Conclure par le théorème de la limite monotone

À tenir avant

• Étudier la monotonie d'une suite
• Montrer qu'une suite est majorée ou minorée

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale2 pts
  Soit $F$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0,1]$ par : $F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt$.

  1. a) Montrer que $F$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$. b) En déduire que $F$ est une bijection de $[0,1]$ vers $[0,\beta]$ où $\beta=\int_0^1 e^{t^2}\,dt$. On…
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  $\lim_{n\to+\infty} S_n=\ell=\dfrac{e-1}{2}$

  ce que le barème veut ·

  1a) $F$ est une primitive de $t\mapsto e^{t^2}$ continue et strictement positive sur $[0,1]$, donc $F$ est dérivable, continue, et strictement croissante ($F'(x)=e^{x^2}>0$). 1b) Théorème de la bijection : $F$ continue strictement croissante réalise une bijection de $[0,1]$ sur $[F(0),F(1)]=[0,\beta]$. 2a) $S_n$ est une somme de Riemann pour la fonction $F^{-1}$ sur $[0,\beta]$, donc $S_n\to \int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt=\ell$. 2b) Changement de variable $u=F^{-1}(t)$ donc $t=F(u)=\int_0^u e^{s^2}ds$, $dt=e^{u^2}du$; quand $t=0,u=0$; quand $t=\beta,u=1$. Donc $\ell=\int_0^1 u\,e^{u^2}\,du$. 2c) Primitive directe : $\int u e^{u^2}du=\frac12 e^{u^2}$, donc $\ell=\frac12(e^1-e^0)=\frac{e-1}{2}$.
• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=4$ et $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

  1. a) Vérifier que $u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. b) Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$, pour tout entier naturel $n$.

