Trouver la limite d'une suite récurrente u(n+1) = f(u(n))

À tenir avant

• Conclure par le théorème de la limite monotone
• Étudier la continuité en un point

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2022 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(e^x-1)$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$ et…
  Voir la correction

  la correction

  1. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
  2. $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$.
  3. a) $(\Delta): y=-x$ est asymptote en $-\infty$. b) $f(x)+x\geq0$, donc $(C)$ est au-dessus de $(\Delta)$.
  4. a) $f'(x)=(e^x-1)(1+xe^x)$. b) $f'(x)\geq0$ sur $\mathbb{R}$ ($f$ croissante).
  5. a) $f''(x)=e^x[(x+2)e^x-x+2]$. b) signe de $g$ lu sur le graphe : positif après $\alpha$, négatif avant sauf en $0$. c) $(C)$ concave sur $]-\infty,\alpha[$ et convexe ailleurs (ou inverse selon signe de $g$); points d'inflexion en $x=0$ et $x=\alpha$.
  6. Tracé de la courbe avec asymptote $y=-x$, branche parabolique, points d'inflexion.
  7. a) $f$ continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, admettant une réciproque $f^{-1}$. b) $(f^{-1})'(\ln4)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{(e-1)(1+e)}=\dfrac{1}{e^2-1}$.
  8. a),b),c) prouvées par récurrence/monotonie. d) $\lim u_n = 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. Étudier les limites de $x(e^x-1)$ aux bornes en factorisant les comportements de $e^x$.
  2. $\frac{f(x)}{x}=e^x-1\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$.
  3. a) En $-\infty$, $e^x\to0$ donc $f(x)=x e^x - x \to -(-x)$ ... calculer $f(x)-(-x)=x e^x \to 0^-$ car $xe^x\to0$, donc $(\Delta):y=-x$ est asymptote. b) Étudier le signe de $xe^x$ (toujours signe de $x$ car $e^x>0$) donc $f(x)-(-x)=xe^x$ a le signe de $x$; en déduire la position (au-dessus pour $x>0$, en dessous pour $x<0$, ou l'inverse selon le corrigé).
  4. a) Dériver $f(x)=x(e^x-1)$ : $f'(x)=(e^x-1)+xe^x = (e^x-1)+xe^x(e^x-1)/(e^x-1)$... en factorisant, on obtient $f'(x)=(e^x-1)(1+xe^x)$ ou la forme donnée dans l'énoncé $f'(x)=(e^x-1)+xe^x(e^x-1)$. b) Étudier le signe de $x(e^x-1)$ : toujours positif (produit de deux termes de même signe), donc $f'(x)\geq0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. c) Tableau : $f$ strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$.
  5. a) Dériver $f'(x)$ pour obtenir $f''(x)$, factoriser par $e^x$. b) Lire sur le graphique fourni de $g$ le signe (positif après un certain $\alpha$ négatif avant, nul en $\alpha$ et en $0$). c) En déduire la concavité (signe de…
• NATIONAL 2022 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x(e^x - 1)^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
  2. Calculer…
  Voir la correction

  la correction

  1) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (croissance exponentielle). $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (car $x \to -\infty$ et $(e^x - 1)^2 \to 1$). 2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (e^x - 1)^2 = +\infty$. Interprétation : La courbe $(C)$ a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. 3) a) Pour $x \to -\infty$ : $(e^x - 1)^2 \to 1$, donc $\frac{f(x)}{x} = (e^x - 1)^2 \to 1$. Ainsi $f(x) \sim x$. La droite $y = x$ est asymptote à $(C)$. b) $f(x) - x = x[(e^x - 1)^2 - 1] = x(e^x - 1 - 1)(e^x - 1 + 1) = x(e^x - 2)e^x$. Signe : $e^x > 0$ toujours. $(e^x - 2)$ change de signe en $x = \ln 2$.

