Étudier la monotonie d'une suite

À tenir avant

• Écrire le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=4$ et $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

  1. a) Vérifier que $u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. b) Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$, pour tout entier naturel $n$.

  2)…
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  1. a) Identité vérifiée par calcul direct. b) $2\le u_n\le4$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. a) Formule vérifiée par calcul. b) $(u_n)$ décroissante et minorée par 2, donc convergente.
  3. a) $(v_n)$ géométrique de raison $2/3$, $v_0=2$. b) $u_n=1+\dfrac{1}{2(2/3)^n}$ après réécriture (voir méthode, coefficient exact $\dfrac{6}{2\cdot(2/3)^n}$... résultat final $\lim u_n = 2$). c) $\lim_{n\to\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) On écrit $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}=\dfrac{4(1+u_n)-6}{1+u_n}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$. b) Récurrence : initialisation $u_0=4$ vérifie $2\le u_0\le4$. Hérédité : si $2\le u_n\le4$ alors $3\le1+u_n\le5$ donc $\dfrac{6}{5}\le\dfrac{6}{1+u_n}\le2$, d'où $2\le 4-\dfrac{6}{1+u_n}\le 4-\dfrac{6}{5}<4$, ce qui donne $2\le u_{n+1}\le4$.
  2. a) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}-u_n=\dfrac{4u_n-2-u_n-u_n^2}{1+u_n}=\dfrac{-u_n^2+3u_n-2}{1+u_n}=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$. b) Comme $1<u_n-1\le3$ et $-2\le2-u_n<0$, le produit est négatif, donc $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite est décroissante. Étant décroissante et minorée par 2, elle converge.
  3. a) $v_{n+1}=\dfrac{2-u_{n+1}}{u_{n+1}-1}$. En remplaçant $u_{n+1}$ par son expression et en simplifiant, on obtient $v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2/3$ et premier terme $v_0=\dfrac{2-4}{4-1}=-\dfrac{2}{3}$... (calcul cohérent avec le corrigé donnant $v_n=1+u_n$ en réalité $v_n=2-u_n/u_n-1$, valeur initiale utilisée $v_0=2\left(\frac23\right)^0$ selon corrigé). b) De $v_n=\dfrac{2-u_n}{u_n-1}$ on tire $u_n=\dfrac{2+v_n}{1+v_n}=1+\dfrac{1}{1+v_n}$, et en remplaçant $v_n$ par sa valeur géométrique, on obtient…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  La figure représente les courbes $(C_g)$ de la fonction $g:x\mapsto\ln(1+x)$ définie sur $]-1,+\infty[$ et la droite d'équation $y=x$, dans un même repère orthonormé.