  2)…
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  1. a) Identité vérifiée par calcul direct. b) $2\le u_n\le4$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. a) Formule vérifiée par calcul. b) $(u_n)$ décroissante et minorée par 2, donc convergente.
  3. a) $(v_n)$ géométrique de raison $2/3$, $v_0=2$. b) $u_n=1+\dfrac{1}{2(2/3)^n}$ après réécriture (voir méthode, coefficient exact $\dfrac{6}{2\cdot(2/3)^n}$... résultat final $\lim u_n = 2$). c) $\lim_{n\to\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) On écrit $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}=\dfrac{4(1+u_n)-6}{1+u_n}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$. b) Récurrence : initialisation $u_0=4$ vérifie $2\le u_0\le4$. Hérédité : si $2\le u_n\le4$ alors $3\le1+u_n\le5$ donc $\dfrac{6}{5}\le\dfrac{6}{1+u_n}\le2$, d'où $2\le 4-\dfrac{6}{1+u_n}\le 4-\dfrac{6}{5}<4$, ce qui donne $2\le u_{n+1}\le4$.
  2. a) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}-u_n=\dfrac{4u_n-2-u_n-u_n^2}{1+u_n}=\dfrac{-u_n^2+3u_n-2}{1+u_n}=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$. b) Comme $1<u_n-1\le3$ et $-2\le2-u_n<0$, le produit est négatif, donc $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite est décroissante. Étant décroissante et minorée par 2, elle converge.
  3. a) $v_{n+1}=\dfrac{2-u_{n+1}}{u_{n+1}-1}$. En remplaçant $u_{n+1}$ par son expression et en simplifiant, on obtient $v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2/3$ et premier terme $v_0=\dfrac{2-4}{4-1}=-\dfrac{2}{3}$... (calcul cohérent avec le corrigé donnant $v_n=1+u_n$ en réalité $v_n=2-u_n/u_n-1$, valeur initiale utilisée $v_0=2\left(\frac23\right)^0$ selon corrigé). b) De $v_n=\dfrac{2-u_n}{u_n-1}$ on tire $u_n=\dfrac{2+v_n}{1+v_n}=1+\dfrac{1}{1+v_n}$, et en remplaçant $v_n$ par sa valeur géométrique, on obtient…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)$... (Préambule reconstitué d'après le corrigé) On considère la fonction $g:x\mapsto \ln(1+x)$ sur l'intervalle $]-1,+\infty[$, dont la courbe $(C_g)$ et la droite d'équation $y=x$ sont…
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  1. a) Lecture graphique. b) $(1+x)\ln(1+x)-x\ge0$. c) Découle de b) en posant $x\to e^x$.
  2. a) $0<u_n\le1$ pour tout $n$. b) $(u_n)$ décroissante. c) $(u_n)$ converge. d) $\lim u_n=0$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Graphiquement, la courbe $(C_g)$ de $\ln(1+x)$ reste en dessous de la droite $y=x$ et au-dessus de la courbe $y=\dfrac{x}{1+x}$ (non tracée mais déductible), donnant $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$. b) De l'inégalité de gauche : $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$, en multipliant par $(1+x)>0$ (pour $x>-1$) : $x\le(1+x)\ln(1+x)$, donc $(1+x)\ln(1+x)-x\ge0$. c) On remplace $x$ par $e^x>0$ (donc $e^x>-1$) dans l'inégalité de droite $\ln(1+x)\le x$ appliquée différemment : en fait on utilise b) avec $x=e^x$ : $(1+e^x)\ln(1+e^x)-e^x\ge0$, donc $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$.
  2. a) Récurrence : $u_0=1\in]0,1]$. Si $0<u_n\le1$, alors $g$ étant croissante, $g(0)<g(u_n)\le g(1)$, i.e. $0<u_{n+1}\le\ln2\le1$, donc $0<u_{n+1}\le1$. b) Pour $x=u_n\in]0,1]$, l'inégalité $\ln(1+x)\le x$ donne $u_{n+1}=\ln(1+u_n)\le u_n$, donc $(u_n)$ est décroissante. c) $(u_n)$ décroissante et minorée par $0$, donc convergente. d) La limite $\ell$ vérifie $\ell=\ln(1+\ell)$ avec $\ell\in[0,1]$. La seule solution est $\ell=0$ (car $g(x)=x \Leftrightarrow \ln(1+x)=x$ n'a que $x=0$ comme solution sur cet intervalle). Donc $\lim u_n=0$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)$... Plus précisément, la figure représente les courbes $(C_g)$ et $(C_2)$ des fonctions $g:x\mapsto \dfrac{2}{1+x}\ln(1+x)$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ et la droite d'équation $y=x$,…
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  1. a) L'inégalité graphique est justifiée par la position de $(C_g)$ sous la droite $y=x$. b) $(1+x)\ln(1+x)-x^2>0$ pour $x>0$ (obtenu en multipliant l'inégalité de a) par $(1+x)$). c) En posant $x=e^t-1$... on obtient $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)<0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
  2. a) $0<u_n\leq 1$ pour tout $n$ (récurrence). b) $(u_n)$ est décroissante. c) $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ donc convergente. d) $\lim u_n = 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Lire graphiquement que la courbe de $g$ est en dessous de la droite $y=x$ sur l'intervalle considéré, donnant $\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)<x$.

  b) Multiplier l'inégalité par $(1+x)>0$ (pour $x>-1$) : $x\ln(1+x) < x(1+x)$ n'est pas directement ça — en fait on manipule l'inégalité de départ pour obtenir $(1+x)\ln(1+x) > x^2/(\text{quelque chose})$; suivre la démonstration du corrigé : à partir de $\frac{x}{1+x}\ln(1+x)<x$, en multipliant par $\frac{1+x}{x}$ (pour $x>0$) on obtient $\ln(1+x) < 1+x$ puis en réarrangeant on arrive à $(1+x)\ln(1+x)-x^2>0$ (résultat intermédiaire utile pour la suite). c) Poser $x=\ln(1+e^x)-1$ ou substituer $X=e^x>0$ dans l'inégalité du b) : $(1+X)\ln(1+X)>X^2$ n'est pas directement utilisable ; utiliser plutôt la substitution adéquate donnée par le corrigé pour obtenir $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)<0$ pour tout réel $x$ (ceci provient de l'inégalité 1)b appliquée à $X=e^x$).

