Calculer la somme des termes d'une suite

À tenir avant

• Écrire le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique

Cette méthode au national

4 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale2 pts
  Soit $F$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0,1]$ par : $F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt$.

  1. a) Montrer que $F$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$. b) En déduire que $F$ est une bijection de $[0,1]$ vers $[0,\beta]$ avec $\beta=\int_0^1 e^{t^2}\,dt$. On…
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  $\ell = \lim_n S_n = \int_0^1 F^{-1}(t)\,dt = \dfrac{e^{\beta^2}-1}{2\beta}$, où $\beta=\int_0^1 e^{t^2}dt$.

  ce que le barème veut ·

  1. $t\mapsto e^{t^2}$ continue positive sur $[0,1]$ donc $F$ est dérivable (théorème fondamental) de dérivée $F'(x)=e^{x^2}>0$ : $F$ continue et strictement croissante, donc bijective de $[0,1]$ sur $[F(0),F(1)]=[0,\beta]$. 2a) $S_n$ est une somme de Riemann de $F^{-1}$ sur $[0,\beta]$ (après changement d'échelle) ou directement sur $[0,1]$ pour la fonction $t\mapsto F^{-1}(\beta t)$; comme $F^{-1}$ est continue, la suite converge vers $\int_0^1 F^{-1}(t)dt$ (à un facteur $\beta$ près selon la mise en forme, aboutissant à $\ell=\int_0^1 F^{-1}(t)dt$). 2b) Effectuer le changement de variable $u=F^{-1}(t)$, donc $t=F(u)$, $dt=F'(u)du=e^{u^2}du$; quand $t$ va de 0 à 1 (ou $\beta$ selon normalisation), $u$ va de 0 à $\beta$ (ou 1); on obtient $\ell=\frac1\beta\int_0^\beta u\,e^{u^2}du$. 2c) Calculer $\int_0^\beta u e^{u^2}du = \left[\frac12 e^{u^2}\right]_0^\beta = \frac12(e^{\beta^2}-1)$, d'où $\ell=\frac{e^{\beta^2}-1}{2\beta}$.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{u_n+5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-1$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis déduire qu'elle est convergente.
  3. On…
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  1. $u_n>-1$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. $(u_n)$ décroissante et minorée par $-1$ donc convergente. 3a) $(v_n)$ arithmétique de raison $2$, $v_0=3$. 3b) $v_n=2n+3$, donc $u_n=\dfrac{3-v_n}{v_n}=\dfrac{-2n}{2n+3}$, et $\lim u_n=-1$. 4a) $w_n=e^{-(2n+3)}$, géométrique de raison $q=e^{-2}$, premier terme $w_0=e^{-3}$. 4b) $\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Récurrence : initialisation $u_0=0>-1$. Hérédité : si $u_n>-1$, on montre $u_{n+1}+1=\dfrac{3(u_n+1)}{u_n+5}>0$ car $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$ (car $u_n>-1$).
  2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2(u_n+1)^2}{u_n+5}\le 0$ car $u_n+1>0\Rightarrow 2u_n+5>3>0$. Donc $(u_n)$ décroissante, minorée par $-1$, donc convergente.

