Appliquer le théorème d'encadrement (les gendarmes)

À tenir avant

• Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

7 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  1-a) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx$. b) Pour tout entier $n\geq1$, on pose $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq1}$ est convergente puis déterminer sa limite. 2- Montrer que…
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  1-a) $\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln2$. b) $(u_n)$ converge vers $\ln2$. 2) $\int_0^1\frac{1}{(1+x)^2}dx=\frac12<1$. 3) Encadrements établis par étude de fonctions auxiliaires. 4-5) $w_n-u_n\to0$, donc $(w_n)$ converge et $\lim w_n=\lim u_n=\ln2$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Primitive de $\frac{1}{1+x}$ est $\ln(1+x)$, donc $\int_0^1=\ln2-\ln1=\ln2$. b) Reconnaître $u_n$ comme somme de Riemann de $f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$ avec pas $1/n$ : $u_n=\frac1n\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+k/n}\to\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2$. 2) Calculer directement l'intégrale $=\left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^1=1-\frac12=\frac12<1$. 3-a) Étudier $g(x)=ex-e^x+1$ et $h(x)=e^x-1$ sur $[0,1]$, montrer positivité par étude de dérivée et valeurs aux bornes. b) Intégrer ou combiner les inégalités précédentes pour obtenir l'encadrement de $e^x-1-x$. 4-a) Écrire $w_n-u_n=\sum \frac{1}{n+k}(e^{k/(n+k)}-1)$ et utiliser l'encadrement de 3-b) avec $x=k/(n+k)$ pour majorer chaque terme. b) Dériver $\frac{x}{(1+x)^3}$, montrer que la dérivée est négative sur $[0,1]$ donc fonction strictement décroissante. c) Utiliser la décroissance pour encadrer chaque terme de la somme par une intégrale sur l'intervalle $[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$ (méthode des rectangles), sommer sur $k$. 5-a) Sommer les majorations intégrales pour obtenir $0\le w_n-u_n\le \frac{C}{n}$ (constante liée à $e$ et à l'intégrale calculée en 2). b) Comme $w_n-u_n\to0$ (par théorème des gendarmes) et $u_n\to\ln2$, on…
• NATIONAL 2023 · normale2 pts
  On considère la fonction $x\mapsto e^x$ et $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, on note $M_k$ le point de $(\Gamma)$ de coordonnées $\left(\dfrac{k}{n}, e^{k/n}\right)$. 1)…
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  1a) Existence de $c_k$ garantie par le TAF appliqué à $x\mapsto e^x$ sur $[k/n,(k+1)/n]$. b) $M_kM_{k+1}=\sqrt{(1/n)^2+(e^{(k+1)/n}-e^{k/n})^2}=\frac1n\sqrt{1+e^{2c_k}}$. c) Encadrement immédiat car $k/n<c_k<(k+1)/n$ et $t\mapsto e^{2t}$ croissante. 2) $\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$ (les deux sommes encadrantes sont des sommes de Riemann de $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ sur $[0,1]$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer le théorème des accroissements finis à $t\mapsto e^t$, dérivable, sur l'intervalle $[k/n,(k+1)/n]$. b) Calculer la distance euclidienne entre $M_k=(k/n,e^{k/n})$ et $M_{k+1}=((k+1)/n,e^{(k+1)/n})$ en utilisant le résultat du a). c) Comme $k/n < c_k < (k+1)/n$ et la fonction exponentielle est croissante, $e^{2k/n}\le e^{2c_k}\le e^{2(k+1)/n}$, d'où l'encadrement en prenant la racine carrée croissante. 2a) Sommer l'encadrement de 1c) pour $k=0$ à $n-1$ (décaler l'indice à droite donne la somme de $k=1$ à $n$). b) Reconnaître les deux membres comme sommes de Riemann associées à la subdivision régulière de $[0,1]$ de la fonction continue $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ ; elles convergent toutes deux vers $\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}dx$, donc par encadrement (théorème des gendarmes) $S_n$ converge vers la même limite.
• NATIONAL 2023 · normale2 pts
  On considère la fonction numérique $x\mapsto e^x$ et soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et pour tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, on note $M_k$ le point de la courbe $(\Gamma)$ de coordonnées…
