Fonctions logarithmes

L'intuition

Imagine que tu as une machine à remonter le temps. Pas n'importe quelle machine : une qui te permet de savoir combien de temps il faut pour atteindre une certaine taille si tu grandis à un rythme constant. Par exemple, si tu doubles de taille toutes les heures, combien d'heures te faut-il pour être 8 fois plus grand ? C'est 3 heures, car $2^3 = 8$. Et pour être 16 fois plus grand ? 4 heures, car $2^4 = 16$.

La fonction logarithme, c'est un peu ça. C'est la fonction qui répond à la question : "À quelle puissance dois-je élever un nombre (appelé la base) pour obtenir un autre nombre ?". La fonction $\ln(x)$, c'est le logarithme népérien, dont la base est le nombre $e$ (environ 2.718). Donc, $\ln(x)$ répond à la question : "À quelle puissance dois-je élever $e$ pour obtenir $x$ ?".

C'est une fonction qui transforme les multiplications en additions, et les divisions en soustractions. C'est pour ça qu'elle était très utilisée avant les calculatrices pour simplifier les calculs complexes.

Le cours

I. Fonction logarithme népérien ($\ln$)

1. Définition et propriétés fondamentales

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $x \mapsto e^x$. Elle est définie sur $]0, +\infty[$.

• Pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$, $y = \ln(x) \iff x = e^y$.
• $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$.
• $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$.
• Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.

Observe la symétrie par rapport à la droite $y=x$. C'est la caractéristique des fonctions réciproques.

2. Propriétés algébriques

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout entier relatif $n$:

• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$
• $\ln(a^n) = n \ln(a)$
• $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$

3. Étude de la fonction $\ln$

a) Dérivabilité et sens de variation

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et sa dérivée est: Pour tout $x > 0$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Puisque pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

b) Limites aux bornes de l'ensemble de définition

• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

c) Tableau de variations

d) Courbe représentative

La courbe de $\ln(x)$ passe par le point $(1, 0)$ et $(e, 1)$. Elle admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.

4. Limites usuelles

Ces limites sont très importantes et sont souvent utilisées dans les exercices.

• $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissance comparée)
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$

5. Dérivée d'une fonction composée

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $\ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est: $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

II. Fonction logarithme de base $a$

1. Définition

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. La fonction logarithme de base $a$, notée $\log_a$, est définie pour tout $x > 0$ par: $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

2. Propriétés

• $\log_a(1) = 0$
• $\log_a(a) = 1$
• $\log_a(a^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
• $a^{\log_a(x)} = x$ pour tout $x > 0$
• $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
• $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$
• $\log_a(x^n) = n \log_a(x)$

3. Cas particulier: Logarithme décimal ($\log$)

Lorsque la base est $10$, on parle de logarithme décimal, noté $\log$. $\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$

Exemple résolu

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-\infty, 1[$ par : $f(x) = \ln(1-x)$

Partie I

1. a) Montrer que la fonction $f$ est continue sur $I$. b) Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. c) Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $f(0)$. d) Interpréter graphiquement les résultats obtenus. e) Donner le tableau de variations de $f$.

--- CORRIGÉ ---

1. a) Continuité de $f$ sur $I$ La fonction $x \mapsto 1-x$ est une fonction affine, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$. Pour $x \in ]-\infty, 1[$, on a $1-x > 0$. La fonction $\ln(u)$ est continue sur $]0, +\infty[$. Puisque $x \mapsto 1-x$ est continue sur $I$ et $1-x > 0$ pour tout $x \in I$, alors par composition, la fonction $f(x) = \ln(1-x)$ est continue sur $I$.

   b) Sens de variation de $f$ sur $I$ La fonction $f$ est de la forme $\ln(u(x))$ avec $u(x) = 1-x$. La fonction $u(x)$ est dérivable sur $I$ et $u'(x) = -1$. Pour tout $x \in I$, $u(x) = 1-x > 0$. Donc $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{-1}{1-x}$. Pour tout $x \in ]-\infty, 1[$, $1-x > 0$, donc $\frac{-1}{1-x} < 0$. Par conséquent, $f'(x) < 0$ sur $I$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $I$.

   c) Calcul des limites et de $f(0)$

   • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \ln(1-x)$ Posons $X = 1-x$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$. Donc $\lim_{x \to -\infty} \ln(1-x) = \lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$.

   • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \ln(1-x)$ Posons $X = 1-x$. Quand $x \to 1^-$, $X \to 0^+$. Donc $\lim_{x \to 1^-} \ln(1-x) = \lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$.