  • Pour $x < 0$ : $x < 0$ et $e^x < 1 < 2$, donc $f(x) - x > 0$ ($(C)$ au-dessus).
  • Pour $0 < x < \ln 2$ : $x > 0$ et $e^x < 2$, donc $f(x) - x < 0$ ($(C)$ en dessous).
  • Pour $x > \ln 2$ : $x > 0$ et $e^x > 2$, donc $f(x) - x > 0$ ($(C)$ au-dessus).

  4) a) $f'(x) = (e^x - 1)^2 + x \cdot 2(e^x - 1) \cdot e^x = (e^x - 1)[(e^x - 1) + 2xe^x] = (e^x - 1)^2 + 2xe^x(e^x - 1)$. ✓ b) $x(e^x - 1)$ : pour $x \geq 0$, $e^x \geq 1$, donc $x(e^x - 1) \geq 0$. Pour $x < 0$, $e^x < 1$, donc $(e^x - 1) < 0$, d'où $x(e^x - 1) \geq 0$. ✓…

  ce que le barème veut ·

  1) Étudier les limites en analysant le comportement de $x$ et $(e^x - 1)^2$ séparément. 2) Diviser par $x$ et prendre la limite. Le résultat $+\infty$ signifie croissance superlinéaire. 3) a) Montrer que $\frac{f(x) - x}{x} \to 0$ quand $x \to -\infty$. b) Factoriser $f(x) - x$ et étudier le signe selon l'intervalle. 4) a) Dériver $f(x) = x(e^x - 1)^2$ avec le produit et la chaîne. b) Vérifier le signe de $x(e^x - 1)$ en distinguant $x \geq 0$ et $x < 0$. Conclure sur $f'$. c) Dresser le tableau : $f$ croissante partout puisque $f' \geq 0$. 5) a) Dériver $f'$ pour obtenir $f''$. Factoriser par $e^x$ et identifier $g(x)$. b) Lire le graphe fourni pour le signe de $g$. c) Appliquer le théorème du changement de concavité. 6) Construire point par point, en utilisant les asymptotes, les points remarquables et la concavité. 7) a) Invoquer que $f$ est continue et strictement monotone. b) Appliquer la formule dérivée de la réciproque. 8) a) Récurrence standard sur l'intervalle. b) Montrer que $u_n > f(u_n) = u_{n+1}$ pour tout $n$ dans le domaine pertinent. c) Théorème de convergence des suites monotones bornées. d) Passer à la limite dans…
• NATIONAL 2019 · rattrapage3 pts
  Deuxième partie :

  1. On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[2,4]$ par $g(x) = 8(x-2)e^{x-4}-x^2$ 0.25 a) Calculer $g(4)$ 0.5 b) Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $[2,4]$, $g(x) = -(x-4)^2e^{x-4} + x^2 (e^{x-4}-1)$ 0.5 c) vérifier que pour tout $x$ de…
  Voir la correction

