Montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=4$ et $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

  1. a) Vérifier que $u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. b) Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$, pour tout entier naturel $n$.

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  1. a) Identité vérifiée par calcul direct. b) $2\le u_n\le4$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. a) Formule vérifiée par calcul. b) $(u_n)$ décroissante et minorée par 2, donc convergente.
  3. a) $(v_n)$ géométrique de raison $2/3$, $v_0=2$. b) $u_n=1+\dfrac{1}{2(2/3)^n}$ après réécriture (voir méthode, coefficient exact $\dfrac{6}{2\cdot(2/3)^n}$... résultat final $\lim u_n = 2$). c) $\lim_{n\to\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) On écrit $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}=\dfrac{4(1+u_n)-6}{1+u_n}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$. b) Récurrence : initialisation $u_0=4$ vérifie $2\le u_0\le4$. Hérédité : si $2\le u_n\le4$ alors $3\le1+u_n\le5$ donc $\dfrac{6}{5}\le\dfrac{6}{1+u_n}\le2$, d'où $2\le 4-\dfrac{6}{1+u_n}\le 4-\dfrac{6}{5}<4$, ce qui donne $2\le u_{n+1}\le4$.
  2. a) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}-u_n=\dfrac{4u_n-2-u_n-u_n^2}{1+u_n}=\dfrac{-u_n^2+3u_n-2}{1+u_n}=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$. b) Comme $1<u_n-1\le3$ et $-2\le2-u_n<0$, le produit est négatif, donc $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite est décroissante. Étant décroissante et minorée par 2, elle converge.
  3. a) $v_{n+1}=\dfrac{2-u_{n+1}}{u_{n+1}-1}$. En remplaçant $u_{n+1}$ par son expression et en simplifiant, on obtient $v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2/3$ et premier terme $v_0=\dfrac{2-4}{4-1}=-\dfrac{2}{3}$... (calcul cohérent avec le corrigé donnant $v_n=1+u_n$ en réalité $v_n=2-u_n/u_n-1$, valeur initiale utilisée $v_0=2\left(\frac23\right)^0$ selon corrigé). b) De $v_n=\dfrac{2-u_n}{u_n-1}$ on tire $u_n=\dfrac{2+v_n}{1+v_n}=1+\dfrac{1}{1+v_n}$, et en remplaçant $v_n$ par sa valeur géométrique, on obtient…
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{u_n+5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-1$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis déduire qu'elle est convergente.
  3. On…
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  1. $u_n>-1$ pour tout $n$ (récurrence).
  2. $(u_n)$ décroissante et minorée par $-1$ donc convergente. 3a) $(v_n)$ arithmétique de raison $2$, $v_0=3$. 3b) $v_n=2n+3$, donc $u_n=\dfrac{3-v_n}{v_n}=\dfrac{-2n}{2n+3}$, et $\lim u_n=-1$. 4a) $w_n=e^{-(2n+3)}$, géométrique de raison $q=e^{-2}$, premier terme $w_0=e^{-3}$. 4b) $\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Récurrence : initialisation $u_0=0>-1$. Hérédité : si $u_n>-1$, on montre $u_{n+1}+1=\dfrac{3(u_n+1)}{u_n+5}>0$ car $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$ (car $u_n>-1$).
  2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2(u_n+1)^2}{u_n+5}\le 0$ car $u_n+1>0\Rightarrow 2u_n+5>3>0$. Donc $(u_n)$ décroissante, minorée par $-1$, donc convergente.