   • $f(0) = \ln(1-0) = \ln(1) = 0$.

   d) Interprétation graphique

   • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ signifie que la droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.
   • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ ne donne pas d'asymptote horizontale. Il faudrait étudier $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$ pour voir s'il y a une branche parabolique.

   e) Tableau de variations de $f$

   $x$	$-\infty$		$1$
   $f'(x)$		$-$
   $f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-\infty$

La méthode

Pour réussir les exercices sur les fonctions logarithmes, suis ces étapes clés:

1. Déterminer l'ensemble de définition:

   • La fonction $\ln(u(x))$ est définie si et seulement si $u(x) > 0$.
   • C'est la première chose à faire pour toute fonction avec $\ln$.
   1. 1

      Déterminer l'ensemble de définition de $f(x) = \ln(2x-1)$

      Il faut que $2x-1 > 0$.

   2. 2

      Résoudre l'inéquation $2x-1 > 0$

   3. 3

      Écrire l'ensemble de définition

   Étape suivante

2. Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition:

   • Utilise les limites usuelles de $\ln(x)$ en $0^+$ et $+\infty$.
   • N'oublie pas les changements de variable si nécessaire (comme dans l'exemple résolu).

3. Calculer la dérivée et étudier le sens de variation:

   • Si $f(x) = \ln(u(x))$, alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
   • Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $u'(x)$ (car $u(x) > 0$ sur l'ensemble de définition).

4. Simplifier les expressions logarithmiques:

   • Applique les propriétés algébriques de $\ln$ pour réduire les expressions.
   • Exemple: $\ln(5) + \ln(2) = \ln(5 \times 2) = \ln(10)$.

5. Résoudre des équations et inéquations avec $\ln$:

   • Pour résoudre $\ln(A) = \ln(B)$, on utilise $A=B$ (avec $A>0, B>0$).
   • Pour résoudre $\ln(A) = k$, on utilise $A = e^k$ (avec $A>0$).
   • Pour résoudre $\ln(A) < \ln(B)$, on utilise $A < B$ (car $\ln$ est croissante, avec $A>0, B>0$).
   • Toujours vérifier les conditions d'existence des logarithmes ($A>0, B>0$).

Pièges classiques

• Oublier l'ensemble de définition: C'est l'erreur la plus fréquente. Toujours commencer par $u(x) > 0$.

  Vérifie que tu suis

  L'ensemble de définition de $f(x) = \ln(x-3)$ est :

  $]3, +\infty[$$]-\infty, 3[$$\mathbb{R}$

• Confondre les propriétés algébriques:

  • $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$
  • $\ln(a-b) \neq \ln(a) - \ln(b)$
  • $(\ln(x))^n \neq n \ln(x)$ (sauf si $n=1$)

• Erreurs de signe dans la dérivée: Si $f(x) = \ln(1-x)$, $f'(x) = \frac{-1}{1-x}$, pas $\frac{1}{1-x}$.

• Ne pas utiliser les limites usuelles: Tenter de calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$ sans connaître la limite usuelle est une perte de temps et peut mener à des erreurs.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions logarithmes est un pilier de l'analyse et est systématiquement évalué. Il représente une part significative des points en analyse.

Format des questions:

• Calcul de limites: Souvent des limites aux bornes de l'ensemble de définition, ou des limites faisant intervenir les croissances comparées.
  • Exemple: Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ pour $f(x) = \ln(1-x)$.
• Étude de la continuité et de la dérivabilité: Appliquer les théorèmes de composition pour justifier la continuité et la dérivabilité.
  • Exemple: Montrer que $f(x) = \ln(1-x)$ est continue sur $]-\infty, 1[$.
• Calcul de la dérivée et sens de variation: Dériver des fonctions de type $\ln(u(x))$ et en déduire le tableau de variations.
  • Exemple: Montrer que $f(x) = \ln(1-x)$ est strictement décroissante.
• Interprétation graphique: Déduire des asymptotes ou des branches paraboliques à partir des limites.
  • Exemple: Interpréter graphiquement $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$.
• Simplification d'expressions: Utiliser les propriétés algébriques de $\ln$.
  • Exemple: Simplifier $A = \ln(5) + \ln(2)$.
• Résolution d'équations/inéquations: Appliquer les propriétés de $\ln$ pour isoler $x$.
• Fonctions logarithmes de base $a$: Moins fréquent que $\ln$, mais peut apparaître, notamment pour des questions de changement de base ou de propriétés.

Pondération et attendus:

• Application directe des connaissances (~40%): Définitions, propriétés, limites usuelles. Par exemple, donner l'ensemble de définition ou simplifier une expression.
• Mobilisation en situation familière (~40%): Étude de fonction complète (limites, dérivée, variations, asymptotes). C'est le cœur du chapitre.
• Situations non familières (~20%): Parfois, une question plus complexe qui demande une synthèse de plusieurs notions, comme l'étude d'une suite définie par une fonction logarithme ou des inégalités.

La rédaction doit être rigoureuse. Chaque étape de calcul ou de raisonnement doit être justifiée. Ne saute pas les étapes, même si elles te semblent évidentes. Le barème est souvent par étape.