Écrire le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique

À tenir avant

• Montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique

Cette méthode au national

4 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2021 · rattrapage4 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{1+u_n}{3-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

  1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $0<u_n <1$
  2. a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ $u_{n+1} - u_n = \frac{(u_n-1)^2}{3-u_n}$ b) Montrer…
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  1. Par récurrence : $u_0=3$ n'est pas dans $]0,1[$. L'énoncé doit être $u_0 \in ]0,1[$ ou la question doit être pour $n \geq 1$. Si on suppose $u_0 \in ]0,1[$, alors $u_n \in ]0,1[$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. a) $u_{n+1} - u_n = \frac{1+u_n}{3-u_n} - u_n = \frac{1+u_n - u_n(3-u_n)}{3-u_n} = \frac{1+u_n-3u_n+u_n^2}{3-u_n} = \frac{u_n^2-2u_n+1}{3-u_n} = \frac{(u_n-1)^2}{3-u_n}$. b) Puisque $0 < u_n < 1$, alors $(u_n-1)^2 \geq 0$ et $3-u_n > 0$. Donc $u_{n+1}-u_n \geq 0$, ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est croissante. Étant croissante et majorée par 1, la suite $(u_n)$ est convergente.
  3. a) $v_{n+1} = \frac{1}{1-u_{n+1}} = \frac{1}{1-\frac{1+u_n}{3-u_n}} = \frac{3-u_n}{3-u_n-(1+u_n)} = \frac{3-u_n}{2-2u_n} = \frac{3-u_n}{2(1-u_n)} = \frac{1}{2} \left( \frac{3-u_n}{1-u_n} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2+1-u_n}{1-u_n} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{1-u_n} + 1 \right) = v_n + \frac{1}{2}$. Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = \frac{1}{2}$. Son premier terme est $v_0 = \frac{1}{1-u_0} = \frac{1}{1-3} = -\frac{1}{2}$. b) $v_n = v_0 + nr = -\frac{1}{2} + \frac{n}{2} = \frac{n-1}{2}$. De $v_n = \frac{1}{1-u_n}$, on a $1-u_n = \frac{1}{v_n}$, donc…

  ce que le barème veut ·

  1. Démontrer par récurrence la borne de $u_n$. 2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ et sa convergence. 3. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique, trouver son terme général et en déduire $u_n$. 4. Calculer la limite de $u_n$ et résoudre l'inégalité.
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_{n+1} = \frac{U_n + 14}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $U_0 = 13$.

  1. Montrer que $U_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. Soit $(V_n)$ la suite définie par : $V_n = 14 - U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. a)…
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  1. $U_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. a) $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ avec $V_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$. b) $U_n = 14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ et $\lim_{n \to \infty} U_n = 14$.
  3. Le plus petit entier est $n = 7$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 :

  • Initialisation : $U_0 = 13 < 14$ ✓.
  • Hérédité : Supposons $U_n < 14$. Alors $U_{n+1} = \frac{U_n + 14}{2} < \frac{14 + 14}{2} = 14$ ✓.
  • Par récurrence, $U_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  Question 2a :

  • Calculer $V_{n+1}$ : $V_{n+1} = 14 - U_{n+1} = 14 - \frac{U_n + 14}{2} = \frac{28 - U_n - 14}{2} = \frac{14 - U_n}{2} = \frac{1}{2}V_n$.
  • Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$.
  • Premier terme : $V_0 = 14 - U_0 = 14 - 13 = 1$.
  • Terme général : $V_n = V_0 \cdot q^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

  Question 2b :

  • De $V_n = 14 - U_n$, on déduit : $U_n = 14 - V_n = 14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
  • Limite : $\lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to \infty} \left(14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = 14 - 0 = 14$ (car $\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0$).

  Question 3 :

  • On cherche $n$ tel que $U_n > 13,99$ : $14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 13,99$ $\left(\frac{1}{2}\right)^n < 0,01$
  • Appliquer le logarithme : $n \log(1/2) < \log(0,01)$, donc $-n\log 2 < -2\log 10$.
  • $n > \frac{2\log 10}{\log 2} = \frac{2 \times 2,303}{0,693} \approx 6,64$.
  • Le plus petit entier est $n = 7$.
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_{n+1} = \frac{U_n + 14}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $U_0 = 13$.

  1. Montrer que $U_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n = 14 - U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. a) Montrer…
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  1. $U_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (par récurrence).
  2. a) $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ avec $V_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

  b) $U_n = 14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} U_n = 14$.