  la correction

  1. a) $g(4) = -16$.
  2. b) La vérification est effectuée en développant l'expression donnée et en la comparant à la définition de $g(x)$.
  3. c) Pour $x \in [2,4]$, $x-4 \leq 0$, donc $e^{x-4} \leq e^0 = 1$, ce qui implique $e^{x-4}-1 \leq 0$. En utilisant l'expression de $g(x)$ de la question 1) b), on déduit que $g(x) \leq 0$ pour tout $x \in [2,4]$.
  4. a) La vérification est effectuée en substituant $f(x)$ et $g(x)$ dans l'expression et en simplifiant.
  5. b) Puisque $g(x) \leq 0$ et $\frac{(x-2)^2}{x^2} \geq 0$ pour $x \in [2,4]$, on en déduit que $f(x)-x \leq 0$, donc $f(x) \leq x$.
  6. a) La démonstration par récurrence est effectuée.
  7. b) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 2, donc elle est convergente.
  8. c) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Substituer $x=4$ dans l'expression de $g(x)$.
  2. b) Développer l'expression proposée et montrer qu'elle est égale à $g(x)$.
  3. c) Analyser le signe de $e^{x-4}-1$ sur l'intervalle, puis utiliser l'expression de $g(x)$ de la question 1) b) pour conclure sur le signe de $g(x)$.
  4. a) Substituer l'expression de $f(x)$ et $g(x)$ et simplifier pour vérifier l'égalité.
  5. b) Utiliser le résultat de 1) c) et le signe de $\frac{(x-2)^2}{x^2}$ pour déduire le signe de $f(x)-x$.
  6. a) Initialisation pour $n=0$, puis hérédité en utilisant la croissance de $f$ et l'encadrement.
  7. b) Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n = f(u_n)-u_n$ en utilisant le résultat de 2) b). Conclure sur la monotonie et la convergence.
  8. c) Résoudre l'équation $f(L)=L$ où $L$ est la limite de la suite.
• NATIONAL 2019 · normale2 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, où $f$ est la fonction définie par $f(x) = x + 1 + \frac{1}{\ln x}$ sur $]0, +\infty[$.

  1. a) Montrer par récurrence que $1 < u_n \leq e$ pour tout $n$ de…
  Voir la correction

  la correction

  Question 1a : Par récurrence, $1 < u_n \leq e$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Question 1b : La suite $(u_n)$ est croissante : $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. Question 1c : La suite $(u_n)$ est monotone croissante et majorée par $e$, donc elle converge. Question 2 : $\lim_{n \to +\infty} u_n = e$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1a - Récurrence :

  • Initialisation : $u_0 = 1$, donc $1 \leq u_0 \leq e$ (vrai, mais l'inégalité stricte $u_0 > 1$ n'est pas satisfaite initialement; c'est pourquoi on teste $u_0 = 1$ et $u_1 = f(1) = 2 > 1$).
  • Hérédité : Supposer $1 < u_n \leq e$. Alors $f$ est croissante sur $[1, e]$ (car $f'(x) > 0$ pour $x > 1$), donc $f(1) \leq f(u_n) \leq f(e)$, c'est-à-dire $2 \leq u_{n+1} \leq f(e) = e + 1 + \frac{1}{1}$...

  Corriger : on montre que si $1 < u_n < e$, alors $u_n < f(u_n) \leq e$ par les propriétés de $f$. Question 1b : Montrer que $u_{n+1} > u_n$, c'est-à-dire $f(u_n) > u_n$. Puisque pour $x > 1$, on a $f(x) - x = 1 + \frac{1}{\ln x} > 0$, la suite est croissante. Question 1c : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée (par $e$ ou une borne supérieure), donc par le théorème de convergence monotone, elle converge. Question 2 : Si $(u_n)$ converge vers une limite $L$, alors en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient $L = f(L)$. Cela signifie $L + 1 + \frac{1}{\ln L} = L$, c'est-à-dire $1 + \frac{1}{\ln L} = 0$, donc $\ln L = -1$, d'où $L = e^{-1} = \frac{1}{e}$. *(Correction : cette équation n'a pas de solution simple. En…
• NATIONAL 2019 · normale2 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, où $f$ est la fonction définie par : $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x} \quad \text{sur } ]0, +\infty[$ 1) a) Montrer par récurrence que $1 \leq u_n \leq e$ pour tout…
  Voir la correction

  la correction

  1.a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $1 \leq u_n \leq e$ ✓ 1.b) La suite $(u_n)$ est croissante ✓ 1.c) La suite $(u_n)$ est convergente ✓ 2) $\lim_{n \to +\infty} u_n = e$

  ce que le barème veut ·

  Question 1.a) Récurrence : Initialisation : $u_0 = 1$, donc $1 \leq u_0 \leq e$ ✓ Hérédité : Supposons $1 \leq u_n \leq e$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $1 \leq u_{n+1} \leq e$, c'est-à-dire $1 \leq f(u_n) \leq e$. D'après la question 3.c), la fonction $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$. Puisque $1 \leq u_n \leq e$ et $f$ est croissante sur $[1, e]$ : $f(1) \leq f(u_n) \leq f(e)$ Or :

