Équations différentielles

Ce chapitre est fondamental en analyse. Il te permet de modéliser des phénomènes où la variation d'une quantité dépend de la quantité elle-même. C'est un outil puissant en physique, en chimie, en économie. À l'examen, c'est souvent un exercice court, mais qui rapporte des points faciles si tu maîtrises la méthode.

L'intuition

Imagine que tu as un compte en banque. L'argent sur ce compte change en fonction de ce qu'il y a déjà dessus (les intérêts) et de ce que tu y ajoutes ou retires (versements, prélèvements).

Si $y(t)$ représente l'argent sur ton compte au temps $t$, alors $y'(t)$ représente la vitesse à laquelle cet argent change. Une équation différentielle relie $y'(t)$ à $y(t)$ et à d'autres facteurs.

Par exemple, si ton argent augmente proportionnellement à ce que tu as déjà, on pourrait avoir $y'(t) = a \cdot y(t)$. Si en plus tu fais un versement constant $b$, ça devient $y'(t) = a \cdot y(t) + b$. C'est exactement la forme de la première équation que tu vas étudier.

Pour le second ordre, c'est un peu plus abstrait, mais pense à un pendule. Sa position $y(t)$ dépend non seulement de sa vitesse $y'(t)$ mais aussi de son accélération $y''(t)$. C'est ce genre de situation que les équations du second ordre modélisent.

Le cours

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme $y' + ay = b$, où $a$ et $b$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Au programme, $a$ et $b$ sont des constantes réelles.

Définition 1 : Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants Une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est une équation de la forme :

$y' + ay = b$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.

1. Équation sans second membre (homogène)

L'équation sans second membre associée à $y' + ay = b$ est $y' + ay = 0$.

Propriété 1 : Solutions de l'équation homogène Les solutions de l'équation différentielle $y' + ay = 0$ sont les fonctions de la forme :

$y_h(x) = K e^{-ax}$

où $K$ est une constante réelle.

1. 1

   Démonstration de la Propriété 1

2. 2

   On a $y' + ay = 0$. Si $y(x) \neq 0$, on peut écrire $y'/y = -a$.

3. 3

   En intégrant les deux membres par rapport à $x$:

4. 4

   On obtient:

5. 5

   En passant à l'exponentielle:

6. 6

   Posons $K_0 = e^{C'}$ (qui est une constante réelle strictement positive).

7. 7

   Donc $y(x) = K_0 e^{-ax}$ ou $y(x) = -K_0 e^{-ax}$.

8. 8

   En posant $K = \pm K_0$, on obtient $y(x) = K e^{-ax}$.

9. 9

   Si $y(x) = 0$ pour tout $x$, alors $y'(x) = 0$, et $0 + a \cdot 0 = 0$, donc $y(x) = 0$ est une solution. Cette solution est incluse dans la forme générale en prenant $K=0$.

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    Finalement, les solutions sont de la forme :

Étape suivante

2. Équation avec second membre

Pour résoudre l'équation $y' + ay = b$, on cherche une solution particulière $y_p(x)$. Puisque $b$ est une constante, on peut chercher une solution particulière constante.

Propriété 2 : Solution particulière constante Si $a \neq 0$, une solution particulière de l'équation $y' + ay = b$ est la fonction constante :

$y_p(x) = \frac{b}{a}$

1. 1

   Démonstration de la Propriété 2

2. 2

   Soit $y_p(x) = C$ une fonction constante.

3. 3

   Alors $y_p'(x) = 0$.

4. 4

   En remplaçant dans l'équation $y' + ay = b$:

5. 5

   Donc, si $a \neq 0$:

6. 6

   Ainsi, $y_p(x) = \frac{b}{a}$ est une solution particulière.

Étape suivante

Théorème 1 : Solution générale de $y' + ay = b$ La solution générale de l'équation différentielle $y' + ay = b$ (avec $a, b$ des constantes réelles et $a \neq 0$) est la somme de la solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière :

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = K e^{-ax} + \frac{b}{a}$

où $K$ est une constante réelle.

3. Cas particulier : $a=0$

Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$. Les solutions sont alors les primitives de $b$.