  3. Le plus petit entier $n$ tel que $U_n > 13,99$ est $n = 7$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Preuve par récurrence que $U_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  • Initialisation : $U_0 = 13 < 14$ ✓
  • Hérédité : Supposons $U_n < 14$. Alors : $U_{n+1} = \frac{U_n + 14}{2} < \frac{14 + 14}{2} = 14$ Donc $U_{n+1} < 14$ ✓

  Question 2a : Montrer que $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.

  • $V_{n+1} = 14 - U_{n+1} = 14 - \frac{U_n + 14}{2} = \frac{28 - U_n - 14}{2} = \frac{14 - U_n}{2} = \frac{1}{2}V_n$
  • Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$.
  • Premier terme : $V_0 = 14 - U_0 = 14 - 13 = 1$
  • Terme général : $V_n = V_0 \cdot q^n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$

  Question 2b : Déduction de $U_n$ et limite.

  • $V_n = 14 - U_n$ donc $U_n = 14 - V_n = 14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$
  • Limite : $\lim\limits_{n \to +\infty} U_n = \lim\limits_{n \to +\infty} \left(14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = 14 - 0 = 14$ (car $\left|\frac{1}{2}\right| < 1$)

  Question 3 : Déterminer le plus petit $n$ tel que $U_n > 13,99$. $U_n > 13,99 \iff 14 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 13,99 \iff 0,01 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$…
• NATIONAL 2011 · normale3 pts
  On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_0 = -1$ et $U_{n+1} = \frac{1}{5 + 8U_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  1. Montrer que $U_n < 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
  2. On considère la suite $(V_n)$ définie par : $V_n = \frac{1}{U_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

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  1. $U_n < 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
  2. a - $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 5$ avec $V_n = 3 \times 5^n$

  b - $U_n = \frac{-1}{3 \times 5^n - 2}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} U_n = 0$

  ce que le barème veut ·

  1) Montrer par récurrence que $U_n < 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

  • Initialisation : $U_0 = -1 < 0$ ✓
  • Hérédité : Supposons $U_n < 0$. Alors :
    • $8U_n < 0$
    • $5 + 8U_n < 5$, donc $5 + 8U_n > 0$ (car on doit avoir un dénominateur positif pour que la suite soit bien définie)
    • $U_{n+1} = \frac{1}{5 + 8U_n} > 0$ ...

  En réalité, si $U_n < 0$, alors $8U_n < 0$ donc $5 + 8U_n < 5$. Pour que le dénominateur soit positif, il faut que $U_n > -\frac{5}{8}$. Par récurrence, on montre que $-1 < U_n < 0$, donc $5 + 8U_n > 5 - 8 = -3$, ce qui n'est pas suffisant. On montre plutôt que $U_n \in [-1, 0[$, d'où $U_{n+1} = \frac{1}{5 + 8U_n} < 0$ lorsque $5 + 8U_n > 0$. 2) a) Montrer que $(V_n)$ est géométrique de raison $5$ : $V_{n+1} = \frac{1}{U_{n+1} + 2}$ Avec $U_{n+1} = \frac{1}{5 + 8U_n}$ : $V_{n+1} = \frac{1}{\frac{1}{5 + 8U_n} + 2} = \frac{5 + 8U_n}{1 + 2(5 + 8U_n)} = \frac{5 + 8U_n}{1 + 10 + 16U_n} = \frac{5 + 8U_n}{11 + 16U_n}$ Alternativement, exprimer différemment : $V_{n+1} = \frac{1}{U_{n+1} + 2} = \frac{5 + 8U_n}{1 + 2(5 + 8U_n)} = \frac{5 + 8U_n}{11 + 16U_n}$ Écrire $U_n = \frac{1}{V_n} - 2 = \frac{1 - 2V_n}{V_n}$ :…
• TYPE BAC2 pts
  La suite $(u_{n})$ est arithmétique de premier terme $u_{0} = 3$ et de raison $r = 2$. Calculer $u_{10}$ et la somme $S = u_{0} + u_{1} + ... + u_{10}$.
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  u_10 = u_0 + 10 r = 3 + 20 = 23. S = (nombre de termes)(premier + dernier)/2 = 11 (u_0 + u_10)/2 = 11 (3 + 23)/2 = 11 * 13 = 143.

  ce que le barème veut · Utiliser u_n = u_0 + n r pour le terme général, puis la somme d'une suite arithmétique S = (nb de termes)(premier + dernier)/2.