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Encadrer avec le théorème des accroissements finis

Le TAF donne ln⁡(1+x)=x1+c\ln(1+x)=\dfrac{x}{1+c} avec c∈ ]0,x[c\in\ ]0,x[. Encadrer cc, pas le remplacer par un bout.

la méthode

  1. 1Appliquer le TAF à t ↦ ln(1+t) sur [0,x] : ∃ c ∈ ]0,x[, ln(1+x) = x/(1+c).
  2. 2Encadrer c : 0 < c < x ⇒ 1/(1+x) < 1/(1+c) < 1.
  3. 3Multiplier par x > 0 : x/(1+x) < ln(1+x) < x.

le piège

Remplacer cc par 00 ou par xx. SM 2021 : ln⁡(1+x)=x1+c\ln(1+x)=\dfrac{x}{1+c}, pas x1+x\dfrac{x}{1+x}. Un bout de l'intervalle donne une égalité fausse.