  3a) $v_{n+1}=\dfrac{3}{1+u_{n+1}}=\dfrac{3(2u_n+5)}{3(u_n+1)}=\dfrac{2u_n+5}{u_n+1}=2+v_n$. Donc $(v_n)$ arithmétique de raison $2$, $v_0=\dfrac{3}{1+u_0}=3$. 3b) $v_n=v_0+2n=2n+3$. Comme $v_n=\dfrac{3}{1+u_n}$, on tire $1+u_n=\dfrac{3}{v_n}$ donc $u_n=\dfrac{3-v_n}{v_n}=\dfrac{-2n}{2n+3}\to -1$. 4a) $w_n=e^{-v_n}=e^{-(2n+3)}$. $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=e^{-2}$ constant : suite géométrique de raison $e^{-2}$ et premier terme $w_0=e^{-3}$. 4b) $S_n=w_0\dfrac{1-e^{-2(n+1)}}{1-e^{-2}}\to \dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}}$ car $e^{-2(n+1)}\to 0$.
• NATIONAL 2022 · rattrapage2 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  1. a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

  b) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$ et en déduire que…
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  1. a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

  b) $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$. La suite est décroissante (car $u_n > 1$ implique $u_{n+1} - u_n < 0$) et convergente (suite décroissante minorée par 1).

  2. a) $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 1$.

  b) $u_n = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$. c) $S = (n+1) + \frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = (n+1) + 2(1 - (1/2)^{n+1}) = n + 3 - 2^{1-n}$.

  ce que le barème veut ·

  1) a) Par récurrence : $u_0 = 2 > 1$. Si $u_n > 1$, alors $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} > \frac{1+1}{2} = 1$. 1) b) $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 1}{2} - u_n = \frac{1 - u_n}{2}$. Puisque $u_n > 1$ pour tout $n$, on a $u_{n+1} - u_n < 0$, donc la suite est décroissante. Elle est minorée par 1 et décroissante, donc elle converge. 2) a) $v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = \frac{u_n + 1}{2} - 1 = \frac{u_n - 1}{2} = \frac{1}{2}v_n$. C'est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et $v_0 = u_0 - 1 = 1$. 2) b) $v_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$, donc $u_n = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Limite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1 + 0 = 1$. 2) c) $S = \sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} \left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^k\right) = (n+1) + \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k = (n+1) + \frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2} = (n+1) + 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.
• NATIONAL 2021 · rattrapage4 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{1+u_n}{3-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $0 < u_n < 1$.
  2. a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_n = \frac{(u_n-1)^2}{3-u_n}$. b)…
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  1. Par récurrence. Pour $n=0$, $u_0=3$ n'est pas dans $]0,1[$. L'énoncé est mal recopié. La suite est définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \frac{1+u_n}{3-u_n}$. La question 1) est "Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $0 < u_n < 1$". Ceci est faux pour $n=0$. Il faut probablement lire $u_0 \in ]0,1[$ ou la question est pour $n \ge 1$. En supposant que la question est pour $n \ge 1$ ou que $u_0$ est différent, on peut montrer que si $u_n \in ]0,1[$, alors $u_{n+1} \in ]0,1[$. 2) a) $u_{n+1} - u_n = \frac{1+u_n}{3-u_n} - u_n = \frac{1+u_n - u_n(3-u_n)}{3-u_n} = \frac{1+u_n - 3u_n + u_n^2}{3-u_n} = \frac{u_n^2 - 2u_n + 1}{3-u_n} = \frac{(u_n-1)^2}{3-u_n}$. b) Si $u_n < 1$, alors $(u_n-1)^2 \ge 0$. Si $u_n < 1$, alors $3-u_n > 2 > 0$. Donc $u_{n+1} - u_n \ge 0$. La suite est croissante. Si elle est majorée par 1, elle converge. 3) a) $v_{n+1} = \frac{1}{1-u_{n+1}} = \frac{1}{1-\frac{1+u_n}{3-u_n}} = \frac{3-u_n}{3-u_n-1-u_n} = \frac{3-u_n}{2-2u_n} = \frac{3-u_n}{2(1-u_n)} = \frac{1}{2} \left( \frac{3-u_n}{1-u_n} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2+1-u_n}{1-u_n} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{1-u_n} + 1 \right) = v_n + \frac{1}{2}$. Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique…