$y(x) = bx + K$

où $K$ est une constante réelle.

4. Conditions initiales

Pour déterminer la constante $K$, on utilise une condition initiale de la forme $y(x_0) = y_0$. On remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ dans la solution générale et on résout pour $K$.

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme $ay'' + by' + cy = 0$, où $a, b, c$ sont des constantes réelles et $a \neq 0$.

Définition 2 : Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme :

$ay'' + by' + cy = 0$

où $a, b, c$ sont des constantes réelles avec $a \neq 0$.

Définition 3 : Équation caractéristique L'équation caractéristique associée à $ay'' + by' + cy = 0$ est l'équation du second degré :

$ar^2 + br + c = 0$

Les solutions de l'équation différentielle dépendent de la nature des racines de l'équation caractéristique. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Théorème 2 : Solutions de $ay'' + by' + cy = 0$

1. Si $\Delta > 0$ : Deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. La solution générale est : $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$

   où $C_1, C_2$ sont des constantes réelles.

2. Si $\Delta = 0$ : Une racine réelle double $r_0 = -b/(2a)$. La solution générale est : $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$

   où $C_1, C_2$ sont des constantes réelles.

3. Si $\Delta < 0$ : Deux racines complexes conjuguées $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$. (où $\alpha = -b/(2a)$ et $\beta = \sqrt{-\Delta}/(2a)$) La solution générale est : $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$

   où $C_1, C_2$ sont des constantes réelles.

4. Conditions initiales

Pour déterminer les constantes $C_1$ et $C_2$, on a besoin de deux conditions initiales, généralement de la forme $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$. On calcule d'abord la dérivée $y'(x)$ de la solution générale, puis on remplace $x$ par $x_0$, $y(x)$ par $y_0$ et $y'(x)$ par $y'_0$ pour former un système linéaire de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$).

Exemple résolu

Reprenons un exercice d'annale : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y''-5y'+6y=0$."

1. 1

   Étape 1 : Identifier le type d'équation différentielle

2. 2

   L'équation est de la forme $ay'' + by' + cy = 0$, avec $a=1$, $b=-5$, $c=6$. C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

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   Étape 2 : Écrire l'équation caractéristique associée

4. 4

   L'équation caractéristique est $ar^2 + br + c = 0$.

5. 5

   Ici, $r^2 - 5r + 6 = 0$.

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   Étape 3 : Résoudre l'équation caractéristique

7. 7

   On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

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   $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$.

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   Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes :

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    $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

11. 11

    $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

12. 12

    Étape 4 : Écrire la solution générale

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    Puisque nous avons deux racines réelles distinctes $r_1=2$ et $r_2=3$, la solution générale est de la forme $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.

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    Donc, $y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$.

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    Étape 5 : Conclure

16. 16

    Les solutions de l'équation différentielle $y''-5y'+6y=0$ sont les fonctions $y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend.

Pour $y' + ay = b$ (avec $a, b$ constantes, $a \neq 0$) :

1. Identifier l'équation : Reconnaître la forme $y' + ay = b$.
2. Solution homogène : Écrire la solution de $y' + ay = 0$, qui est $y_h(x) = K e^{-ax}$.
3. Solution particulière : Chercher une solution particulière constante $y_p(x) = \frac{b}{a}$.
4. Solution générale : Écrire la solution générale $y(x) = K e^{-ax} + \frac{b}{a}$.
5. Conditions initiales (si données) :
   • Substituer les valeurs de $x_0$ et $y_0$ de la condition $y(x_0) = y_0$ dans l'expression de $y(x)$.
   • Résoudre l'équation pour trouver la valeur de $K$.
   • Écrire la solution unique.