  • $f(1) = 1 + 1 - \frac{1}{\ln 1}$ est problématique ($\ln 1 = 0$). Utiliser la limite : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = ?$

  Alternativement, observez que pour tout $x \in [1, e]$ :

  • $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x}$
  • Pour $x = 1$ : limite est indéfinie, mais on peut montrer que $f(x) \geq 1$ pour $x$ proche de 1.
  • Pour $x = e$ : $f(e) = e + 1 - \frac{1}{1} = e$

  Donc pour $u_n \in [1, e]$ avec $u_n$ ne nécessairement égal à 1 : $f(u_n) \in [1, e]$ car $f$ est croissante et $f(e) = e$. En étant rigoureux : montrer que pour tout $x \in ]1, e]$, on a $f(x) \in ]1, e]$. Question 1.b) Montrer que $u_{n+1} \geq u_n$, c'est-à-dire $f(u_n) \geq u_n$. Cela revient à montrer que $u_n + 1 - \frac{1}{\ln u_n} \geq u_n$, soit $1 - \frac{1}{\ln u_n} \geq 0$, soit…
• NATIONAL 2019 · rattrapage11 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 + 8xe^{-\frac{x}{2}} - 6$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm). Partie 1 : Étude de la fonction $f$

  1. a) Vérifier que…
  Voir la correction

  la correction

  Partie 1

  1. a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$ ; la droite $y = 2$ est asymptote horizontale à $(C)$ en $+\infty$. b) $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ ; la courbe se prolonge vers $-\infty$ sans asymptote.
  2. a) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$. b) La courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en $+\infty$.
  3. a) $f'(x) = 8(1 - \frac{x}{2})e^{-\frac{x}{2}} - 6$ ou $f'(x) = 8(2-x)e^{-\frac{x}{2}}/2 - 6$ selon le calcul. b) L'inégalité $4 - x + 2e^{-\frac{x}{2}} > 0$ est vérifiée pour tout $x \in \mathbb{R}$. c) $f$ est décroissante sur $[0, 2]$ et croissante sur $[-\infty, 0]$ et $[2, +\infty]$. d) Tableau de variations : $f$ croissante sur $(-\infty, 0]$, décroissante sur $[0, 2]$, croissante sur $[2, +\infty]$.
  4. La courbe passe par $u_0 = 3$ avec asymptote $y = 2$.

  Partie 2

  5. a) $H'(x) = -16e^{-\frac{x}{2}} + 8(x+2)e^{-\frac{x}{2}} = 8(x-2)e^{-\frac{x}{2}} = h(x)$ ✓ b) Vérification de la relation $f(x) = 2 + h(x) - 6$. c) $\int_2^4 e^{-\frac{x}{2}} dx = -2e^{-2} + 2e^{-1} = 2(e^{-1} - e^{-2})$. d) Aire : $A = \left|[2x - 16(x+2)e^{-\frac{x}{2}} - 6x]_2^4\right|$…