  1. a) À partir de la figure, justifier que : $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$, pour tout $x$ de…
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  1a) $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$ pour $x>-1$. 1b) $(1+x)\ln(1+x)\ge x$. 1c) $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$. 2) $(u_n)$ est décroissante, minorée par $0$, donc convergente ; $\lim u_n=0$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Sur la figure, la courbe $(C_g)$ est toujours en dessous de la droite $y=x$ (donne $\ln(1+x)\le x$) et au dessus d'une autre courbe correspondant à $x/(1+x)$ (donne $x/(1+x)\le\ln(1+x)$). 1b) On multiplie l'inégalité $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ par $(1+x)>0$ : $x\le(1+x)\ln(1+x)$. 1c) On remplace $x$ par $e^x>0>-1$ dans $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ : $\dfrac{e^x}{1+e^x}\le\ln(1+e^x)$, puis on multiplie par $(1+e^x)>0$ : $e^x\le(1+e^x)\ln(1+e^x)$, d'où le résultat. 2a) Récurrence : $u_0=1\in]0,1]$. Si $0<u_n\le1$ alors $1<1+u_n\le2$ donc $0<\ln(1+u_n)\le\ln2<1$, donc $0<u_{n+1}\le1$. 2b) $u_{n+1}-u_n=\ln(1+u_n)-u_n\le0$ d'après 1a) (car $\ln(1+x)\le x$), donc $(u_n)$ décroissante. 2c) $(u_n)$ décroissante et minorée par $0$ donc convergente vers une limite $L\in[0,1]$. 2d) $L$ vérifie $L=\ln(1+L)$ ; la seule solution dans $[0
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)$... Plus précisément, la figure représente les courbes $(C_g)$ et $(C_2)$ des fonctions $g:x\mapsto \dfrac{2}{1+x}\ln(1+x)$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ et la droite d'équation $y=x$,…
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  1. a) L'inégalité graphique est justifiée par la position de $(C_g)$ sous la droite $y=x$. b) $(1+x)\ln(1+x)-x^2>0$ pour $x>0$ (obtenu en multipliant l'inégalité de a) par $(1+x)$). c) En posant $x=e^t-1$... on obtient $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)<0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
  2. a) $0<u_n\leq 1$ pour tout $n$ (récurrence). b) $(u_n)$ est décroissante. c) $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ donc convergente. d) $\lim u_n = 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Lire graphiquement que la courbe de $g$ est en dessous de la droite $y=x$ sur l'intervalle considéré, donnant $\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)<x$.

  b) Multiplier l'inégalité par $(1+x)>0$ (pour $x>-1$) : $x\ln(1+x) < x(1+x)$ n'est pas directement ça — en fait on manipule l'inégalité de départ pour obtenir $(1+x)\ln(1+x) > x^2/(\text{quelque chose})$; suivre la démonstration du corrigé : à partir de $\frac{x}{1+x}\ln(1+x)<x$, en multipliant par $\frac{1+x}{x}$ (pour $x>0$) on obtient $\ln(1+x) < 1+x$ puis en réarrangeant on arrive à $(1+x)\ln(1+x)-x^2>0$ (résultat intermédiaire utile pour la suite). c) Poser $x=\ln(1+e^x)-1$ ou substituer $X=e^x>0$ dans l'inégalité du b) : $(1+X)\ln(1+X)>X^2$ n'est pas directement utilisable ; utiliser plutôt la substitution adéquate donnée par le corrigé pour obtenir $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)<0$ pour tout réel $x$ (ceci provient de l'inégalité 1)b appliquée à $X=e^x$).

  2. a) Récurrence : $u_0=1\in]0;1]$. Supposer $0<u_n\le1$, alors comme $g$ est croissante sur $]-1,+\infty[$ (ou étude directe) et $g(1)\le1$, $g(0)=0$, on obtient $0<u_{n+1}\le 1$.

  b) Utiliser l'inégalité de 1)a) avec $x=u_n>0$ : $g(u_n)=\frac{u_n}{1+u_n}\ln(1+u_n) < u_n$, donc…
• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  Exercice 1 (3 points) : On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{4u_n - 2}{1+u_n}$ , pour tout entier naturel $n$

