Si $\Delta = X+iY$, utilise la méthode du système d'équations.
   • Appliquer les formules des solutions : $z_{1,2} = \frac{-b \pm \delta}{2a}$.

4. Calculer les racines $n$-ièmes d'un nombre complexe $Z$ :

   • Mettre $Z$ sous forme exponentielle : $Z = Re^{i\Phi}$.
   • Appliquer la formule : $z_k = \sqrt[n]{R} e^{i\frac{\Phi + 2k\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$.

5. Interpréter géométriquement une expression complexe :

   • $|z_B - z_A|$ est la distance $AB$.
   • $\arg(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A})$ est l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC})$.
   • $z' = z + z_0$ est une translation.
   • $z' = k(z - \omega) + \omega$ est une homothétie.
   • $z' = e^{i\alpha}(z - \omega) + \omega$ est une rotation.
   • $z' = az + b$ est une similitude directe.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des nombres complexes est très important et représente une part significative de l'examen (environ 12%). Les questions sont souvent regroupées dans un exercice dédié, valant généralement entre 3 et 4 points.

Format des questions réelles :

1. Résolution d'équations :

   • Équations du second degré dans $\mathbb{C}$ (avec des coefficients complexes).
   • Équations polynomiales de degré 3 ou 4, où une racine est donnée ou évidente, permettant de factoriser et de se ramener à une équation du second degré.
   • Recherche de racines $n$-ièmes.

2. Formes des nombres complexes :

   • Passage d'une forme à l'autre (algébrique, trigonométrique, exponentielle).
   • Calcul de modules et arguments.
   • Utilisation de la formule de Moivre pour calculer des puissances.

3. Interprétation géométrique et transformations :

   • Calcul d'affixes de points, vecteurs, milieux.
   • Démonstration d'alignement de points, de perpendicularité de droites, de cocyclicité de points.
   • Identification de transformations (translations, homothéties, rotations, similitudes directes) à partir de leur écriture complexe.
   • Détermination des éléments caractéristiques d'une transformation (centre, rapport, angle).

Barème (indicatif, basé sur les annales) :

• Chaque étape de calcul ou de démonstration est notée.
• La rigueur de la rédaction et la justification des étapes sont essentielles.
• Une erreur de calcul peut entraîner une perte de points pour les questions suivantes si le résultat est utilisé, mais la méthode reste souvent valorisée.

Exemple de barème typique pour un exercice de 4 points :

• Vérification d'une solution ou d'un discriminant : 0.25 - 0.5 point.
• Résolution d'une équation du second degré : 0.75 - 1 point (0.25 pour $\Delta$, 0.5 pour les solutions).
• Écriture sous forme exponentielle/algébrique : 0.5 - 0.75 point.
• Question géométrique (alignement, perpendicularité, etc.) : 0.5 - 1 point par démonstration.
• Détermination des éléments d'une transformation : 0.5 - 0.75 point.

Conseils :

• Maîtrise parfaite des formules de base (module, argument, opérations, formules d'Euler et de Moivre).
• Entraîne-toi à la résolution d'équations, c'est un classique.
• Sois à l'aise avec les conversions entre les différentes formes.
• Comprends bien le lien entre les opérations sur les nombres complexes et leur interprétation géométrique. C'est souvent là que les points sont gagnés ou perdus.