Espaces vectoriels

L'intuition

Imagine que tu es un architecte et que tu dois construire des bâtiments. Pour cela, tu as besoin de briques de base. Ces briques sont les "vecteurs". Tu peux les assembler (les "additionner") pour créer des structures plus grandes, ou les multiplier (les "scaler") pour les rendre plus grandes ou plus petites.

L'espace vectoriel, c'est ton chantier. C'est l'ensemble de toutes les structures que tu peux construire avec tes briques, en respectant certaines règles. Par exemple, si tu as une brique rouge et une brique bleue, tu peux faire une structure rouge et bleue. Si tu as deux briques rouges, tu peux en faire une plus grande. Mais tu ne peux pas, par exemple, transformer une brique en un fruit. Les règles sont strictes.

Les "dimensions" de ton chantier, c'est le nombre minimum de briques différentes dont tu as besoin pour construire n'importe quelle structure sur ce chantier. Si tu peux tout construire avec seulement deux types de briques (par exemple, une brique qui va vers le nord et une autre qui va vers l'est), alors ton chantier est en 2 dimensions. Si tu as besoin d'une brique pour le nord, une pour l'est, et une pour le haut, alors ton chantier est en 3 dimensions.

Un "sous-espace vectoriel", c'est une partie de ton chantier où tu peux construire des structures qui respectent les mêmes règles, mais qui sont peut-être plus limitées. Par exemple, si ton chantier est en 3D, un sous-espace pourrait être juste le sol (2D), ou une ligne droite (1D).

Le cours

Un espace vectoriel est une structure fondamentale en mathématiques. Il généralise la notion de vecteurs que tu connais en géométrie.

I. Structure d'espace vectoriel réel

Un ensemble $E$ est un espace vectoriel réel (ou $\mathbb{R}$-espace vectoriel) si :

1. $E$ est non vide.
2. $E$ est muni d'une loi de composition interne, appelée addition de vecteurs, notée $+$ : $\forall (u, v) \in E^2, u+v \in E$.
3. $E$ est muni d'une loi de composition externe, appelée multiplication par un scalaire, notée $\cdot$ : $\forall (\alpha, u) \in \mathbb{R} \times E, \alpha \cdot u \in E$.

Ces deux lois doivent vérifier les huit axiomes suivants :

Axiomes de l'addition :

• A1. Commutativité : $\forall (u, v) \in E^2, u+v = v+u$.
• A2. Associativité : $\forall (u, v, w) \in E^3, (u+v)+w = u+(v+w)$.
• A3. Élément neutre : Il existe un unique vecteur $0_E \in E$, appelé vecteur nul, tel que $\forall u \in E, u+0_E = u$.
• A4. Opposé : $\forall u \in E$, il existe un unique vecteur $-u \in E$, appelé opposé de $u$, tel que $u+(-u) = 0_E$.

Axiomes de la multiplication par un scalaire :

• M1. Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall (u, v) \in E^2, \alpha \cdot (u+v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v$.
• M2. Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \forall u \in E, (\alpha+\beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u$.
• M3. Associativité mixte : $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \forall u \in E, (\alpha \beta) \cdot u = \alpha \cdot (\beta \cdot u)$.
• M4. Élément neutre : $\forall u \in E, 1 \cdot u = u$.

Exemples d'espaces vectoriels :

• $(\mathbb{R}^n, +, \cdot)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel pour $n \in \mathbb{N}^*$. C'est l'exemple le plus courant, notamment pour $n=2$ ou $n=3$.
• L'ensemble des fonctions continues sur un intervalle $[a,b]$ est un espace vectoriel.
• L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, $\mathbb{R}_n[X]$, est un espace vectoriel.

II. Sous-espaces vectoriels

Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est lui-même un espace vectoriel pour les mêmes lois que $E$.

Pour montrer qu'un sous-ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier trois conditions :

Théorème (Caractérisation d'un sous-espace vectoriel) : Soit $(E, +, \cdot)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $F$ un sous-ensemble de $E$. $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

1. $F \neq \emptyset$ (ou plus simplement, $0_E \in F$).
2. $F$ est stable par addition : $\forall (u, v) \in F^2, u+v \in F$.
3. $F$ est stable par multiplication par un scalaire : $\forall (\alpha, u) \in \mathbb{R} \times F, \alpha \cdot u \in F$.