Pour $ay'' + by' + cy = 0$ (avec $a, b, c$ constantes, $a \neq 0$) :

1. Identifier l'équation : Reconnaître la forme $ay'' + by' + cy = 0$.
2. Équation caractéristique : Écrire l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$.
3. Calcul du discriminant : Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Résolution de l'équation caractéristique :
   • Si $\Delta > 0$, trouver $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
   • Si $\Delta = 0$, trouver $r_0 = \frac{-b}{2a}$.
   • Si $\Delta < 0$, trouver $\alpha = \frac{-b}{2a}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
5. Écriture de la solution générale :
   • Si $\Delta > 0$, $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
   • Si $\Delta = 0$, $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$.
   • Si $\Delta < 0$, $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.
6. Conditions initiales (si données) :
   • Calculer $y'(x)$ à partir de la solution générale.
   • Substituer les valeurs de $x_0$, $y_0$ et $y'_0$ des conditions $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ dans les expressions de $y(x)$ et $y'(x)$.
   • Résoudre le système linéaire de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$).
   • Écrire la solution unique.

Pièges classiques

• Oublier la constante $K$ (ou $C_1, C_2$) : La solution générale doit toujours contenir les constantes d'intégration. Sans elles, ce n'est pas la solution générale.
• Erreur de signe dans l'exponentielle : Pour $y' + ay = 0$, la solution est $K e^{-ax}$, pas $K e^{ax}$. C'est une erreur fréquente.
• Confondre $a$ et $b$ dans $y' + ay = b$ : Assure-toi de bien identifier les coefficients.
• Erreurs de calcul du discriminant ou des racines : Une petite erreur ici fausse toute la solution du second ordre. Vérifie tes calculs.
• Oublier le $x$ pour la racine double : Si $\Delta = 0$, la solution est $(C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$, ne pas oublier le $x$ devant $C_1$.
• Erreur dans $\alpha$ et $\beta$ pour les racines complexes : $\alpha = -b/(2a)$ et $\beta = \sqrt{-\Delta}/(2a)$. Attention au signe de $\Delta$ sous la racine.
• Mauvaise gestion des conditions initiales : Pour le second ordre, il faut dériver la solution générale pour utiliser la condition sur $y'(x_0)$. Un système d'équations mal posé ou mal résolu est une perte de points.

Ce qui tombe à l'examen

Les équations différentielles sont un sujet récurrent, souvent dans la partie "Analyse" et avec une pondération faible (environ 0.05/20), mais ce sont des points faciles à obtenir si tu maîtrises les méthodes.

Format des questions réelles :

• Résoudre une équation différentielle du premier ordre :

  • Exemple : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -2y + 4$." (C'est $y' + 2y = 4$).
  • Exemple : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'+2y=0$." (Cas homogène).
  • Parfois avec une condition initiale : "Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y' + ay = b$ vérifiant $f(x_0) = y_0$."

• Résoudre une équation différentielle du second ordre :

  • Exemple : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y''-5y'+6y=0$."
  • Souvent avec des conditions initiales : "Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ vérifiant $f(x_0) = y_0$ et $f'(x_0) = y'_0$."

Attendus de correction (barème) :

Le barème est souvent détaillé et récompense chaque étape de la résolution.

• Pour le premier ordre ($y' + ay = b$) :

  • Identification de la forme et des coefficients : ~0.25 pt
  • Solution de l'équation homogène ($y_h(x) = K e^{-ax}$) : ~0.5 pt
  • Solution particulière ($y_p(x) = b/a$) : ~0.25 pt
  • Solution générale ($y(x) = y_h(x) + y_p(x)$) : ~0.25 pt
  • Utilisation des conditions initiales et détermination de $K$ (si demandé) : ~0.5 pt
  • Solution finale unique (si demandé) : ~0.25 pt

• Pour le second ordre ($ay'' + by' + cy = 0$) :

  • Écriture de l'équation caractéristique : ~0.25 pt
  • Calcul du discriminant $\Delta$ : ~0.25 pt
  • Calcul des racines $r_1, r_2$ (ou $r_0$, ou $\alpha, \beta$) : ~0.5 pt
  • Écriture de la forme générale de la solution en fonction du cas de $\Delta$ : ~0.75 pt
  • Calcul de $y'(x)$ (si conditions initiales) : ~0.25 pt
  • Mise en place et résolution du système pour $C_1, C_2$ (si conditions initiales) : ~0.75 pt
  • Solution finale unique (si demandé) : ~0.25 pt

La rigueur de la rédaction est essentielle. Chaque étape doit être clairement présentée. Ne saute pas d'étapes, même si tu penses que c'est évident.