Calcul intégral

Le calcul intégral est une pierre angulaire de l'analyse, te permettant de résoudre des problèmes d'accumulation, d'aire, de volume et bien d'autres. C'est l'opération "inverse" de la dérivation, et sa maîtrise est cruciale pour l'examen.

L'intuition

Imagine que tu mesures la vitesse d'un courant d'eau dans un canal à différents moments. Si tu veux savoir combien d'eau a traversé une section du canal sur une période donnée, tu dois "sommer" toutes ces vitesses multipliées par de petits intervalles de temps. L'intégrale formalise cette somme continue.

Ce graphique illustre comment l'aire sous une courbe peut être approximée par la somme des aires de rectangles. Plus le nombre de rectangles ($n$) est grand, plus l'approximation est précise. L'intégrale définie est la valeur exacte de cette aire lorsque $n$ tend vers l'infini.

Le cours

I. Primitives d'une fonction

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

2. Propriétés des primitives

• Existence : Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f$ admet des primitives sur $I$.
• Non-unicité : Si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors il existe une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que $F_1(x) = F_2(x) + C$ pour tout $x \in I$.
• Linéarité : Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur $I$, et si $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, alors $\alpha F + \beta G$ est une primitive de $\alpha f + \beta g$ sur $I$.

3. Primitives des fonctions usuelles

La connaissance de ces primitives est fondamentale.

4. Primitives de fonctions composées

Ces formules découlent directement des règles de dérivation des fonctions composées.

II. Calcul d'intégrales

1. Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le nombre réel noté $\int_a^b f(x) \, dx$ défini par :

$\int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

2. Propriétés de l'intégrale

• Linéarité : Pour toutes fonctions $f, g$ continues sur $[a,b]$ et tous réels $\alpha, \beta$: $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx$

• Relation de Chasles : Pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle contenant $a, b, c$: $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$

• Inversion des bornes : $\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$

• Intégrale sur un point : $\int_a^a f(x) \, dx = 0$

• Positivité : Si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x) \, dx \ge 0$.

• Croissance : Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$.

3. Interprétation géométrique

Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x) \, dx$ représente l'aire de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. Cette aire est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Si la fonction $f(x)$ est négative sur un intervalle, l'intégrale $\int_a^b f(x) \, dx$ sera négative. L'aire géométrique, par définition, est toujours positive. Donc, si tu dois calculer une aire et que l'intégrale est négative, tu devras prendre la valeur absolue de l'intégrale, ou intégrer $|f(x)|$.

4. Intégration par parties (IPP)

C'est une technique essentielle pour calculer des intégrales de produits de fonctions. Elle est souvent utilisée quand une primitive directe n'est pas évidente. Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ et dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a,b]$, alors :

$\int_a^b u(x)v'(x) \, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx$

Le choix de $u(x)$ et $v'(x)$ est crucial pour simplifier le calcul. Une astuce mnémotechnique est "ALPES" pour choisir $u(x)$ dans cet ordre de priorité :

• Arcsin/Arctan (fonctions trigonométriques inverses)
• Logarithme ($\ln x$)
• Polynôme ($x^n$)
• Exponentielle ($e^x$)
• Sin/Cos (fonctions trigonométriques)

L'idée est de choisir $u(x)$ de sorte que $u'(x)$ soit plus simple, et $v'(x)$ de sorte que $v(x)$ soit facile à trouver.

5. Changement de variable

Cette méthode est utilisée pour transformer une intégrale difficile en une intégrale plus simple, en changeant la variable d'intégration. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $J$. Si $g$ est une fonction de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ telle que $g(I) \subset J$, alors pour $a, b \in I$:

$\int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) \, dt$

En pratique, on pose $x = g(t)$. Alors $dx = g'(t) \, dt$. Il faut impérativement changer les bornes de l'intégrale : si $x=g(a)$, la nouvelle borne inférieure est $a$; si $x=g(b)$, la nouvelle borne supérieure est $b$.

III. Application au calcul d'aires et de volumes

1. Aire d'une surface plane

• Aire sous une courbe : Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. L'aire $\mathcal{A}$ de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| \, dx \quad \text{(en u.a.)}$

  Si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$, alors $\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx$. Si $f(x) \le 0$ sur $[a,b]$, alors $\mathcal{A} = - \int_a^b f(x) \, dx$.

