Dérivabilité (Rolle, TAF)

L'intuition

Imagine que tu es en voiture sur une route de montagne. Tu pars d'un point $A$ et tu arrives à un point $B$ qui est à la même altitude que $A$. Le théorème de Rolle te dit qu'à un moment donné, tu as forcément roulé sur une portion de route parfaitement horizontale. C'est logique, non ? Pour monter puis redescendre (ou l'inverse) et finir à la même altitude, il faut bien qu'à un moment ton altitude ne change plus.

Maintenant, si tu pars d'un point $A$ et tu arrives à un point $B$ qui n'est pas à la même altitude, mais que tu as une vitesse moyenne sur ton trajet. Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) te dit qu'à un moment précis, ta vitesse instantanée a été exactement égale à ta vitesse moyenne sur tout le trajet. C'est comme si tu regardais ton compteur de vitesse : il a bien dû afficher ta vitesse moyenne à un instant $c$.

Ces théorèmes, bien que simples à comprendre intuitivement, sont des outils très puissants en mathématiques pour prouver l'existence de certaines valeurs ou pour encadrer des fonctions.

Le cours

I. Rappels sur la dérivabilité

Avant d'aborder les théorèmes de Rolle et du TAF, il est essentiel de maîtriser la notion de dérivabilité.

1. Nombre dérivé et dérivabilité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Cette limite, si elle existe, est appelée le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et est notée $f'(x_0)$.

De manière équivalente, en posant $h = x - x_0$, on a :

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$

Géométriquement, $f'(x_0)$ représente la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(x_0, f(x_0))$ est donnée par :

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

2. Dérivabilité à droite et à gauche

Une fonction $f$ est dérivable à droite en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'_d(x_0)$

$f'_d(x_0)$ est le nombre dérivé à droite. Géométriquement, il correspond à la pente de la demi-tangente à droite.

Une fonction $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'_g(x_0)$

$f'_g(x_0)$ est le nombre dérivé à gauche. Géométriquement, il correspond à la pente de la demi-tangente à gauche.

Propriété : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ et $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$.

Si $f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$, alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point anguleux. Si l'une des limites est infinie, la courbe admet une demi-tangente verticale.

Observe la fonction $f(x) = |x|$ au point $x_0 = 0$. Calculons les nombres dérivés à droite et à gauche :

$\lim_{x \to 0^+} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$

Donc $f'_d(0) = 1$.

$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$

Donc $f'_g(0) = -1$. Puisque $f'_d(0) \neq f'_g(0)$, $f$ n'est pas dérivable en $0$. Le point $(0,0)$ est un point anguleux.

3. Dérivabilité sur un intervalle

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $]a, b[$ si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle fermé $[a, b]$ si elle est dérivable sur $]a, b[$, dérivable à droite en $a$ et dérivable à gauche en $b$.

Lien avec la continuité : Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. La réciproque est fausse (exemple : $f(x) = |x|$ en $0$, elle est continue mais non dérivable en $0$).

II. Théorème de Rolle

Le théorème de Rolle est un cas particulier du Théorème des Accroissements Finis.

1. Énoncé du théorème de Rolle

Soit $f$ une fonction vérifiant les trois conditions suivantes sur un intervalle $[a, b]$ :

1. $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$.
2. $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.
3. $f(a) = f(b)$.

Alors, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

2. Interprétation géométrique

Si les points de la courbe $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ ont la même ordonnée, alors il existe au moins un point entre $a$ et $b$ où la tangente à la courbe est horizontale.

3. Démonstration (admise pour le bac, mais utile pour la compréhension)

Puisque $f$ est continue sur $[a, b]$, elle atteint ses bornes (maximum et minimum) sur cet intervalle (Théorème des Valeurs Extrêmes). Soit $M$ le maximum de $f$ et $m$ le minimum de $f$ sur $[a, b]$.

• Cas 1 : $M = m$. Dans ce cas, $f$ est une fonction constante sur $[a, b]$. Donc $f'(x) = 0$ pour tout $x \in ]a, b[$. N'importe quel $c \in ]a, b[$ convient.

• Cas 2 : $M > m$. Puisque $f(a) = f(b)$, au moins l'une des valeurs $M$ ou $m$ est atteinte en un point $c \in ]a, b[$. Supposons que $f$ atteigne son maximum $M$ en $c \in ]a, b[$. Pour $h$ suffisamment petit tel que $c+h \in ]a, b[$ : $f(c+h) \le f(c)$ (car $f(c)$ est un maximum). Donc $f(c+h) - f(c) \le 0$.

  Si $h > 0$, alors $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \le 0$. En passant à la limite quand $h \to 0^+$, on obtient $f'_d(c) \le 0$.

  Si $h < 0$, alors $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \ge 0$. En passant à la limite quand $h \to 0^-$, on obtient $f'_g(c) \ge 0$.