Ces deux dernières conditions peuvent être regroupées en une seule : $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \forall (u, v) \in F^2, \alpha \cdot u + \beta \cdot v \in F$.

Exemple : Montrer que $F = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / y = -3x\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.

1. 1

   1. $F \neq \emptyset$

   Le vecteur nul $(0,0)$ vérifie $0 = -3 \cdot 0$, donc $(0,0) \in F$. Ainsi $F \neq \emptyset$.

2. 2

   2. Stabilité par addition

3. 3

   $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2)$. On vérifie si $y_1+y_2 = -3(x_1+x_2)$.

4. 4

   $y_1+y_2 = -3x_1 + (-3x_2) = -3(x_1+x_2)$. Donc $u+v \in F$.

5. 5

   3. Stabilité par multiplication par un scalaire

6. 6

   $\alpha \cdot u = (\alpha x, \alpha y)$. On vérifie si $\alpha y = -3(\alpha x)$.

7. 7

   $\alpha y = \alpha (-3x) = -3(\alpha x)$. Donc $\alpha \cdot u \in F$.

8. 8

   Conclusion

Étape suivante

III. Familles de vecteurs

A. Combinaison linéaire

Un vecteur $v \in E$ est une combinaison linéaire des vecteurs $(v_1, \dots, v_n)$ si il existe des scalaires $(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$ tels que $v = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n$.

B. Famille génératrice

Une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_n)$ est une famille génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de $(v_1, \dots, v_n)$. Autrement dit, $\forall u \in E, \exists (\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$ tels que $u = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n$. On dit alors que $E$ est engendré par $(v_1, \dots, v_n)$, et on note $E = \text{Vect}(v_1, \dots, v_n)$.

C. Famille libre

Une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_n)$ est libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui est égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Autrement dit, $\alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n = 0_E \implies \alpha_1 = \dots = \alpha_n = 0$. Si une famille n'est pas libre, elle est dite liée. Dans une famille liée, au moins un vecteur peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres.

Exemple : Déterminer si les vecteurs $u = (1, 2)$ et $v = (3, 6)$ sont linéairement indépendants (libres) ou linéairement dépendants (liés) dans $\mathbb{R}^2$.

1. 1

   1. Poser la combinaison linéaire nulle

   Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha u + \beta v = 0_{\mathbb{R}^2}$.

2. 2

   $\alpha (1, 2) + \beta (3, 6) = (0, 0)$.

3. 3

   2. Écrire le système d'équations

4. 4

   Ce qui donne le système :

5. 5

   $\begin{cases} \alpha + 3\beta = 0 \\ 2\alpha + 6\beta = 0 \end{cases}$

6. 6

   3. Résoudre le système

7. 7

   Le système se réduit à une seule équation : $\alpha = -3\beta$.

8. 8

   4. Conclure

9. 9

   On a trouvé des coefficients non nuls ($\alpha = -3, \beta = 1$) tels que $-3u + 1v = 0_{\mathbb{R}^2}$.

10. 10

    Donc la famille $(u, v)$ est liée.

Étape suivante

D. Base d'un espace vectoriel

Une famille de vecteurs $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de l'espace vectoriel $E$ si elle est à la fois :

1. Libre
2. Génératrice de $E$.

Si un espace vectoriel admet une base, il est dit de dimension finie. Tous les espaces vectoriels que tu étudieras au Bac sont de dimension finie.

Propriétés importantes :

• Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, alors tout vecteur $u \in E$ s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base : $u = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$. Les scalaires $(x_1, \dots, x_n)$ sont appelés les coordonnées de $u$ dans la base $(e_1, \dots, e_n)$.
• Toutes les bases d'un même espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre de vecteurs.

IV. Dimension d'un espace vectoriel

La dimension d'un espace vectoriel $E$, notée $\dim(E)$, est le nombre de vecteurs dans n'importe quelle de ses bases.

Exemples :

• $\dim(\mathbb{R}^2) = 2$. La base canonique est $((1,0), (0,1))$.
• $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$. La base canonique est $((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$.
• $\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n+1$. Une base est $(1, X, X^2, \dots, X^n)$.

Théorèmes clés :

• Dans un espace vectoriel de dimension $n$, toute famille libre de $n$ vecteurs est une base.
• Dans un espace vectoriel de dimension $n$, toute famille génératrice de $n$ vecteurs est une base.
• Dans un espace vectoriel de dimension $n$, une famille de plus de $n$ vecteurs est nécessairement liée.
• Dans un espace vectoriel de dimension $n$, une famille de moins de $n$ vecteurs ne peut pas être génératrice.