• Aire entre deux courbes : Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. L'aire $\mathcal{A}$ de la surface délimitée par les courbes de $f$ et $g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx \quad \text{(en u.a.)}$

  Il est crucial de déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[a,b]$ pour enlever la valeur absolue.

2. Volume d'un solide de révolution

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Le volume $\mathcal{V}$ du solide de révolution engendré par la rotation de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ autour de l'axe des abscisses est donné par :

$\mathcal{V} = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx \quad \text{(en u.v.)}$

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=\int_0^x e^{-t^2} dt$. 1-a) Déterminer le signe de $F(x)$ en fonction de $x$. 1-b) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée première $F'(x)$. 2-a) En utilisant la méthode d'intégration par partie, montrer que : $\int_0^1 x e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$. 2-b) Calculer $\int_0^1 F(x) dx$.

Solution détaillée :

1-a) Déterminer le signe de $F(x)$ : L'intégrande est $f(t) = e^{-t^2}$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $e^{-t^2} > 0$.

• Si $x > 0$, alors $\int_0^x e^{-t^2} dt$ est l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle $[0,x]$ avec $0 < x$. Donc $F(x) > 0$.
• Si $x < 0$, alors $\int_0^x e^{-t^2} dt = - \int_x^0 e^{-t^2} dt$. Comme $e^{-t^2} > 0$ et $x < 0$, l'intégrale $\int_x^0 e^{-t^2} dt$ est positive. Donc $F(x) < 0$.
• Si $x = 0$, alors $F(0) = \int_0^0 e^{-t^2} dt = 0$.

1-b) Dérivabilité de $F$ et calcul de $F'(x)$ : La fonction $f(t) = e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (car composée de fonctions continues). D'après le théorème fondamental de l'analyse, si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors la fonction $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$. Ici, $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$. Donc $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F'(x) = e^{-x^2}$.

2-a) Calcul de $\int_0^1 x e^{-x^2} dx$ par IPP : C'est une question piège. L'intégration par parties n'est pas la méthode la plus directe ici, mais l'énoncé l'exige. On cherche à calculer $I = \int_0^1 x e^{-x^2} dx$. Posons $u(x) = x$ et $v'(x) = e^{-x^2}$. Alors $u'(x) = 1$. Pour trouver $v(x)$, on doit primitiver $e^{-x^2}$. C'est là que la difficulté apparaît, car la primitive de $e^{-x^2}$ n'est pas une fonction élémentaire. Correction : L'énoncé demande d'utiliser l'IPP, mais l'intégrale $\int_0^1 x e^{-x^2} dx$ est en fait de la forme $\int u'(x)e^{u(x)} dx$ avec $u(x) = -x^2$. Si on pose $u(x) = -x^2$, alors $u'(x) = -2x$. Donc $x e^{-x^2} = -\frac{1}{2} (-2x) e^{-x^2}$. La primitive de $x e^{-x^2}$ est $-\frac{1}{2} e^{-x^2}$.

$\int_0^1 x e^{-x^2} dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} e^{-1^2} - \left(-\frac{1}{2} e^{-0^2}\right) = -\frac{1}{2} e^{-1} + \frac{1}{2} e^0 = \frac{1}{2} (1 - e^{-1})$

L'énoncé est mal formulé s'il exige une IPP pour cette intégrale. Si on devait vraiment faire une IPP, on choisirait $u(x) = e^{-x^2}$ et $v'(x) = x$. Alors $u'(x) = -2x e^{-x^2}$ et $v(x) = \frac{x^2}{2}$.

$\int_0^1 x e^{-x^2} dx = \left[ \frac{x^2}{2} e^{-x^2} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} (-2x e^{-x^2}) dx$

$= \left( \frac{1^2}{2} e^{-1^2} - \frac{0^2}{2} e^{-0^2} \right) - \int_0^1 (-x^3 e^{-x^2}) dx = \frac{1}{2} e^{-1} + \int_0^1 x^3 e^{-x^2} dx$

Cette approche ne simplifie pas le calcul, elle le complexifie. Il est probable que l'énoncé attendait la primitive directe. On va supposer que l'énoncé voulait dire "calculer l'intégrale" et non "par IPP" pour cette partie.

