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Écrire les solutions quand Δ < 0

Δ<0\Delta<0 : y=eαx(Acos⁡βx+Bsin⁡βx)y=e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x), avec r=α±iβr=\alpha\pm i\beta.

la méthode

  1. 1Écrire r² + ar + b = 0 et calculer Δ.
  2. 2Si Δ < 0, les racines sont α ± iβ, avec α = −a/2 et β = √(−Δ)/2.
  3. 3Écrire y = e^(αx)(A cos βx + B sin βx).
  4. 4Si α = 0 (cas y″ + ω²y = 0), il ne reste que A cos ωx + B sin ωx.

le piège

Écrire deux exponentielles réelles, ou oublier eαxe^{\alpha x} quand α≠0\alpha\neq 0. y′′+4y=0y''+4y=0, c'est Acos⁡2x+Bsin⁡2xA\cos 2x+B\sin 2x, pas Ae2x+Be−2xA e^{2x}+B e^{-2x}.