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  $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $t\mapsto e^t$ sur $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]$ : il existe $c_k$ dans l'intervalle ouvert tel que $e^{(k+1)/n}-e^{k/n}=\frac1n e'(c_k)=\frac1n e^{c_k}$. 1b) $M_kM_{k+1}=\sqrt{\left(\frac1n\right)^2+\left(e^{(k+1)/n}-e^{k/n}\right)^2}=\sqrt{\frac1{n^2}+\frac1{n^2}e^{2c_k}}=\frac1n\sqrt{1+e^{2c_k}}$. 1c) Comme $\frac{k}{n}<c_k<\frac{k+1}{n}$ et $t\mapsto\sqrt{1+e^{2t}}$ est strictement croissante, on encadre $\sqrt{1+e^{2c_k}}$ entre les valeurs prises aux bornes. 2a) Sommer l'encadrement de 1c pour $k=0$ à $n-1$ (décalage d'indice pour la borne supérieure). 2b) Les deux sommes encadrantes sont des sommes de Riemann de la fonction continue $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ sur $[0,1]$, qui tendent toutes deux vers $\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}dx$ ; par encadrement (théorème des gendarmes), $S_n$ tend vers la même limite.
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = \frac{3}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Calculer $u_1$.
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n > 0$. 3)a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$,…
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  1. $u_1 = \frac{3}{4}$
  2. La propriété est $P(n): u_n > 0$.
     • Initialisation: $u_0 = \frac{3}{2} > 0$, donc $P(0)$ est vraie.
     • Hérédité: Supposons $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $u_n > 0$. Alors $2u_n > 0$ et $2u_n + 5 > 0$. Donc $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5} > 0$. Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
     • Conclusion: Par récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3)a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. On a $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$. On veut montrer $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Cela équivaut à $\frac{2u_n}{2u_n + 5} \leq \frac{2}{5}u_n$. Puisque $u_n > 0$, on peut diviser par $2u_n$: $\frac{1}{2u_n + 5} \leq \frac{1}{5}$. Ceci est équivalent à $2u_n + 5 \geq 5$, ce qui signifie $2u_n \geq 0$, ou $u_n \geq 0$. Cette dernière inégalité est vraie d'après la question 2). Donc $0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Par récurrence, on peut déduire $u_n \leq \left(\frac{2}{5}\right)^n u_0 = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n$. Puisque $u_n > 0$, on a $0 < u_n \leq \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n$. b) Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$. Par le théorème des gendarmes,…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $u_1$ by substituting $n=0$ into the recurrence relation.
  2. Prove $u_n > 0$ by mathematical induction. 3.a. Prove the inequality $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$ by algebraic manipulation, then use it to deduce the upper bound for $u_n$. 3.b. Use the squeeze theorem (théorème des gendarmes) to find the limit of $u_n$. 4.a. Calculate $v_{n+1}$ in terms of $u_n$ and show that $v_{n+1} = q v_n$ for a constant $q$. 4.b. Find $v_0$ and express $v_n$ in terms of $n$, then rearrange the definition of $v_n$ to express $u_n$ in terms of $v_n$ and substitute $v_n$.
• NATIONAL 2020 · rattrapage4 pts
  Troisième partie : Pour tout entier naturel $n \geq 2$, on pose : $I_n = \int_0^1 f_n(x) \, dx$ où $f_n(x) = x^n\ln(2-x)$. 1- Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle est convergente. 2- En utilisant une intégration par parties, montrer…
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  1- Pour $x \in [0,1]$, on a $0 \leq x^n \leq x^{n-1}$ (puisque $x \leq 1$), et $\ln(2-x) > 0$. Donc $f_n(x) = x^n\ln(2-x) \leq x^{n-1}\ln(2-x) = f_{n-1}(x)$ pour tout $x \in [0,1]$. Par intégration : $I_n \leq I_{n-1}$, la suite est décroissante. Comme $I_n \geq 0$ (car $f_n \geq 0$), la suite est minorée par $0$. Par le théorème de convergence monotone, $(I_n)$ converge. 2- Intégration par parties avec $u = \ln(2-x)$, $dv = x^n dx$ : $du = \frac{-1}{2-x} dx, \quad v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ $I_n = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(2-x)\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{-1}{2-x} \, dx$ Le terme de bord : $\frac{1}{n+1}\ln 1 - \frac{0}{n+1}\ln 2 = 0$. $I_n = \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{(n+1)(2-x)} \, dx = \frac{1}{n+1}\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx$ Donc : $I_n = \frac{1}{n+1} - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx$ (après réarrangement). Correction : $I_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1}\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx$. 3- Pour $x \in [0,1]$, on a $\frac{x^{n+1}}{2-x} \geq 0$ (numérateur et dénominateur positifs). Donc $\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx \geq 0$. De la formule en 2 :…

