Suites numériques

L'intuition

Imagine que tu as un compte d'épargne. Chaque année, le solde de ton compte est un terme de la suite. Tu te demandes si ton argent va augmenter indéfiniment, atteindre un plafond, ou diminuer. L'étude des suites numériques permet de modéliser et de prédire ces comportements à long terme.

Ici, tu observes que les termes de la suite diminuent et se rapprochent de 0. C'est un exemple de convergence.

Le cours

1. Définitions fondamentales

Une suite numérique est une fonction $u: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. On note $u_n$ l'image de $n$ par $u$, appelé le terme général de la suite.

Modes de définition d'une suite :

• Explicite : Le terme $u_n$ est donné directement en fonction de $n$. Exemple : $u_n = n^2 + 1$.
• Par récurrence : Le terme $u_{n+1}$ est défini en fonction du terme précédent $u_n$, avec un premier terme $u_0$ (ou $u_1$) donné. Exemple : $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ avec $u_0 = 1$.

2. Monotonie d'une suite

La monotonie décrit le sens de variation d'une suite.

Définitions :

• Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \ge u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} > u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \le u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} < u_n$.
• Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Méthodes pour étudier la monotonie :

1. Étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :
   • Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$, la suite est croissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n \le 0$ pour tout $n$, la suite est décroissante.
2. Étude du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n > 0$ pour tout $n$) :
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$ pour tout $n$, la suite est croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$ pour tout $n$, la suite est décroissante.
3. Étude de la fonction $f$ associée (si $u_n = f(n)$) : Si $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante. Si $f$ est décroissante sur $[0, +\infty[$, alors $(u_n)$ est décroissante.

3. Suites bornées

Définitions :

• Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \le M$.
• Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge m$.
• Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Démonstration par récurrence : C'est un outil fondamental pour prouver des propriétés sur les suites, notamment qu'elles sont bornées ou monotones, surtout pour les suites définies par récurrence.

Principe de la récurrence : Soit $P(n)$ une propriété dépendant de l'entier $n$.

1. Initialisation : Vérifier que $P(n_0)$ est vraie pour le premier terme $n_0$.
2. Hérédité : Supposer que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \ge n_0$ (hypothèse de récurrence) et montrer que $P(n+1)$ est alors vraie.
3. Conclusion : Si les deux étapes sont vérifiées, alors $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.

4. Convergence des suites

Définition : Une suite $(u_n)$ est convergente si elle admet une limite finie $L$ quand $n \to +\infty$. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. Si une suite n'est pas convergente, elle est dite divergente.

Propriétés importantes :

• Si une suite converge, sa limite est unique.
• Toute suite convergente est bornée. (Attention : la réciproque est fausse. Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente, par exemple $u_n = (-1)^n$).

Théorèmes de convergence :

• Théorème de la convergence monotone :
  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.
• Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que pour tout $n$ assez grand, $v_n \le u_n \le w_n$. Si $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.
• Théorème de comparaison :
  • Si $u_n \ge v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
  • Si $u_n \le v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Opérations sur les limites : Les règles sont similaires à celles des fonctions, avec les formes indéterminées classiques ($+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$).

5. Suites adjacentes

Définition : Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si :

1. L'une est croissante et l'autre est décroissante.
2. $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

Théorème : Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite. De plus, si $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante, alors pour tout $n$, $u_n \le v_n$.

6. Suites de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$

Pour ces suites, l'étude de la fonction $f$ est cruciale.

Méthode d'étude :

1. Intervalle stable : Montrer par récurrence que si $u_n$ appartient à un intervalle $I$, alors $u_{n+1}$ appartient aussi à $I$. Souvent, $I$ est de la forme $[a, b]$.
2. Monotonie :
   • Si $f$ est croissante sur $I$, alors la suite $(u_n)$ est monotone (son sens de variation est donné par le signe de $u_1 - u_0$).
   • Si $f$ est décroissante sur $I$, la suite n'est pas forcément monotone, elle peut être alternée.
3. Convergence : Si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$, et si $f$ est continue sur $I$, alors $L$ est solution de l'équation $L = f(L)$.

Ici, la suite semble converger vers 1. Si $L$ est la limite, alors $L = L^2 - 2L + 2 \implies L^2 - 3L + 2 = 0 \implies (L-1)(L-2)=0$. Les solutions sont $L=1$ et $L=2$. La suite converge vers 1.

7. Théorème des Accroissements Finis (TAF) et suites

Le TAF est un outil puissant pour encadrer des différences de termes et prouver la convergence.

Théorème des Accroissements Finis : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. Alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$. Une conséquence utile est l'inégalité des accroissements finis : si $|f'(x)| \le k$ sur $[a, b]$, alors $|f(b) - f(a)| \le k|b-a|$.

Application aux suites : Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$, si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et que $(u_n)$ reste dans $I$, on peut utiliser le TAF pour encadrer $|u_{n+1} - L|$ en fonction de $|u_n - L|$, où $L$ est la limite potentielle.