  Puisque $f$ est dérivable en $c$, $f'_d(c) = f'_g(c) = f'(c)$. On a donc $f'(c) \le 0$ et $f'(c) \ge 0$, ce qui implique $f'(c) = 0$. La démonstration est similaire si $f$ atteint son minimum en $c \in ]a, b[$.

III. Théorème des Accroissements Finis (TAF)

Le TAF est une généralisation du théorème de Rolle.

1. Énoncé du TAF

Soit $f$ une fonction vérifiant les deux conditions suivantes sur un intervalle $[a, b]$ :

1. $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$.
2. $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.

Alors, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que :

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

2. Interprétation géométrique

Il existe au moins un point $c \in ]a, b[$ où la tangente à la courbe de $f$ est parallèle à la droite sécante passant par les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$. La pente de cette sécante est $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

3. Démonstration (admise pour le bac)

On introduit une fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - kx$, où $k$ est une constante que l'on va déterminer. Pour appliquer le théorème de Rolle à $g$, il faut que $g(a) = g(b)$. $f(a) - ka = f(b) - kb$ $k(b - a) = f(b) - f(a)$ $k = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Maintenant, vérifions les conditions de Rolle pour $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} x$ sur $[a, b]$ :

1. $g$ est continue sur $[a, b]$ car $f$ est continue sur $[a, b]$ et $kx$ est continue.
2. $g$ est dérivable sur $]a, b[$ car $f$ est dérivable sur $]a, b[$ et $kx$ est dérivable.
3. $g(a) = g(b)$ par construction de $k$.

D'après le théorème de Rolle, il existe $c \in ]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$. Or $g'(x) = f'(x) - k$. Donc $f'(c) - k = 0$, ce qui implique $f'(c) = k$. En remplaçant $k$ par sa valeur, on obtient $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

4. Inégalité des Accroissements Finis (IAF)

C'est une conséquence directe du TAF, très utile pour majorer ou minorer des fonctions.

Énoncé : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. S'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x \in ]a, b[$, $m \le f'(x) \le M$, alors :

$m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)$

Cas particulier : Si $|f'(x)| \le M$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors :

$|f(b) - f(a)| \le M|b - a|$

Exemple résolu

Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur l'intervalle $[-2, 2]$. Vérifier que les hypothèses du théorème de Rolle sont satisfaites sur $[-2, 2]$, puis en déduire l'existence d'un réel $c \in ]-2, 2[$ tel que $f'(c) = 0$.

1. 1

   Vérifier la continuité de $f$ sur $[-2, 2]$.

   La fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$ est une fonction polynomiale. Les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est continue sur $[-2, 2]$.

2. 2

   Vérifier la dérivabilité de $f$ sur $]-2, 2[$.

3. 3

   Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier l'égalité.

4. 4

   $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$.

5. 5

   $f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.

6. 6

   Ici, $f(-2) = -1$ et $f(2) = 3$. Les conditions du théorème de Rolle NE SONT PAS satisfaites car $f(a) \neq f(b)$.

Étape suivante

Correction de l'exemple : L'exemple donné dans l'énoncé d'annale était $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $[1, 3]$. Reprenons avec cet exemple.

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Vérifier que les conditions du théorème de Rolle sont satisfaites sur l'intervalle $[1, 3]$ et déterminer la valeur $c \in ]1, 3[$ dont l'existence est garantie par ce théorème.

1. 1

   Vérifier la continuité de $f$ sur $[1, 3]$.

   La fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ est une fonction polynomiale. Les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est continue sur $[1, 3]$.

2. 2

   Vérifier la dérivabilité de $f$ sur $]1, 3[$.

3. 3

   Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier l'égalité.

4. 4

   $f(1) = (1)^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

5. 5

   $f(3) = (3)^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

6. 6

   Puisque $f(1) = f(3) = 0$, la troisième condition est satisfaite.

7. 7

   Appliquer le théorème de Rolle.

8. 8

   Déterminer la valeur de $c$.

9. 9

   On cherche $c$ tel que $f'(c) = 0$.

10. 10

    $2c - 4 = 0 \implies 2c = 4 \implies c = 2$.

11. 11

    Vérifier que $c$ est dans l'intervalle ouvert.

Étape suivante

La méthode

Pour appliquer le théorème de Rolle ou le TAF, suis ces étapes :

1. Vérifier la continuité :

   • Identifie la nature de la fonction (polynomiale, rationnelle, trigonométrique, exponentielle, logarithmique).
   • Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition. Précise l'intervalle $[a, b]$.
   • Si la fonction est définie par morceaux, étudie la continuité aux points de raccordement.