  ce que le barème veut ·

  1. Décroissance : Comparer $f_n$ et $f_{n-1}$ terme à terme sur $[0,1]$. Intégrer la comparaison.
  2. Convergence : Monotone borné (décroissante et minorée par $0$).
  3. Intégration par parties : Poser $u = \ln(2-x)$ (qui se dérive), $dv = x^n dx$ (qui s'intègre). Appliquer la formule : $\int u \, dv = [uv] - \int v \, du$.
  4. Encadrement : Sur $[0,1]$, utiliser les bornes sur les facteurs $(x^{n+1}$, $2-x)$ pour majorer l'intégrale restante.
  5. Limite : Appliquer le théorème des gendarmes ou utiliser directement l'encadrement $0 \leq I_n \leq \frac{C}{n+1}$.
• NATIONAL 2020 · normale3 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = \frac{3}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ 0.25

  1. Calculer $u_1$ 0.5
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n > 0$ 1 3)a) Montrer que pour tout $n$ de…
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  1. $u_1 = \frac{2(3/2)}{2(3/2)+5} = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$
  2. Par récurrence:
     • Initialisation: Pour $n=0$, $u_0 = 3/2 > 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.
     • Hérédité: Supposons que $u_n > 0$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$. Alors $2u_n > 0$ et $2u_n + 5 > 5 > 0$. Donc $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5} > 0$. Par le principe de récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3)a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$. Puisque $u_n > 0$, $2u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 0$. $u_{n+1} - \frac{2}{5}u_n = \frac{2u_n}{2u_n + 5} - \frac{2}{5}u_n = \frac{10u_n - 2u_n(2u_n+5)}{5(2u_n+5)} = \frac{10u_n - 4u_n^2 - 10u_n}{5(2u_n+5)} = \frac{-4u_n^2}{5(2u_n+5)}$. Puisque $u_n > 0$, $-4u_n^2 < 0$ et $5(2u_n+5) > 0$. Donc $u_{n+1} - \frac{2}{5}u_n < 0$, ce qui implique $u_{n+1} < \frac{2}{5}u_n$. Ainsi, $0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Par récurrence, $u_n \leq (\frac{2}{5})^n u_0 = (\frac{2}{5})^n \frac{3}{2}$. Donc $0 < u_n \leq \frac{3}{2}(\frac{2}{5})^n$. b) Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$, $\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{5})^n = 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. 4)a)…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $u_1$ by substituting $n=0$ into the recurrence relation.
  2. Prove $u_n > 0$ by mathematical induction. 3.a. Show $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$ by comparing $u_{n+1}$ with $\frac{2}{5}u_n$. Then use induction or direct iteration to deduce the upper bound for $u_n$. 3.b. Use the squeeze theorem (théorème des gendarmes) to find the limit of $u_n$. 4.a. Calculate $v_{n+1}$ in terms of $u_n$ and then substitute $v_n$ to show it's a geometric sequence. 4.b. Find $v_0$ and write $v_n$ in terms of $n$. Then rearrange the definition of $v_n$ to express $u_n$ in terms of $v_n$, and substitute $v_n$ with its expression in terms of $n$.
• NATIONAL 2015 · rattrapage4 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $g(x) = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t}{t} dt$ 1- Montrer que la fonction $g$ est paire. 2- Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ puis calculer $g'(x)$ pour $x > 0$. 3-a) En utilisant une…
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  1- La fonction $g$ est paire. 2- La fonction $g$ est dérivable sur $]0, +\infty[$. Pour $x > 0$, $g'(x) = \frac{\cos(3x)}{x} - \frac{\cos(2x)}{x}$. 3-a) L'égalité est vérifiée. 3-b) Pour $x > 0$, $|g(x)| \le \frac{2}{x}$. En déduire $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$. 4-a) Pour $x > 0$, $0 \le \int_{2x}^{3x} \frac{1 - \cos t}{t} dt \le 2x$. 4-b) L'égalité $g(x) - \ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t - 1}{t} dt$ est vérifiée. 4-c) $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \ln 3$.

  ce que le barème veut ·

  1- Calculer $g(-x)$ et montrer que $g(-x) = g(x)$. 2- Utiliser le théorème fondamental du calcul intégral pour dériver $g(x)$. 3-a) Appliquer l'intégration par parties à $\int \frac{\cos t}{t} dt$ avec $u = \frac{1}{t}$ et $dv = \cos t dt$. 3-b) Utiliser l'inégalité $|\cos t| \le 1$ pour majorer l'intégrale, puis le théorème des gendarmes. 4-a) Utiliser l'inégalité $1 - \cos t \le t$ et les bornes d'intégration. 4-b) Réécrire $g(x) - \ln 3$ en utilisant $\ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{1}{t} dt$. 4-c) Utiliser le résultat de 4-b) et le théorème des gendarmes avec l'inégalité de 4-a).