Exemple d'application (extrait d'annale) : Pour $v_n = \ln(u_n)$ où $u_n = \frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}$, on a $v_n = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1))$. En posant $f(x) = \ln(\arctan(x))$, on a $v_n = f(n) - f(n+1)$. Le TAF appliqué à $f$ sur $[n, n+1]$ donne $f(n+1) - f(n) = f'(c)(n+1-n) = f'(c)$ pour un $c \in ]n, n+1[$. Donc $v_n = -f'(c)$. On calcule $f'(x) = \frac{(\arctan(x))'}{\arctan(x)} = \frac{1/(1+x^2)}{\arctan(x)}$. Ainsi $v_n = \frac{-1}{(1+c^2)\arctan(c)}$. Ensuite, on encadre $c$ par $n$ et $n+1$ pour obtenir un encadrement de $v_n$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Soit $(u_n)_{n\ge0}$ définie par $1 \le u_0 < \alpha$ et $(\forall n\ge0); u_{n+1}=1+g(u_n)$, où $g$ est une fonction. On a montré que $1 \le u_n < \alpha$ pour tout $n \ge 0$. Question : Montrer que $(\forall n\ge0); |u_{n+1} - \alpha| \le k|u_n - \alpha|$ pour un certain $k < 1$. En déduire la convergence de $(u_n)$.

Solution pas à pas :

1. Identifier la fonction $f$ : Ici, $f(x) = 1+g(x)$. La suite est de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$.
2. Identifier la limite potentielle : On sait que $\alpha$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire $\alpha = 1+g(\alpha)$. C'est donc la limite potentielle.
3. Appliquer le TAF :
   • On a $|u_{n+1} - \alpha| = |f(u_n) - f(\alpha)|$.
   • Pour appliquer le TAF, il faut que $f$ soit dérivable sur l'intervalle $[1, \alpha]$ (puisque $1 \le u_n < \alpha$).
   • Supposons que $f$ est dérivable sur $[1, \alpha]$ et que $|f'(x)| \le k$ pour tout $x \in [1, \alpha]$ avec $k < 1$.
   • Alors, d'après l'inégalité des accroissements finis, il existe $k \in [0,1[$ tel que $|f(u_n) - f(\alpha)| \le k|u_n - \alpha|$.
   • D'où $|u_{n+1} - \alpha| \le k|u_n - \alpha|$.
4. Déduire la convergence :
   • En appliquant l'inégalité de manière répétée : $|u_n - \alpha| \le k|u_{n-1} - \alpha| \le k^2|u_{n-2} - \alpha| \le \dots \le k^n|u_0 - \alpha|$.
   • Puisque $0 \le k < 1$, on sait que $\lim_{n \to +\infty} k^n = 0$.
   • Par le théorème des gendarmes, comme $0 \le |u_n - \alpha| \le k^n|u_0 - \alpha|$, on a $\lim_{n \to +\infty} |u_n - \alpha| = 0$.
   • Ceci implique $\lim_{n \to +\infty} u_n = \alpha$. La suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.

La méthode

Voici les étapes types pour étudier une suite numérique, surtout celles définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. 1

   1. Montrer que la suite est bornée (souvent par récurrence).

   Vérifier $P(n_0)$, puis $P(n) \implies P(n+1)$ en utilisant les propriétés de $f$.

2. 2

   2. Étudier la monotonie de la suite.

3. 3

   3. Déduire la convergence.

4. 4

   4. Calculer la limite (si elle existe).

5. 5

   5. Utiliser le TAF pour prouver la convergence ou encadrer les termes.

Étape suivante

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des suites numériques est un pilier de la partie Analyse de l'examen national. Il représente environ 8% du poids total, souvent intégré dans un exercice d'analyse plus large (avec fonctions, intégrales).

Format des questions :

• Application directe des connaissances (~40%) :
  • Calcul de limites de suites (avec formes indéterminées).
  • Étude de la monotonie (signe de $u_{n+1}-u_n$ ou rapport).
  • Preuve par récurrence d'une propriété (bornes, monotonie).
• Mobilisation en situation familière (~40%) :
  • Étude de suites définies par $u_{n+1}=f(u_n)$ : montrer qu'un intervalle est stable, déduire la convergence, calculer la limite.
  • Utilisation du théorème des gendarmes ou de comparaison.
  • Application de l'inégalité des accroissements finis pour majorer $|u_{n+1}-L|$.
• Situations non familières (synthèse) (~20%) :
  • Suites adjacentes.
  • Utilisation du TAF dans des contextes plus complexes (comme l'exemple d'annale avec $\ln(\arctan(n))$).
  • Questions reliant les suites à d'autres chapitres (intégrales, par exemple les sommes de Riemann).

Exemples de questions fréquentes (tirées d'annales) :

1. Preuve par récurrence : "Montrer que $(\forall n\ge0); 1\le u_n < \alpha$." (Application directe)
2. Monotonie et convergence : "Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée. En déduire qu'elle est convergente." (Mobilisation)
3. Calcul de limite : "Calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$." (Application directe)
4. TAF et convergence : "En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que $(\forall n\ge0); |u_{n+1} - \alpha| \le k|u_n - \alpha|$ pour un $k<1$. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$." (Mobilisation/Synthèse)
5. Encadrement et limite : "Montrer que $(\forall n\ge 1)$; $\frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan(n)} < v_n < \frac{-n^2}{(1+(n+1)^2)\arctan(n+1)}$. Calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$." (Synthèse)

Consignes de correction : La rigueur de la rédaction est essentielle. Chaque étape de raisonnement doit être justifiée (théorème utilisé, propriété appliquée). Une réponse sans justification, même correcte, ne rapportera pas tous les points. Par exemple, pour une récurrence, les trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) doivent être clairement énoncées. Pour une limite, les formes indéterminées doivent être levées avec des méthodes appropriées.