Dimension d'un sous-espace vectoriel : Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $\dim(F) \le \dim(E)$. De plus, si $\dim(F) = \dim(E)$, alors $F = E$.

Exemple résolu

Cet exercice est tiré d'une annale réelle et te montre comment appliquer les concepts.

On considère l'espace vectoriel de dimension $2$ noté $(V, +, \cdot)$. Soit $(i, j)$ une base de $V$. On pose : $e_1 = i + j$ et $e_2 = i - j$.

1. a- Montrer que $(e_1, e_2)$ est une base de $V$. b- Vérifier que : $e_1 \times e_1 = e_1$; $e_1 \times e_2 = e_2$; $e_2 \times e_1 = e_2$; $e_2 \times e_2 = 0$. (Note: cette partie concerne une loi de composition interne $\times$ qui n'est pas la multiplication scalaire habituelle, elle est définie dans l'énoncé complet mais non fournie ici. Nous nous concentrerons sur la partie vectorielle.)

Solution détaillée pour 1-a :

1. 1

   1. Identifier la dimension de l'espace

   L'énoncé dit que $V$ est un espace vectoriel de dimension 2.

2. 2

   2. Déterminer le nombre de vecteurs dans la famille à tester

3. 3

   3. Appliquer le théorème approprié

4. 4

   4. Poser la combinaison linéaire nulle

5. 5

   5. Remplacer $e_1$ et $e_2$ par leurs expressions en fonction de la base $(i, j)$

6. 6

   6. Regrouper les termes en $i$ et $j$

7. 7

   7. Utiliser le fait que $(i, j)$ est une base

8. 8

   $\begin{cases} \alpha+\beta = 0 \\ \alpha-\beta = 0 \end{cases}$

9. 9

   8. Résoudre le système

10. 10

    En soustrayant la deuxième de la première : $(\alpha+\beta) - (\alpha-\beta) = 0 \implies 2\beta = 0 \implies \beta = 0$.

11. 11

    9. Conclure

12. 12

    10. Finaliser la démonstration

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend.

M.1. Montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel

C'est rare qu'on te demande de vérifier les 8 axiomes. Généralement, on te donne un ensemble $E$ et on te dit que c'est un espace vectoriel, ou bien on te demande de montrer qu'un sous-ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel.

M.2. Montrer qu'un sous-ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$

1. Vérifier que $F$ est non vide : Le plus simple est de montrer que le vecteur nul de $E$ appartient à $F$.
   • Geste : Écris $0_E = (0, \dots, 0)$ (si $E=\mathbb{R}^n$) ou $0_E(x)=0$ (si $E$ est un espace de fonctions), et vérifie s'il satisfait la condition de $F$.
2. Vérifier la stabilité par combinaison linéaire (méthode rapide) :
   • Geste : Prends deux vecteurs $u, v \in F$ et deux scalaires $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
   • Geste : Forme la combinaison linéaire $\alpha u + \beta v$.
   • Geste : Vérifie si $\alpha u + \beta v$ satisfait la condition qui définit $F$.
   • Alternative (deux étapes) : Vérifier la stabilité par addition, puis la stabilité par multiplication scalaire. C'est plus long mais parfois plus clair.

M.3. Montrer qu'une famille de vecteurs est libre

1. Poser la combinaison linéaire nulle : Soit la famille $(v_1, \dots, v_n)$. Écris $\alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n = 0_E$.
2. Traduire en système d'équations : Si les vecteurs sont des $n$-uplets, cela donne un système linéaire homogène.
3. Résoudre le système : Cherche les valeurs de $\alpha_1, \dots, \alpha_n$.
4. Conclure :
   • Si la seule solution est $\alpha_1 = \dots = \alpha_n = 0$, alors la famille est libre.
   • Si tu trouves au moins une solution avec des coefficients non tous nuls, alors la famille est liée.

M.4. Montrer qu'une famille de vecteurs est génératrice

1. Prendre un vecteur $u$ quelconque de $E$ : Écris $u = (x, y, z)$ si $E=\mathbb{R}^3$, par exemple.
2. Poser l'équation de la combinaison linéaire : Écris $u = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n$.
3. Traduire en système d'équations : Cela donne un système linéaire avec $x, y, z$ comme seconds membres et $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ comme inconnues.
4. Vérifier l'existence d'une solution : Le système doit toujours avoir au moins une solution, quelles que soient les valeurs de $x, y, z$.