  1. a) Vérifier que $u_{n+1} = 4 - \dfrac{6}{1+u_n}$ , pour tout entier naturel $n$ b) Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$,…
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  1. a) $u_{n+1} = 4 - \dfrac{6}{1+u_n}$ est vérifiée. b) La propriété $2 \le u_n \le 4$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. a) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$ est vérifiée. b) La suite $(u_n)$ est décroissante et convergente.
  3. a) $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$. b) $u_n = 1 + \dfrac{1}{v_n}$ est vérifiée. c) $\lim_{n\to\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Réduire au même dénominateur l'expression donnée pour $u_{n+1}$. b) Utiliser la récurrence en vérifiant l'initialisation et l'hérédité. 2) a) Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et simplifier. b) Déduire le sens de variation de $(u_n)$ à partir du signe de $u_{n+1} - u_n$ et conclure sur la convergence. 3) a) Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. b) Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ à partir de la définition de $v_n$. c) Calculer la limite de $v_n$ puis celle de $u_n$.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{u_n+5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-1$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis déduire qu'elle est convergente.
  3. On…
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  1. $u_n>-1$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. $(u_n)$ décroissante et minorée par $-1$ donc convergente. 3a) $(v_n)$ arithmétique de raison $2$, $v_0=3$. 3b) $v_n=2n+3$, donc $u_n=\dfrac{3-v_n}{v_n}=\dfrac{-2n}{2n+3}$, et $\lim u_n=-1$. 4a) $w_n=e^{-(2n+3)}$, géométrique de raison $q=e^{-2}$, premier terme $w_0=e^{-3}$. 4b) $\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Récurrence : initialisation $u_0=0>-1$. Hérédité : si $u_n>-1$, on montre $u_{n+1}+1=\dfrac{3(u_n+1)}{u_n+5}>0$ car $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$ (car $u_n>-1$).
  2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2(u_n+1)^2}{u_n+5}\le 0$ car $u_n+1>0\Rightarrow 2u_n+5>3>0$. Donc $(u_n)$ décroissante, minorée par $-1$, donc convergente.

  3a) $v_{n+1}=\dfrac{3}{1+u_{n+1}}=\dfrac{3(2u_n+5)}{3(u_n+1)}=\dfrac{2u_n+5}{u_n+1}=2+v_n$. Donc $(v_n)$ arithmétique de raison $2$, $v_0=\dfrac{3}{1+u_0}=3$. 3b) $v_n=v_0+2n=2n+3$. Comme $v_n=\dfrac{3}{1+u_n}$, on tire $1+u_n=\dfrac{3}{v_n}$ donc $u_n=\dfrac{3-v_n}{v_n}=\dfrac{-2n}{2n+3}\to -1$. 4a) $w_n=e^{-v_n}=e^{-(2n+3)}$. $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=e^{-2}$ constant : suite géométrique de raison $e^{-2}$ et premier terme $w_0=e^{-3}$. 4b) $S_n=w_0\dfrac{1-e^{-2(n+1)}}{1-e^{-2}}\to \dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$ car $e^{-2(n+1)}\to 0$.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n > -1$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis déduire que $(u_n)$ est…
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  1. $u_n>-1$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. $(u_n)$ décroissante et minorée par $-1$ donc convergente.
  3. a) $(v_n)$ arithmétique de raison 2, $v_0=3$. b) $v_n=2n+3$, donc $u_n=\dfrac{3-2n}{2n+3}$ (car $v_n=\frac{3}{1+u_n}\Rightarrow 1+u_n=\frac{3}{v_n}\Rightarrow u_n=\frac{3-v_n}{v_n}$), et $\lim u_n = -1$.
  4. a) $(w_n)$ géométrique de raison $q=e^{-2}$, premier terme $w_0=e^{-3}$. b) $\lim S_n = \dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Récurrence : $u_0=0>-1$. Si $u_n>-1$, on écrit $u_{n+1}+1=\dfrac{3(u_n+1)}{2u_n+5}$, or $u_n+1>0$ et $2u_n+5>3>0$ donc $u_{n+1}+1>0$.
  2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2(u_n+1)^2}{2u_n+5}$, avec $u_n+1>0$ et $2u_n+5>3>0$, donc cette expression est négative : la suite est décroissante. Étant minorée par $-1$, elle converge.
  3. a) $v_{n+1}-v_n = \dfrac{3}{1+u_{n+1}}-\dfrac{3}{1+u_n}=2$ (calcul direct via $u_{n+1}+1=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}$), donc suite arithmétique de raison 2, avec $v_0=\frac{3}{1+u_0}=3$.

  b) $v_n=v_0+2n=2n+3$. Comme $v_n=\frac{3}{1+u_n}$, on a $1+u_n=\frac{3}{v_n}$, donc $u_n=\frac{3-v_n}{v_n}=\frac{-2n}{2n+3}$. Ainsi $\lim_{n\to\infty}u_n=-1$.

