Limites et continuité

L'intuition

Imagine que tu traces une route sur une carte. Si cette route est continue, tu peux la parcourir sans jamais rencontrer de pont cassé, de falaise infranchissable ou de portion manquante. La continuité d'une fonction, c'est exactement ça : une courbe que tu peux dessiner sans lever ton stylo du papier. Il n'y a pas de "trous", de "sauts" ou de "cassures".

La continuité est une propriété fondamentale qui assure que de petites variations de $x$ n'entraînent pas de changements brusques et imprévus de $f(x)$.

Dans le graphique ci-dessus, la fonction $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ est définie pour $x \neq 1$. Si tu simplifies, tu obtiens $f(x) = x+1$ pour $x \neq 1$. En $x=1$, il y a un "trou" dans la courbe de $f$. La fonction $g(x) = x+1$, elle, n'a pas ce trou. Elle est continue partout. L'idée de la continuité en un point, c'est de pouvoir "boucher" ce genre de trou.

Le cours

I. Continuité en un point

Définition 1 : Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Cette définition implique trois conditions essentielles :

1. $f(a)$ doit exister (le point $a$ doit appartenir au domaine de définition de $f$).
2. La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ doit exister et être finie.
3. Cette limite doit être égale à la valeur de la fonction en $a$.

Définition 2 : Continuité à droite et à gauche

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$.

• $f$ est continue à droite en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue à gauche en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

Propriété 1

Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite en $a$ et continue à gauche en $a$.

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \iff \left( \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \right)$

II. Continuité sur un intervalle

Définition 3 : Continuité sur un intervalle

• Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $(a,b)$ si elle est continue en tout point $x \in (a,b)$.
• Une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur l'intervalle ouvert $(a,b)$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

Propriétés des fonctions continues (à connaître par cœur)

Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition :

• Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.
• Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est continue sur son domaine de définition.
• Les fonctions trigonométriques $\sin(x)$ et $\cos(x)$ sont continues sur $\mathbb{R}$. La fonction $\tan(x)$ est continue sur son domaine de définition.
• La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
• La fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction logarithme népérien $x \mapsto \ln(x)$ est continue sur $]0, +\infty[$.
• La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Opérations sur les fonctions continues

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $k$ est un réel :

• La somme $f+g$ est continue sur $I$.
• Le produit par un scalaire $k \cdot f$ est continue sur $I$.
• Le produit $f \cdot g$ est continue sur $I$.
• Le quotient $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ pour tout $x \in I$ tel que $g(x) \neq 0$.
• Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $J$ tel que $f(I) \subset J$, alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$.

III. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème 1 : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

Le TVI est un théorème d'existence très puissant. Il ne te donne pas la valeur de $c$, mais il garantit qu'un tel $c$ existe.

Corollaire du TVI (cas de l'unicité)

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

Ce corollaire est fondamental pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation $f(x)=k$.

1. 1

   Démonstration du Corollaire du TVI

2. 2

   1. Existence

3. 3

   2. Unicité (par l'absurde)

4. 4

   3. Contradiction avec la stricte monotonie

5. 5

6. 6

7. 7

   6. Conclusion

Étape suivante

IV. Fonction réciproque

Théorème 2 : Théorème de la fonction réciproque

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$. La fonction réciproque $f^{-1}$ de $f$ est définie sur $J$ et a les propriétés suivantes :

1. $f^{-1}$ est continue sur $J$.
2. $f^{-1}$ a la même monotonie que $f$.
3. Pour tout $x \in I$ et tout $y \in J$, on a $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$.
4. La courbe représentative de $f^{-1}$ est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$.

Quand une fonction $f$ est continue et strictement monotone, elle "ne revient jamais sur elle-même". Chaque valeur de $y$ dans l'image $f(I)$ provient d'un unique $x$ dans $I$. C'est ce qui permet de définir une fonction réciproque.

Exemple résolu

Considérons l'extrait d'annale suivant : "Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$. Étudier la continuité de $f$ en $1$ après prolongement éventuel."

1. 1

   1. Déterminer le domaine de définition de $f$

   $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ est définie pour $x-1 \neq 0$, donc $x \neq 1$. Le domaine de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

2. 2

   2. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x \to 1$

3. 3

   3. Vérifier la continuité en $1$

4. 4

   4. Proposer un prolongement par continuité

5. 5

   5. Définir la fonction prolongée

6. 6

   6. Conclure sur la continuité du prolongement

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes types pour aborder les questions de continuité et de TVI à l'examen :

1. Étudier la continuité en un point $a$ :

   • Geste 1 : Vérifier si $f(a)$ existe. Si non, $f$ n'est pas continue en $a$.
   • Geste 2 : Calculer $\lim_{x \to a} f(x)$. Si la limite n'existe pas ou est infinie, $f$ n'est pas continue en $a$.
   • Geste 3 : Comparer la limite avec $f(a)$. Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, alors $f$ est continue en $a$. Sinon, elle ne l'est pas.
   • Cas particulier : Si $f$ est définie par morceaux, utiliser les limites à droite et à gauche : $\lim_{x \to a^+} f(x)$, $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et $f(a)$.