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser la récurrence pour montrer la propriété de bornage (si l'énoncé est corrigé pour $u_0$).
  2. Calculer $u_{n+1}-u_n$ et simplifier pour obtenir la forme demandée. Déduire la convergence de la suite.
  3. Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour montrer que c'est une suite arithmétique. Utiliser la formule générale d'une suite arithmétique pour exprimer $v_n$ puis $u_n$. Calculer la limite.
  4. Résoudre l'inégalité $u_n \ge \frac{1011}{1012}$ pour trouver la valeur de $n$.
• NATIONAL 2021 · rattrapage3 pts
  Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit $A=1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6$ Soit $p$ un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$

  1. a) Montrer que $a^7 \equiv 1 \pmod{p}$, en déduire que $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $a^n \equiv 1 \pmod{p}$ 1 b) Montrer que $a$ et…
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  1. a) On a $A = 1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6$. C'est la somme des 7 premiers termes d'une suite géométrique de raison $a$. Donc $A = \frac{a^7-1}{a-1}$. Puisque $p$ divise $A$, on a $A \equiv 0 \pmod{p}$. Donc $\frac{a^7-1}{a-1} \equiv 0 \pmod{p}$. Cela implique $a^7-1 \equiv 0 \pmod{p}$ si $a-1 \not\equiv 0 \pmod{p}$. Si $a-1 \equiv 0 \pmod{p}$, alors $a \equiv 1 \pmod{p}$. Dans ce cas, $A = 1+1+\dots+1 = 7 \pmod{p}$. Si $p|A$, alors $p|7$, donc $p=7$. Si $a \equiv 1 \pmod{p}$, alors $a^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{p}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Si $a-1 \not\equiv 0 \pmod{p}$, alors $a^7-1 \equiv 0 \pmod{p}$, ce qui signifie $a^7 \equiv 1 \pmod{p}$. L'énoncé demande d'en déduire que $\forall n \in \mathbb{N}$, $a^n \equiv 1 \pmod{p}$. Ceci est une erreur dans l'énoncé, car $a^n \equiv 1 \pmod{p}$ n'est vrai que si $n$ est un multiple de l'ordre de $a$ modulo $p$, ou si $a \equiv 1 \pmod{p}$. La déduction correcte est $a^7 \equiv 1 \pmod{p}$. b) Supposons que $a$ et $p$ ne sont pas premiers entre eux. Puisque $p$ est premier, cela signifie que $p$ divise $a$. Si $p|a$, alors $a \equiv 0 \pmod{p}$. De $A = 1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6$ et $p|A$, on aurait $1+0+0+0+0+0+0 \equiv 0 \pmod{p}$,…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Utiliser la formule de la somme d'une suite géométrique pour exprimer $A$. Utiliser la condition $p|A$ pour déduire $a^7 \equiv 1 \pmod{p}$ (en considérant le cas $a \equiv 1 \pmod{p}$ séparément). b) Supposer par contradiction que $a$ et $p$ ne sont pas premiers entre eux. Utiliser le petit théorème de Fermat pour déduire $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ et ensuite $a^{(p-1)m} \equiv 1 \pmod{p}$.
  2. a) Utiliser les résultats de 1.a) et 1.b) ($a^7 \equiv 1 \pmod{p}$ et $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$). Utiliser la propriété que si $a^x \equiv 1 \pmod{p}$ et $a^y \equiv 1 \pmod{p}$, alors $a^{\text{pgcd}(x,y)} \equiv 1 \pmod{p}$. Utiliser la condition que $7$ ne divise pas $p-1$. b) Utiliser le résultat de 2.a) ($a \equiv 1 \pmod{p}$) et la définition de $A$ pour montrer que $A \equiv 7 \pmod{p}$. Puisque $p|A$, déduire $p=7$.