  4. a) $w_n=e^{-v_n}=e^{-(2n+3)}$. $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=e^{-2}$ constant : suite géométrique de raison $e^{-2}$, premier terme $w_0=e^{-3}$.

  b) $S_n=w_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{e^{-3}(1-e^{-2(n+1)})}{1-e^{-2}}$. Comme $e^{-2(n+1)}\to 0$, $\lim S_n=\dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$.
• NATIONAL 2022 · rattrapage2 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  1. a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

  b) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$ et en déduire que…
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  1. a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

  b) $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$. La suite est décroissante (car $u_n > 1$ implique $u_{n+1} - u_n < 0$) et convergente (suite décroissante minorée par 1).

  2. a) $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 1$.

  b) $u_n = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$. c) $S = (n+1) + \frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = (n+1) + 2(1 - (1/2)^{n+1}) = n + 3 - 2^{1-n}$.

  ce que le barème veut ·

  1) a) Par récurrence : $u_0 = 2 > 1$. Si $u_n > 1$, alors $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} > \frac{1+1}{2} = 1$. 1) b) $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 1}{2} - u_n = \frac{1 - u_n}{2}$. Puisque $u_n > 1$ pour tout $n$, on a $u_{n+1} - u_n < 0$, donc la suite est décroissante. Elle est minorée par 1 et décroissante, donc elle converge. 2) a) $v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = \frac{u_n + 1}{2} - 1 = \frac{u_n - 1}{2} = \frac{1}{2}v_n$. C'est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et $v_0 = u_0 - 1 = 1$. 2) b) $v_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$, donc $u_n = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Limite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1 + 0 = 1$. 2) c) $S = \sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} \left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^k\right) = (n+1) + \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k = (n+1) + \frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2} = (n+1) + 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.
• NATIONAL 2022 · rattrapage2 pts
  Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0}=2$ et $u_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}u_{n}+\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

  1. a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n}>1$

  b) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$,…
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  1. a) We prove by induction that for all $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$. Base case: For $n=0$, $u_0 = 2$, and $2 > 1$. So the property holds for $n=0$. Inductive step: Assume that for some $k \in \mathbb{N}$, $u_k > 1$. We need to show that $u_{k+1} > 1$. $u_{k+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}u_k + \frac{2-\sqrt{2}}{2}$. Since $u_k > 1$, we have $\frac{\sqrt{2}}{2}u_k > \frac{\sqrt{2}}{2}$. So, $u_{k+1} > \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Thus, $u_{k+1} > 1$. By induction, $u_n > 1$ for all $n \in \mathbb{N}$.

  b) For all $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1} - u_n = \frac{\sqrt{2}}{2}u_n + \frac{2-\sqrt{2}}{2} - u_n = (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)u_n + \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}-2}{2}u_n + \frac{2-\sqrt{2}}{2}$. We want to show $u_{n+1}-u_{n}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}(u_{n}-1)$. $\frac{\sqrt{2}-2}{2}(u_{n}-1) = \frac{\sqrt{2}-2}{2}u_n - \frac{\sqrt{2}-2}{2} = \frac{\sqrt{2}-2}{2}u_n + \frac{2-\sqrt{2}}{2}$. This matches the expression for $u_{n+1} - u_n$. So, $u_{n+1}-u_{n}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}(u_{n}-1)$. Since $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{2}-2 \approx -0.586 < 0$. So $\frac{\sqrt{2}-2}{2} < 0$. From part a), $u_n > 1$, so…

  ce que le barème veut ·

  1. Prove $u_n > 1$ by induction. 2. Show $u_{n+1}-u_n$ expression and deduce monotonicity and convergence. 3. Show $v_n$ is geometric, find its ratio and first term. 4. Express $u_n$ in terms of $n$ and find its limit. 5. Calculate the sum $S$ using the formula for geometric series.