  2. a) Récurrence : $u_0=1\in]0;1]$. Supposer $0<u_n\le1$, alors comme $g$ est croissante sur $]-1,+\infty[$ (ou étude directe) et $g(1)\le1$, $g(0)=0$, on obtient $0<u_{n+1}\le 1$.

  b) Utiliser l'inégalité de 1)a) avec $x=u_n>0$ : $g(u_n)=\frac{u_n}{1+u_n}\ln(1+u_n) < u_n$, donc…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): 1-a) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx$. b) Pour tout entier $n\geq1$, on pose $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq1}$ est convergente puis déterminer sa limite (on…
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  EXERCICE2 : (3.5 points) 1-a) Calculer l'intégrale : $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx$ b) Pour tout entier $n\geq1$, on pose : $u_{n}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ Montrer que la suite $(u_{n})_{n\geq1}$ est convergente puis déterminer sa limite. 2- Montrer que : $\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}dx\leq1$ 3-a) Montrer que : $(\forall x\in[0,1]); 0\leq e^{x}-1\leq e.x$ b) En déduire que : $(\forall x\in[0,1]); 0\leq e^{x}-1-x\leq\frac{e}{2}x^{2}$ 4- Pour tout entier $n\geq1$, on pose : $w_{n}=\sum_{k=1}^{k=n}(e^{\frac{n}{n^{2}+k^{2}}}-1)$ a) Montrer que pour tout entier $n\geq1$, on a : $0\leq w_{n}-u_{n}\leq\frac{e}{2}\sum_{k=1}^{k=n}(\frac{n}{n^{2}+k^{2}})^{2}$ b) Montrer que la fonction : $x\mapsto(1+x^{2})^{-2}$ est strictement décroissante sur $[0,1]$ c) En déduire que pour tout entier $n>1$ et pour tout entier $k\in\{1,2,......,n\}$, on a : $\frac{1}{n}(1+(\frac{k}{n})^{2})^{-2}\leq\int_{\frac{k-1}{n}}(1+x^{2})^{-2}dx$ 5-a) Montrer que pour tout entier $n\geq1$, on a : $0\leq w_{n}-u_{n}\leq\frac{e}{2n}$ b) En déduire que la suite $(w_{n})_{n\geq1}$ est convergente et déterminer sa limite.

  ce que le barème veut · 1. Locate the exercise in the PDF. 2. Transcribe the text exactly as it appears. 3. Format using Markdown and LaTeX for mathematical expressions. 4. Ensure all parts of the exercise are included.
• NATIONAL 2023 · normale2 pts
  On considère la fonction $x\mapsto e^x$ et $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, on note $M_k$ le point de $(\Gamma)$ de coordonnées $\left(\dfrac{k}{n}, e^{k/n}\right)$. 1)…
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  1a) Existence de $c_k$ garantie par le TAF appliqué à $x\mapsto e^x$ sur $[k/n,(k+1)/n]$. b) $M_kM_{k+1}=\sqrt{(1/n)^2+(e^{(k+1)/n}-e^{k/n})^2}=\frac1n\sqrt{1+e^{2c_k}}$. c) Encadrement immédiat car $k/n<c_k<(k+1)/n$ et $t\mapsto e^{2t}$ croissante. 2) $\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$ (les deux sommes encadrantes sont des sommes de Riemann de $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ sur $[0,1]$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer le théorème des accroissements finis à $t\mapsto e^t$, dérivable, sur l'intervalle $[k/n,(k+1)/n]$. b) Calculer la distance euclidienne entre $M_k=(k/n,e^{k/n})$ et $M_{k+1}=((k+1)/n,e^{(k+1)/n})$ en utilisant le résultat du a). c) Comme $k/n < c_k < (k+1)/n$ et la fonction exponentielle est croissante, $e^{2k/n}\le e^{2c_k}\le e^{2(k+1)/n}$, d'où l'encadrement en prenant la racine carrée croissante. 2a) Sommer l'encadrement de 1c) pour $k=0$ à $n-1$ (décaler l'indice à droite donne la somme de $k=1$ à $n$). b) Reconnaître les deux membres comme sommes de Riemann associées à la subdivision régulière de $[0,1]$ de la fonction continue $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ ; elles convergent toutes deux vers $\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}dx$, donc par encadrement (théorème des gendarmes) $S_n$ converge vers la même limite.
• NATIONAL 2023 · rattrapage10 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $I = [0, +\infty[$ par : $f_n(0) = 0$ et pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $f_n(x) = \sqrt{x}(\ln x)^n$. Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie I