  3a) $v_{n+1}=\dfrac{3}{1+u_{n+1}}=\dfrac{3(2u_n+5)}{3(u_n+1)}=\dfrac{2u_n+5}{u_n+1}=2+v_n$. Donc $(v_n)$ arithmétique de raison $2$, $v_0=\dfrac{3}{1+u_0}=3$. 3b) $v_n=v_0+2n=2n+3$. Comme $v_n=\dfrac{3}{1+u_n}$, on tire $1+u_n=\dfrac{3}{v_n}$ donc $u_n=\dfrac{3-v_n}{v_n}=\dfrac{-2n}{2n+3}\to -1$. 4a) $w_n=e^{-v_n}=e^{-(2n+3)}$. $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=e^{-2}$ constant : suite géométrique de raison $e^{-2}$ et premier terme $w_0=e^{-3}$. 4b) $S_n=w_0\dfrac{1-e^{-2(n+1)}}{1-e^{-2}}\to \dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$ car $e^{-2(n+1)}\to 0$.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n > -1$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis déduire que $(u_n)$ est…
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  1. $u_n>-1$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. $(u_n)$ décroissante et minorée par $-1$ donc convergente.
  3. a) $(v_n)$ arithmétique de raison 2, $v_0=3$. b) $v_n=2n+3$, donc $u_n=\dfrac{3-2n}{2n+3}$ (car $v_n=\frac{3}{1+u_n}\Rightarrow 1+u_n=\frac{3}{v_n}\Rightarrow u_n=\frac{3-v_n}{v_n}$), et $\lim u_n = -1$.
  4. a) $(w_n)$ géométrique de raison $q=e^{-2}$, premier terme $w_0=e^{-3}$. b) $\lim S_n = \dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Récurrence : $u_0=0>-1$. Si $u_n>-1$, on écrit $u_{n+1}+1=\dfrac{3(u_n+1)}{2u_n+5}$, or $u_n+1>0$ et $2u_n+5>3>0$ donc $u_{n+1}+1>0$.
  2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2(u_n+1)^2}{2u_n+5}$, avec $u_n+1>0$ et $2u_n+5>3>0$, donc cette expression est négative : la suite est décroissante. Étant minorée par $-1$, elle converge.
  3. a) $v_{n+1}-v_n = \dfrac{3}{1+u_{n+1}}-\dfrac{3}{1+u_n}=2$ (calcul direct via $u_{n+1}+1=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}$), donc suite arithmétique de raison 2, avec $v_0=\frac{3}{1+u_0}=3$.

  b) $v_n=v_0+2n=2n+3$. Comme $v_n=\frac{3}{1+u_n}$, on a $1+u_n=\frac{3}{v_n}$, donc $u_n=\frac{3-v_n}{v_n}=\frac{-2n}{2n+3}$. Ainsi $\lim_{n\to\infty}u_n=-1$.

  4. a) $w_n=e^{-v_n}=e^{-(2n+3)}$. $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=e^{-2}$ constant : suite géométrique de raison $e^{-2}$, premier terme $w_0=e^{-3}$.

  b) $S_n=w_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{e^{-3}(1-e^{-2(n+1)})}{1-e^{-2}}$. Comme $e^{-2(n+1)}\to 0$, $\lim S_n=\dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$.
• NATIONAL 2023 · normale2 pts
  On considère la fonction numérique $x\mapsto e^x$ et soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et pour tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, on note $M_k$ le point de la courbe $(\Gamma)$ de coordonnées…
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  $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $t\mapsto e^t$ sur $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]$ : il existe $c_k$ dans l'intervalle ouvert tel que $e^{(k+1)/n}-e^{k/n}=\frac1n e'(c_k)=\frac1n e^{c_k}$. 1b) $M_kM_{k+1}=\sqrt{\left(\frac1n\right)^2+\left(e^{(k+1)/n}-e^{k/n}\right)^2}=\sqrt{\frac1{n^2}+\frac1{n^2}e^{2c_k}}=\frac1n\sqrt{1+e^{2c_k}}$. 1c) Comme $\frac{k}{n}<c_k<\frac{k+1}{n}$ et $t\mapsto\sqrt{1+e^{2t}}$ est strictement croissante, on encadre $\sqrt{1+e^{2c_k}}$ entre les valeurs prises aux bornes. 2a) Sommer l'encadrement de 1c pour $k=0$ à $n-1$ (décalage d'indice pour la borne supérieure). 2b) Les deux sommes encadrantes sont des sommes de Riemann de la fonction continue $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ sur $[0,1]$, qui tendent toutes deux vers $\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}dx$ ; par encadrement (théorème des gendarmes), $S_n$ tend vers la même limite.