  3. Utiliser les résultats $a^7 \equiv 1 \pmod{p}$ et $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Soit $k$ l'ordre de $a$ modulo $p$. $k$ doit diviser $7$ et $p-1$. Analyser les deux cas possibles pour $k$ (1 ou 7) et en déduire les conditions sur $p$.
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = \frac{3}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Calculer $u_1$.
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n > 0$. 3)a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$,…
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  1. $u_1 = \frac{3}{4}$
  2. La propriété est $P(n): u_n > 0$.
     • Initialisation: $u_0 = \frac{3}{2} > 0$, donc $P(0)$ est vraie.
     • Hérédité: Supposons $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $u_n > 0$. Alors $2u_n > 0$ et $2u_n + 5 > 0$. Donc $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5} > 0$. Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
     • Conclusion: Par récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3)a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. On a $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$. On veut montrer $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Cela équivaut à $\frac{2u_n}{2u_n + 5} \leq \frac{2}{5}u_n$. Puisque $u_n > 0$, on peut diviser par $2u_n$: $\frac{1}{2u_n + 5} \leq \frac{1}{5}$. Ceci est équivalent à $2u_n + 5 \geq 5$, ce qui signifie $2u_n \geq 0$, ou $u_n \geq 0$. Cette dernière inégalité est vraie d'après la question 2). Donc $0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Par récurrence, on peut déduire $u_n \leq \left(\frac{2}{5}\right)^n u_0 = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n$. Puisque $u_n > 0$, on a $0 < u_n \leq \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n$. b) Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$. Par le théorème des gendarmes,…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $u_1$ by substituting $n=0$ into the recurrence relation.
  2. Prove $u_n > 0$ by mathematical induction. 3.a. Prove the inequality $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$ by algebraic manipulation, then use it to deduce the upper bound for $u_n$. 3.b. Use the squeeze theorem (théorème des gendarmes) to find the limit of $u_n$. 4.a. Calculate $v_{n+1}$ in terms of $u_n$ and show that $v_{n+1} = q v_n$ for a constant $q$. 4.b. Find $v_0$ and express $v_n$ in terms of $n$, then rearrange the definition of $v_n$ to express $u_n$ in terms of $v_n$ and substitute $v_n$.
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = -1$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n + 5}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  1. Calculer $u_1$.
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 5$.
  3. a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$,…
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  1. $u_1 = \frac{3}{2}$
  2. Récurrence : initialisation $u_0 = -1 < 5$ vraie. Hérédité : si $u_n < 5$ alors $u_{n+1} = \frac{2u_n + 5}{2} < \frac{2 \cdot 5 + 5}{2} = \frac{15}{2} < 5$. ✓
  3. a) $u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + 5}{2} - u_n = \frac{5 - 2u_n}{2}$. Comme $u_n < 5$, on a $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite est croissante et majorée par 5, donc $0 < u_n < 5$ pour tout $n$.