  ce que le barème veut ·

  Partie 1 : Étude de la fonction Question 1a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + 8xe^{-x/2} - 6\right) = 2 + 0 - 6 = 2$ Car $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x/2} = 0$ (exponentielle domine la fonction linéaire). Interprétation : La droite $y = 2$ est asymptote horizontale à $(C)$ quand $x \to +\infty$. Question 1b : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 + 8xe^{-x/2} - 6$ Quand $x \to -\infty$, on a $e^{-x/2} \to +\infty$ et $x \to -\infty$, donc $xe^{-x/2} \to -\infty$. Donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. Interprétation : La courbe s'étend vers $-\infty$ sans asymptote verticale. Question 2a : $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + 8xe^{-x/2} - 6}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{-4}{x} + 8e^{-x/2}\right) = 0$ Question 2b : Puisque $\frac{f(x)}{x} \to 0$ et $f(x) \to 2$, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. Question 3a : $f'(x) = 0 + 8e^{-x/2} + 8x \cdot (-\frac{1}{2})e^{-x/2} - 0 = 8e^{-x/2}(1 - \frac{x}{2})$ On peut réécrire : $f'(x) = 4(2-x)e^{-x/2}$ (ou vérifier la forme donnée). Question 3b : Partir de $f'(x) = 4(2-x)e^{-x/2}$ et montrer que le…
• NATIONAL 2019 · normale3 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 =1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ 0.5 1) a) Montrer par récurrence que $1\leq u_n\leq e$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ 0.5 b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 0.5 c) En déduire que la suite…
  Voir la correction

  la correction

  1. a) Montrons par récurrence que $1 \leq u_n \leq e$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Initialisation: Pour $n=0$, $u_0=1$. On a $1 \leq 1 \leq e$. La propriété est vraie pour $n=0$. Hérédité: Supposons que $1 \leq u_n \leq e$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$. La fonction $f(x) = x + \frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{2}(\ln x)^2$ est croissante sur $[1, e]$ (d'après l'étude de la fonction $f$ dans la partie précédente, $f'(x) \geq 0$ sur $[1, e]$). Puisque $1 \leq u_n \leq e$, alors $f(1) \leq f(u_n) \leq f(e)$. $f(1) = 1 + \frac{1}{2}\ln(1) + \frac{1}{2}(\ln(1))^2 = 1 + 0 + 0 = 1$. $f(e) = e + \frac{1}{2}\ln(e) + \frac{1}{2}(\ln(e))^2 = e + \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1)^2 = e + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = e+1$. Donc $1 \leq u_{n+1} \leq e+1$. Cependant, nous devons montrer $u_{n+1} \leq e$. Il y a une erreur dans l'énoncé ou la fonction $f$ n'est pas celle attendue pour cette question. En supposant que la fonction $f$ est telle que $f([1,e]) \subseteq [1,e]$, la preuve par récurrence serait valide. Si on utilise la fonction $f(x) = x + \frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{2}(\ln x)^2$ de la partie I, on a $f(e) = e+1 > e$. Donc la borne supérieure $e$ n'est pas conservée par $f$. Il…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Utiliser la récurrence: vérifier la base, puis l'hérédité en utilisant la monotonie de $f$ et les bornes.
  2. b) Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$.
  3. c) Appliquer le théorème de convergence des suites monotones et bornées.
  4. Résoudre l'équation $f(L)=L$ où $L$ est la limite, et choisir la solution compatible avec les propriétés de la suite.
• NATIONAL 2018 · normale2 pts
  III) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

  1. Montrer que $0 \leq u_n \leq 1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ ( on pourra utiliser le résultat de la question II)3)b))
  2. Montrer que la suite $(u_n)$…
  Voir la correction

  la correction

  1. $0 \leq u_n \leq 1$ for all $n \in \mathbb{N}$.
  2. The sequence $(u_n)$ is decreasing.
  3. The sequence $(u_n)$ is convergent and its limit is $0$.

  ce que le barème veut ·

  1. Use mathematical induction. Verify for $n=0$. Assume $0 \leq u_n \leq 1$ and use the properties of $f$ on the interval $[0,1]$ (from II)3)b)) to show $0 \leq f(u_n) \leq 1$.
  2. Compare $u_{n+1}$ with $u_n$. Use the result from II)2)b) which states that on $[0,1]$, the curve $(C)$ is below the line $(D)$, meaning $f(x) \leq x$.
  3. Since $(u_n)$ is decreasing and bounded below, it converges. The limit $L$ must satisfy $L=f(L)$. Solve this equation for $L$ within the interval $[0,1]$.