2-b) Calculer $\int_0^1 F(x) dx$ : On doit calculer $J = \int_0^1 F(x) dx = \int_0^1 \left( \int_0^x e^{-t^2} dt \right) dx$. C'est une intégrale d'une fonction définie par une intégrale. C'est un cas typique d'intégration par parties. Posons $u(x) = F(x)$ et $v'(x) = 1$. Alors $u'(x) = F'(x) = e^{-x^2}$ (d'après 1-b) et $v(x) = x$. En appliquant la formule d'IPP :

$\int_0^1 F(x) \, dx = [x F(x)]_0^1 - \int_0^1 x F'(x) \, dx$

$= (1 \cdot F(1) - 0 \cdot F(0)) - \int_0^1 x e^{-x^2} \, dx$

On sait que $F(0) = 0$.

$= F(1) - \int_0^1 x e^{-x^2} \, dx$

On a calculé $\int_0^1 x e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$ à la question précédente. Et $F(1) = \int_0^1 e^{-t^2} dt$. Donc $J = \int_0^1 e^{-t^2} dt - \frac{1}{2}(1-e^{-1})$. Cette expression est la réponse attendue. L'intégrale $\int_0^1 e^{-t^2} dt$ (appelée fonction d'erreur) n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles, donc on la laisse sous forme intégrale.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les problèmes d'intégrales au Bac.

1. Identifier le type de problème : S'agit-il de calculer une primitive, une intégrale définie, une aire, un volume, ou une intégrale par parties/changement de variable ?
2. Calcul de primitives :
   • Geste 1 : Chercher une primitive directe à l'aide du tableau des primitives usuelles.
   • Geste 2 : Si c'est une fonction composée, essayer d'identifier la forme $u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$, etc.
   • Geste 3 : Si la fonction est une somme ou différence, utiliser la linéarité pour primitiver chaque terme séparément.
3. Calcul d'intégrales définies :
   • Geste 1 : Trouver une primitive $F(x)$ de l'intégrande.
   • Geste 2 : Appliquer la formule $F(b) - F(a)$.
   • Geste 3 : Si l'intégrande est un produit, envisager l'intégration par parties. Choisir $u(x)$ et $v'(x)$ judicieusement (ALPES).
   • Geste 4 : Si l'intégrande est complexe, penser au changement de variable. Poser $x=g(t)$, calculer $dx=g'(t)dt$ et changer les bornes.
4. Applications (aires et volumes) :
   • Geste 1 : Pour l'aire sous une courbe, toujours intégrer $|f(x)|$. Déterminer les intervalles où $f(x)$ est positive ou négative.
   • Geste 2 : Pour l'aire entre deux courbes, intégrer $|f(x)-g(x)|$. Déterminer la position relative des courbes.
   • Geste 3 : Pour le volume de révolution, appliquer la formule $\pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx$.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Le calcul intégral est un chapitre qui pèse environ 10% de la note finale en analyse. Il est presque toujours présent dans les sujets du Bac.

Formats de questions réels :

• Calcul de primitives : Souvent en début d'exercice, pour des fonctions usuelles ou composées simples. (Application directe des connaissances)
• Calcul d'intégrales définies :
  • Directement après avoir trouvé une primitive.
  • Nécessitant une intégration par parties (IPP). C'est très fréquent, surtout avec des produits de polynômes et exponentielles/logarithmes.
  • Nécessitant un changement de variable. Moins fréquent que l'IPP, mais possible.
• Étude de suites d'intégrales $(I_n)$ :
  • Montrer qu'une suite $(I_n)$ est monotone (souvent décroissante) en étudiant le signe de l'intégrande.
  • Montrer qu'elle est convergente (si monotone et bornée).
  • Établir une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$ (souvent par IPP).
  • Encadrer $I_n$ et en déduire sa limite (théorème des gendarmes).
• Fonctions définies par une intégrale :
  • Déterminer le signe de $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$.
  • Calculer $F'(x)$ (application du théorème fondamental de l'analyse).
  • Calculer une intégrale de $F(x)$ par IPP.
• Calcul d'aires et de volumes : Application directe des formules, après avoir éventuellement déterminé les points d'intersection des courbes ou le signe de la fonction.

Barème : Le barème est détaillé par étape. La démarche et la justification sont aussi importantes que le résultat final. Par exemple, pour une IPP, le choix de $u$ et $v'$, le calcul de $u'$ et $v$, l'application de la formule, et le calcul final sont tous des points à ne pas négliger. Une erreur de calcul peut coûter des points, mais une démarche correcte en rapporte toujours.