2. Vérifier la dérivabilité :

   • Identifie la nature de la fonction.
   • Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur domaine de définition (ouvert). Précise l'intervalle $]a, b[$.
   • Si la fonction est définie par morceaux, étudie la dérivabilité aux points de raccordement (nombres dérivés à droite et à gauche).

3. Pour Rolle, vérifier l'égalité des images :

   • Calcule $f(a)$ et $f(b)$.
   • Vérifie si $f(a) = f(b)$.

4. Conclure :

   • Si toutes les conditions sont remplies, énonce l'existence de $c$ (pour Rolle, $f'(c)=0$; pour TAF, $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$).
   • Si on te demande de trouver $c$, calcule $f'(x)$, pose $f'(c) = 0$ (ou $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$) et résous l'équation. Vérifie que la ou les solutions appartiennent bien à $]a, b[$.

5. Pour l'IAF (Inégalité des Accroissements Finis) :

   • Vérifie la continuité sur $[a, b]$ et la dérivabilité sur $]a, b[$.
   • Encadre la dérivée $f'(x)$ sur $]a, b[$ par $m \le f'(x) \le M$.
   • Applique l'inégalité : $m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)$.
   • Si tu dois majorer $|f(b) - f(a)|$, cherche $M$ tel que $|f'(x)| \le M$.

Pièges classiques

• Oublier une condition : Ne jamais omettre de vérifier toutes les conditions (continuité, dérivabilité, $f(a)=f(b)$ pour Rolle). Si une seule condition n'est pas remplie, le théorème ne s'applique pas.
• Intervalle ouvert/fermé : La continuité est sur l'intervalle fermé $[a, b]$, la dérivabilité sur l'intervalle ouvert $]a, b[$. Fais attention à ça, surtout avec les fonctions définies par morceaux ou avec des bornes où la dérivée n'est pas définie (ex: $\sqrt{x}$ en $0$).
• Confondre existence et unicité : Les théorèmes de Rolle et du TAF garantissent l'existence d'au moins un $c$. Il peut y en avoir plusieurs.
• Erreur de calcul de la dérivée : Une erreur dans $f'(x)$ mènera à une valeur de $c$ incorrecte.
• Vérifier l'appartenance de $c$ : La valeur de $c$ doit impérativement appartenir à l'intervalle ouvert $]a, b[$. Si tu trouves $c=a$ ou $c=b$, c'est une erreur ou le théorème ne s'applique pas pour trouver $c$ strictement entre $a$ et $b$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre de la dérivabilité, et en particulier les théorèmes de Rolle et du TAF, est évalué de manière régulière au Bac. Il représente une part non négligeable de la section "Analyse".

Les questions peuvent prendre plusieurs formes :

• Application directe (40% des points) :

  • Vérifier les conditions d'un théorème (Rolle ou TAF) sur une fonction donnée et un intervalle donné.
  • Déterminer la ou les valeurs de $c$ dont l'existence est garantie par le théorème.
  • Ces questions sont souvent courtes et demandent une application rigoureuse des définitions et propriétés.
  • Exemple d'annale : "Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Vérifier que les conditions du théorème de Rolle sont satisfaites sur l'intervalle $[1, 3]$ et déterminer la valeur $c \in ]1, 3[$ dont l'existence est garantie par ce théorème." (Corrigé officiel : 0.5 point pour la vérification, 0.5 point pour la détermination de $c$).

• Mobilisation en situation familière (40% des points) :

  • Utiliser le TAF (souvent sous la forme de l'Inégalité des Accroissements Finis) pour encadrer une expression ou prouver une inégalité. Cela peut impliquer de choisir judicieusement la fonction $f$ et l'intervalle $[a, b]$ à appliquer.
  • Prouver l'existence d'une solution à une équation $f'(x)=0$ ou $f'(x)=k$ en utilisant Rolle ou le TAF, parfois en combinaison avec le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).
  • Exemple d'annale : "Application du TAF ou l'inégalité des accroissements finis." (Corrigé officiel : 0.5 point).

• Situations non familières / Synthèse (20% des points) :

  • Des problèmes plus complexes où Rolle ou le TAF sont des étapes intermédiaires dans une démonstration plus longue, souvent en lien avec des suites numériques ou des intégrales.
  • Par exemple, pour prouver la convergence d'une suite, on peut être amené à montrer qu'elle est bornée en utilisant l'IAF.
  • Exemple d'annale : "Montrer que : $(\forall x > 0) \, e^x \ln 2 < g(x) < e^{2x} \ln 2$." (Cette question, bien que portant sur une intégrale, peut être résolue en utilisant les propriétés de l'intégrale et potentiellement une forme du TAF ou des encadrements de dérivées si $g(x)$ était une primitive).

La rédaction doit être rigoureuse. Chaque étape de vérification des conditions doit être clairement énoncée et justifiée. La démarche et la justification comptent autant que le résultat final.