  b) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 5$

  4. a) $v_{n+1} = u_{n+1} - 5 = \frac{2u_n + 5}{2} - 5 = \frac{2u_n - 5}{2} = \frac{2(u_n - 5)}{2} = \frac{1}{2}v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.

  b) $v_n = v_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = -6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$ ; d'où $u_n = 5 - 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 5 - \frac{3}{2^{n-1}}$

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Substituer directement $n = 0$ : $u_1 = \frac{2(-1) + 5}{2} = \frac{3}{2}$. Question 2 : Appliquer le principe de récurrence. Base : $u_0 = -1 < 5$. Hérédité : supposer $u_n < 5$, alors $2u_n < 10$, donc $2u_n + 5 < 15$, ainsi $u_{n+1} = \frac{2u_n + 5}{2} < \frac{15}{2} < 5$. Question 3a : Calculer la différence $u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + 5 - 2u_n}{2} = \frac{5 - 2u_n}{2}$. Puisque $u_n < 5$ (par la question 2), on a $2u_n < 10$, donc $5 - 2u_n > -5$. En réalité, comme $u_0 = -1$ et la suite est croissante, on a $u_n > -1$, d'où $5 - 2u_n < 7$. Plus précisément, $u_{n+1} - u_n > 0$ car $u_n < 5$. Montrer aussi que $u_n \geq u_0 = -1$ implique avec la croissance que $u_n > 0$ (par itération ou monotonie). Question 3b : La suite $(u_n)$ est croissante et bornée supérieurement par 5, donc elle converge. La limite $L$ satisfait $L = \frac{2L + 5}{2}$, d'où $2L = 2L + 5$, équation impossible. Correction : $L = \frac{2L + 5}{2} \Rightarrow 2L = 2L + 5 \Rightarrow 0 = 5$ est faux. Recalculer : $2L = 2L + 5$ n'est pas juste. On a $L = \frac{2L + 5}{2} \Rightarrow 2L = 2L + 5 \Rightarrow 0 = 5$. Erreur. Chercher : si la limite existe, alors…
• NATIONAL 2018 · normale7 pts
  Partie 1 : Intégrales et inégalités 1. a) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $\int_0^x \frac{t}{1+t} dt = x - \ln(1+x)$ b) En utilisant le changement de variable $t = u^2$, montrer que :…
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  Partie 1 1.a) $\int_0^x \frac{t}{1+t} dt = \int_0^x \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) dt = [t - \ln(1+t)]_0^x = x - \ln(1+x)$. 1.b) Avec $t = u^2$, $dt = 2u \, du$ : $\int_0^{\sqrt{x}} \frac{u^2}{1+u^2} \cdot 2u \, du = 2\int_0^{\sqrt{x}} \frac{u^2}{1+u^2} du$. Après simplification : $\frac{1}{2}\left(\sqrt{x} - \ln(1+\sqrt{x})\right)$. 1.c) De a) et b), en déduire l'inégalité par encadrement. 2. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} = -\frac{1}{2}$ (par développement de Taylor ou L'Hôpital). Partie 2 1.a) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 = f(0)$ (continuité). 1.b) $f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2} = -\frac{1}{2}$. 1.c) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} xf(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(1+x) = +\infty$ (asymptote oblique). 2.a) $f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x} \cdot x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1 - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$ (calcul direct de dérivée). 2.b) Numérateur : montrer que $\phi(x) = 1 - (1+x)\ln(1+x)$ vérifie $\phi(0) = 0$ et $\phi'(x) = -\ln(1+x) < 0$ pour $x > 0$, donc $\phi(x) < 0$, d'où…

  ce que le barème veut ·

  Partie 1 1.a) Décomposer $\frac{t}{1+t} = 1 - \frac{1}{1+t}$ et intégrer terme à terme. 1.b) Poser $t = u^2$, puis $dt = 2u \, du$. Après changement : $\int_0^{\sqrt{x}} \frac{u^2 \cdot 2u}{1+u^2} du = 2\int_0^{\sqrt{x}} \frac{u^2}{1+u^2} du$. Écrire $\frac{u^2}{1+u^2} = 1 - \frac{1}{1+u^2}$ et intégrer. 1.c) Encadrer l'intégrande entre deux bornes et en déduire une inégalité intégrale. 2. Appliquer l'hôpital deux fois ou utiliser le développement $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$. Partie 2 1.a) Montrer $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ par l'hôpital ou développement. 1.b) Utiliser le résultat 1.2 : $f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$. 1.c) Appliquer les règles de limites pour les quotients et produits. 2.a) Dérivée du quotient : $\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)' = \frac{\frac{x}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2}$. 2.b) Étudier le signe de $\phi(x) = 1 - (1+x)\ln(1+x)$ : $\phi(0) = 0$, $\phi'(x) = -\ln(1+x)$, $\phi'(0) = 0$, $\phi''(x) = -\frac{1}{1+x} < 0$. Donc $\phi$ concave, d'où $\phi(x) < 0$ pour $x > 0$. 2.c) Image de l'intervalle par une fonction monotone. Partie 3 1.a) Calculer…