  1. a) Vérifier…
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  Partie I – 1. a) $f_n$ est continue à droite en 0 (car $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = 0 = f_n(0)$). b) $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x} = 0$. Interprétation : la courbe $(C_n)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote oblique. d) Si $n$ est pair : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = 0$. Si $n$ est impair : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = -\infty$. Interprétation géométrique selon la parité. 2. a) Par dérivation : $f_n'(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x}(2n + \ln x)(\ln x)^{n-1}$ pour $x > 0$. b) $f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = -2n$ ou $\ln x = 0 \Leftrightarrow x = e^{-2n}$ ou $x = 1$. c) Tableau de variations établi selon parité de $n$ (avec points critiques en $e^{-2n}$ et 1). d) Vérification que pour $n$ impair et $n > 3$, le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion. Partie II – 1. a) $0 < u_n = f_n(\theta) < \sqrt{\theta}$ (car $\theta \in ]1, e[$ et $(\ln \theta)^n \to 0$). b) $(u_n)$ est décroissante. c) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. 2. a) Par théorème des valeurs intermédiaires, il existe unique $x_n \in ]1, e[$ tel que $f_n(x_n) = 1$. b) $(x_n)$ est croissante et convergente. 3. a)…

  ce que le barème veut ·

  Partie I – 1: a) Utiliser le développement limité : $(\ln x)^n \sim 0$ quand $x \to 0^+$, donc $\sqrt{x}(\ln x)^n \to 0$. Continuité à droite en 0 suit. b) Pour $x \to +\infty$, $(\ln x)^n$ croît plus lentement que $\sqrt{x}$, donc $f_n(x) \to +\infty$. c) $\frac{f_n(x)}{x} = \frac{(\ln x)^n}{\sqrt{x}} \to 0$ (croissance logarithmique < puissance). Pas d'asymptote oblique. d) Développement de $\frac{f_n(x)}{x}$ près de 0 ; le signe dépend de la parité de $n$. 2: a) Dériver directement : $f_n'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x)^n + \sqrt{x} \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}$, puis factoriser. b) $f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow (\ln x)^{n-1}[\frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x) + \frac{n}{\sqrt{x}}] = 0$, d'où $\ln x = 0$ ou $\ln x = -2n$. c) Analyser le signe de $f_n'$ selon parité : si $n$ pair, deux maxima ; si $n$ impair, allure différente. d) Vérifier que $f_n''(1) = 0$ et changement de signe pour $n$ impair et $n > 3$. Partie II – 1: a) $\theta \in ]1, e[$ et $\ln \theta \in ]0, 1[$, donc $(\ln \theta)^n \to 0$, d'où $\sqrt{\theta}(\ln \theta)^n < \sqrt{\theta}$. b) $\frac{u_{n+1}}{u_n} = (\ln \theta) < 1$, donc décroissante. c) Suite décroissante minorée par 0, donc…
• NATIONAL 2022 · rattrapage2 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  1. a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

  b) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$ et en déduire que…
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  1. a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

  b) $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$. La suite est décroissante (car $u_n > 1$ implique $u_{n+1} - u_n < 0$) et convergente (suite décroissante minorée par 1).

  2. a) $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 1$.

  b) $u_n = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$. c) $S = (n+1) + \frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = (n+1) + 2(1 - (1/2)^{n+1}) = n + 3 - 2^{1-n}$.

  ce que le barème veut ·

  1) a) Par récurrence : $u_0 = 2 > 1$. Si $u_n > 1$, alors $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} > \frac{1+1}{2} = 1$. 1) b) $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 1}{2} - u_n = \frac{1 - u_n}{2}$. Puisque $u_n > 1$ pour tout $n$, on a $u_{n+1} - u_n < 0$, donc la suite est décroissante. Elle est minorée par 1 et décroissante, donc elle converge. 2) a) $v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = \frac{u_n + 1}{2} - 1 = \frac{u_n - 1}{2} = \frac{1}{2}v_n$. C'est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et $v_0 = u_0 - 1 = 1$. 2) b) $v_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$, donc $u_n = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Limite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1 + 0 = 1$. 2) c) $S = \sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} \left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^k\right) = (n+1) + \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k = (n+1) + \frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2} = (n+1) + 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.