M.5. Montrer qu'une famille est une base

1. Vérifier la dimension de l'espace $E$ : Soit $n = \dim(E)$.
2. Compter le nombre de vecteurs de la famille : Soit $p$ le nombre de vecteurs dans la famille.
3. Appliquer les théorèmes :
   • Si $p=n$ : Il suffit de montrer que la famille est libre (ou génératrice).
   • Si $p \neq n$ : La famille ne peut pas être une base.

Pièges classiques

• Oublier de vérifier $F \neq \emptyset$ pour un sous-espace vectoriel. C'est une condition nécessaire. Le plus simple est de montrer que le vecteur nul appartient à $F$.
• Confondre libre et génératrice. Une famille peut être l'un sans être l'autre. Une base est les deux.
• Penser qu'une famille de $n$ vecteurs est toujours une base en dimension $n$. Non, elle doit être libre (ou génératrice). Par exemple, $((1,0), (2,0))$ n'est pas une base de $\mathbb{R}^2$ car elle est liée.
• Erreurs de calcul lors de la résolution des systèmes linéaires pour tester la liberté ou la génératrice. Sois rigoureux !
• Utiliser le déterminant pour la liberté/base dans des espaces de dimension supérieure à 3 sans justification. Le déterminant est un outil puissant pour $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ (matrice carrée), mais il faut justifier son utilisation ou revenir à la définition de la liberté pour des cas plus généraux.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des espaces vectoriels représente une petite partie de l'examen (environ 5%). Les questions sont généralement directes et visent à vérifier ta compréhension des définitions et des propriétés fondamentales.

Formats de questions réels :

1. Vérification de sous-espace vectoriel :

   • "Montrer que $F = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / y = -3x\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$." (Très fréquent)
   • Ces questions testent ta capacité à appliquer la caractérisation d'un sous-espace vectoriel (non vide, stabilité par addition, stabilité par multiplication scalaire).

2. Liberté / Dépendance linéaire d'une famille de vecteurs :

   • "Déterminer si les vecteurs $u = (1, 2)$ et $v = (3, 6)$ sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants dans $\mathbb{R}^2$."
   • Il s'agit de poser une combinaison linéaire nulle et de résoudre le système linéaire associé.

3. Vérification d'une base :

   • "Montrer que $(e_1, e_2)$ est une base de $V$." (Comme dans l'exemple résolu)
   • Ces questions combinent souvent la notion de liberté avec la connaissance de la dimension de l'espace.

4. Coordonnées dans une base (moins fréquent mais possible) :

   • "Étant donnée une base $(e_1, e_2)$, exprimer un vecteur $u$ dans cette base."
   • Cela revient à résoudre un système linéaire pour trouver les coefficients.

Pondération et attendus :

• Application directe des connaissances (~40%) : Définitions de sous-espace, de famille libre/génératrice, de base. Tu dois les connaître par cœur et savoir les appliquer.
• Mobilisation en situation familière (~40%) : Les exercices sont souvent des applications directes de ces définitions dans des contextes comme $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$. La difficulté réside dans la rigueur de la rédaction et la justesse des calculs (résolution de systèmes).
• Situations non familières (~20%) : Parfois, une question peut introduire une loi de composition interne ou externe inhabituelle, comme dans l'extrait d'annale avec la loi $\times$. Dans ce cas, il faut revenir aux définitions fondamentales de l'espace vectoriel et des axiomes. Cependant, la partie "Espaces vectoriels" de ce chapitre reste très classique.

Conseils pour l'examen :

• Rigueur de la rédaction : Chaque étape doit être justifiée. Ne te contente pas de donner un résultat.
• Maîtrise des systèmes linéaires : La résolution de systèmes est au cœur de ce chapitre. Entraîne-toi à les résoudre rapidement et sans erreur.
• Connaissance des définitions : Les définitions de base, libre, génératrice, sous-espace vectoriel sont tes outils principaux.
• Ne pas paniquer face à des notations inhabituelles : Si une nouvelle loi est introduite, reviens aux axiomes et vérifie-les un par un si nécessaire.

Ce chapitre est un bon moyen de gagner des points si tu maîtrises les bases. Il est moins calculatoire que l'analyse, mais demande une bonne compréhension conceptuelle.