Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

1 question d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2021 · normale2 pts
  Exercice 1: (2 points) 0.5 1) a) Résoudre dans R l'équation : $e^{2x}-4e^{x}+3=0$ 0.5 b) Résoudre dans R l'inéquation : $e^{2x}-4e^{x}+3\le0$ 0.5 c) Calculer $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{2x}-1}$ 0.5 2) Montrer que l'équation $e^{2x}+e^{x}+4x=0$ admet…
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  1. a) Posons $X=e^x$. L'équation devient $X^2-4X+3=0$. Les solutions sont $X=1$ ou $X=3$. Donc $e^x=1$ (d'où $x=0$) ou $e^x=3$ (d'où $x=\ln 3$). L'ensemble des solutions est $S=\{0, \ln 3\}$. b) L'inéquation $e^{2x}-4e^{x}+3\le0$ est équivalente à $X^2-4X+3\le0$, où $X=e^x$. Le trinôme est négatif ou nul entre ses racines, donc $1\le X\le3$. Ainsi $1\le e^x\le3$, ce qui implique $\ln 1\le x\le\ln 3$, soit $0\le x\le\ln 3$. L'ensemble des solutions est $S=[0, \ln 3]$. c) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{2x}-1} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(e^x-1)(e^x-3)}{(e^x-1)(e^x+1)} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-3}{e^x+1} = \frac{e^0-3}{e^0+1} = \frac{1-3}{1+1} = \frac{-2}{2} = -1$.
  2. Soit $f(x)=e^{2x}+e^{x}+4x$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (somme de fonctions continues). On calcule $f(-1)$ et $f(0)$. $f(-1) = e^{-2}+e^{-1}+4(-1) = e^{-2}+e^{-1}-4 \approx 0.135+0.368-4 = -3.497 < 0$. $f(0) = e^{0}+e^{0}+4(0) = 1+1+0 = 2 > 0$. Puisque $f(-1) < 0$ et $f(0) > 0$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution $c \in ]-1,0[$ telle que $f(c)=0$.

  ce que le barème veut ·

  1. Pour a) et b), utiliser un changement de variable $X=e^x$ pour résoudre l'équation et l'inéquation quadratiques.
  2. Pour c), factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier l'expression et lever l'indétermination.
  3. Pour 2), définir une fonction $f(x)$, vérifier sa continuité sur l'intervalle donné, et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en calculant les valeurs aux bornes de l'intervalle.
• TYPE BAC3 pts
  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$. 1) Simplifier $f(x)$. 2) Calculer $\lim_{x\to 1}f(x)$. 3) Peut-on prolonger $f$ par continuité en $x=1$ ?
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  1. On factorise : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Donc, pour $x\ne 1$, $f(x)=x-2$.
  2. Alors $\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x-2)=-1$.
  3. Oui. Il suffit de définir $f(1)=-1$. Ainsi la fonction prolongée est continue en $1$.

  ce que le barème veut · identifier la forme indéterminée puis simplifier, calculer la limite, conclure sur le prolongement
• TYPE BAC4 pts
  Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x-1}{\ln x}$ pour $x\ne 1$. 1) Calculer $\lim_{x\to 1}f(x)$. 2) En déduire comment prolonger $f$ en une fonction continue sur $]0,+\infty[$.
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  1. On a une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ en $x=1$. Comme $\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$, on en déduit $\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\ln x}=1$.
  2. Il suffit de définir $f(1)=1$. Alors la fonction prolongée est continue sur $]0,+\infty[$.

  ce que le barème veut · lever la forme indéterminée en utilisant la limite remarquable puis définir la valeur au point
• TYPE BAC2 pts
  Calculer la limite suivante en levant la forme indéterminée : $\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$.
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  On a $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Pour $x\neq 2$, $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$. Donc $\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4$.

  ce que le barème veut · Factoriser le numérateur puis simplifier.
• TYPE BAC3 pts
  Calculer la limite suivante : $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$.
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  On a une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. Rationalisons : $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\times \dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ pour $x\neq 0$. Donc $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}$.

  ce que le barème veut · Reconnaître la forme indéterminée puis utiliser le conjugué.
• TYPE BAC2 pts
  Calculer la limite $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$.
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  Pour $x\ne 2$, on a $x^2-4=(x-2)(x+2)$, donc $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$. Ainsi, $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$.

  ce que le barème veut ·

  • Reconnaître la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$.
  • Factoriser $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
  • Simplifier puis remplacer $x$ par $2$.
• TYPE BAC2 pts
  Calculer la limite $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$.
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  On a une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On rationalise : $\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$ pour $x\ne 0$. Donc $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{2}$.

  ce que le barème veut ·

  • Reconnaître la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$.
  • Multiplier par l'expression conjuguée.
  • Simplifier.
  • Passer à la limite.
• TYPE BAC2 pts
  Calculer la limite $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$.
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  On a une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. Rationalisons : $\dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{x}=\dfrac{(\sqrt{1+2x}-1)(\sqrt{1+2x}+1)}{x(\sqrt{1+2x}+1)}=\dfrac{2x}{x(\sqrt{1+2x}+1)}=\dfrac{2}{\sqrt{1+2x}+1}$ pour $x\ne 0$. Donc $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{x}=\dfrac{2}{1+1}=1$.

  ce que le barème veut · - Identifier la forme indéterminée. - Utiliser l'expression conjuguée. - Simplifier soigneusement. - Calculer la limite finale.