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Trouver la limite d'une suite récurrente u(n+1) = f(u(n))

Si u converge vers ℓ et f est continue, alors ℓ vérifie ℓ = f(ℓ).

la méthode

  1. 1Établir d'abord que la suite CONVERGE (monotone bornée, ou encadrement).
  2. 2Justifier que f est continue au voisinage de la limite.
  3. 3Passer à la limite dans u(n+1) = f(u(n)) : ℓ = f(ℓ).
  4. 4Résoudre, puis écarter les solutions incompatibles avec l'encadrement de la suite.

le piège

Résoudre ℓ = f(ℓ) sans avoir prouvé la convergence. Une suite divergente n'a pas de limite à substituer, et le point fixe existe quand même.