2. Étudier la continuité sur un intervalle $I$ :

   • Geste 1 : Identifier le type de fonctions composant $f$ (polynômes, rationnelles, trigonométriques, etc.).
   • Geste 2 : Utiliser les propriétés de continuité des fonctions usuelles et des opérations sur les fonctions continues. Justifier chaque étape (ex: "somme de fonctions continues", "produit de fonctions continues", "composée de fonctions continues").
   • Geste 3 : Si l'intervalle est fermé $[a,b]$, étudier la continuité à droite en $a$ et à gauche en $b$ séparément.

3. Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

   • Geste 1 : Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle $[a,b]$. C'est une condition indispensable.
   • Geste 2 : Calculer $f(a)$ et $f(b)$.
   • Geste 3 : Vérifier que la valeur $k$ est bien comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
   • Geste 4 : Conclure en utilisant la formulation exacte du TVI : "Puisque $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors d'après le TVI, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$."

4. Appliquer le Corollaire du TVI (existence et unicité) :

   • Geste 1 : Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle $[a,b]$.
   • Geste 2 : Étudier la monotonie de $f$ sur $[a,b]$ (souvent en étudiant le signe de $f'(x)$). S'assurer qu'elle est strictement monotone.
   • Geste 3 : Calculer $f(a)$ et $f(b)$.
   • Geste 4 : Vérifier que la valeur $k$ est bien comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
   • Geste 5 : Conclure en utilisant la formulation exacte du corollaire : "Puisque $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors d'après le corollaire du TVI, il existe un unique $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$."

5. Appliquer le Théorème de la fonction réciproque :

   • Geste 1 : Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle $I$.
   • Geste 2 : Vérifier que $f$ est strictement monotone sur $I$.
   • Geste 3 : Déterminer l'intervalle image $J = f(I)$.
   • Geste 4 : Conclure sur l'existence de $f^{-1}$ et ses propriétés : "Puisque $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$. Sa fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a la même monotonie que $f$."

Pièges classiques

1. Oublier les conditions du TVI : La continuité est une condition sine qua non. Si la fonction n'est pas continue, le TVI ne s'applique pas.

   Vérifie que tu suis

   La fonction $f(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ est-elle continue sur $[-1, 1]$ ?

   NonOui

2. Confondre existence et unicité : Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la condition de stricte monotonie.

3. Erreur dans le domaine de définition : Une fonction n'est continue que sur son domaine de définition. Par exemple, $\ln(x)$ est continue sur $]0, +\infty[$, pas sur $\mathbb{R}$.

4. Ne pas justifier la continuité des fonctions usuelles ou des opérations : Même si c'est "évident", il faut le mentionner. Par exemple, "la fonction $x \mapsto x^2+1$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$".

5. Ne pas vérifier $g(x) \neq 0$ pour un quotient : Si tu as un quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$, il faut s'assurer que le dénominateur ne s'annule pas sur l'intervalle considéré.

6. Oublier la continuité aux bornes pour un intervalle fermé : Pour $[a,b]$, il faut la continuité à droite en $a$ et à gauche en $b$.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les limites et la continuité sont omniprésentes dans les épreuves du Bac. Elles sont souvent intégrées dans la première partie de l'exercice d'analyse, qui peut représenter jusqu'à 10 points sur 20.

Voici les formats de questions que tu rencontreras fréquemment :

• Calcul de limites : Souvent des formes indéterminées nécessitant factorisation, multiplication par le conjugué, ou utilisation de limites remarquables.
  • Exemple d'annale : "Montrer que : $\lim_{x \to -1^+} g(x) = 2$." (Corrigé 2023, partie I, 1-a)
• Étude de la continuité en un point : Application directe de la définition, souvent avec une fonction définie par morceaux ou nécessitant un prolongement par continuité.
  • Exemple d'annale : "Étudier la continuité de $f$ en $1$ après prolongement éventuel." (Extrait d'annale fourni)
  • Exemple d'annale : "Continuité de $f$, à droite en $0$." (Corrigé 2024, EXERCICE I, -1)
• Étude de la continuité sur un intervalle : Justification de la continuité en utilisant les propriétés des fonctions usuelles et des opérations.
  • Exemple d'annale : "Continuité de la fonction $F$ sur l'intervalle $I$." (Corrigé 2023, partie III, 1-a)
• Application du TVI ou de son corollaire : Pour montrer l'existence (et l'unicité) de solutions à une équation $f(x)=k$. Cela implique souvent l'étude de la monotonie de la fonction via sa dérivée.
  • Exemple d'annale : "Démonstration de la double inégalité. Déduction de l'encadrement de $f'(x)$ sur $]0, +\infty[$." (Corrigé 2023, EXERCICE I, 4) — Bien que ne mentionnant pas explicitement le TVI, ces questions préparent souvent à son application.
• Théorème de la fonction réciproque : Montrer qu'une fonction admet une réciproque et étudier ses propriétés (continuité, monotonie).
  • Exemple d'annale : Souvent implicite dans les questions où on te demande de montrer qu'une fonction est une bijection d'un intervalle sur un autre.

Barème et attendus : La rédaction rigoureuse est cruciale. Chaque étape de la méthode doit être clairement justifiée.

• 0.25 point pour le calcul d'une limite simple.
• 0.5 point pour une justification de continuité en un point.
• 0.75 à 1 point pour une application complète du TVI ou de son corollaire, incluant la vérification des conditions.
• 1 point pour la démonstration de l'existence d'une fonction réciproque et de ses propriétés.

N'oublie pas que la démarche et la justification comptent autant que le résultat final. Sois précis dans tes énoncés de théorèmes et tes propriétés.