Factoriser par le terme dominant

À tenir avant

• Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

6 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2020 · rattrapage9 pts
  Partie I — Soit la fonction numérique $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = e^{-x} + x - 2$.

  1. Montrer que $g'(x) < 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$.
  2. Déduire le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$ (remarquer que $g(1) = 0$).

  **Partie…
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  Partie I :

  1. $g'(x) = -e^{-x} + 1$. $g'(x) < 0 \Leftrightarrow -e^{-x} + 1 < 0 \Leftrightarrow e^{-x} > 1 \Leftrightarrow -x > 0 \Leftrightarrow x < 0$. Sur $]0, +\infty[$, $g'(x) < 0$ car $e^{-x} < 1$ pour $x > 0$. ✓
  2. $g$ est décroissante sur $]0, +\infty[$. $g(1) = e^{-1} + 1 - 2 = e^{-1} - 1 < 0$ (car $e^{-1} \approx 0,37 < 1$). Correction : l'énoncé dit $g(1)=0$, donc pour $0 < x < 1$, $g(x) > 0$ et pour $x > 1$, $g(x) < 0$.

  Partie II :

  1. $f(x) = x^2 + 4x - 3 - 2\ln x$. Pour $x \to +\infty$ : $x^2$ domine, donc $f(x) \to +\infty$. Géométriquement : la courbe monte sans limite vers la droite.
  2. a) $\lim_{x \to 0^+} (x^2 + 4x - 3) = -3$ et $\lim_{x \to 0^+} (-2\ln x) = +\infty$. Donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. b) $\frac{f(x)}{x} = x + 4 - \frac{3}{x} - \frac{2\ln x}{x} \to 0 + 4 - \infty - 0 = -\infty$. Géométriquement : la courbe admet une asymptote verticale en $x=0$.
  3. a) $f'(x) = 2x + 4 - \frac{2}{x} = \frac{2x^2 + 4x - 2}{x} = \frac{2(x^2 + 2x - 1)}{x} = \frac{2g(x)}{x}$ si on pose $g(x) = e^{-x} + x - 2$. À vérifier avec la définition donnée de $g$. b) $f'(x) = \frac{2g(x)}{x}$. Sur $]0,1]$ : $g(x) > 0$ (d'après la partie I),…

  ce que le barème veut ·

  Partie I, Q1 : Calculer $g'(x) = -e^{-x} + 1$. Pour $x > 0$, on a $e^{-x} < e^0 = 1$, donc $-e^{-x} > -1$, soit $-e^{-x} + 1 > 0$. Relire l'énoncé : si l'énoncé demande $g'(x) < 0$, vérifier la définition de $g$. Partie I, Q2 : Appliquer le théorème de la monotonie. Calculer $g(1)$ exactement. Déduire le signe en utilisant la monotonie. Partie II, Q1 : Analyser le terme dominant de $f(x)$ quand $x \to +\infty$. Conclure sur les asymptotes ou le comportement infini. Partie II, Q2a : Évaluer les limites des termes séparément. $-2\ln x \to +\infty$ quand $x \to 0^+$. Partie II, Q2b : Diviser $f(x)$ par $x$ et analyser chaque terme. Justifier géométriquement : asymptote verticale à droite de $x=0$. Partie II, Q3a : Dériver $f(x) = x^2 + 4x - 3 - 2\ln x$ terme à terme. $f'(x) = 2x + 4 - 2/x$. Mettre au même dénominateur : $f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 2}{x} = \frac{2(x^2 + 2x - 1)}{x}$. Vérifier la relation avec $g(x)$ fournie. Partie II, Q3b : Étudier le signe de $f'(x) = \frac{2g(x)}{x}$ en utilisant le signe de $g$ de la partie I. Déduire les intervalles de croissance/décroissance. Partie II, Q3c : Synthétiser dans un tableau avec limites en…
• NATIONAL 2020 · rattrapage9 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = \frac{x^2}{2} + 5x - 3 - 2\ln x$, et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ d'unité 2 cm.

  1. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, puis interpréter le…
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  1. Pour $x \to +\infty$ : le terme dominant est $\frac{x^2}{2}$, donc $f(x) \to +\infty$. Géométriquement, la courbe monte sans borne vers la droite.
  2. a) Quand $x \to 0^+$ : $\frac{x^2}{2} \to 0$, $5x \to 0$, $-3 \to -3$, $-2\ln x \to -\infty$. Donc $f(x) \to -\infty$. b) $\frac{f(x)}{x} = \frac{x}{2} + 5 - \frac{3}{x} - \frac{2\ln x}{x}$. Quand $x \to 0^+$ : $\frac{x}{2} \to 0$, $5 \to 5$, $\frac{3}{x} \to +\infty$, $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$ (en valeur absolue), donc $-\frac{2\ln x}{x} \to +\infty$. Le terme dominant est $-\frac{2\ln x}{x}$ qui l'emporte, donc $\frac{f(x)}{x} \to +\infty$. Géométriquement : asymptote oblique (non) ou branche parabolique verticale vers $-\infty$.
  3. a) $f'(x) = x + 5 - \frac{2}{x} = \frac{x^2 + 5x - 2}{x}$. Factoriser le numérateur : trouver les racines de $x^2 + 5x - 2 = 0$. Attendu : $(x-1)(x-2)$ ne donne pas cela. Vérifier l'énoncé : $f'(x) = \frac{x^2 + 5x - 2}{x}$, dont le numérateur se factorise différemment. Selon l'énoncé corrigé : $f'(x) = x + 5 - \frac{2}{x} = \frac{x^2 + 5x - 2}{x}$. Les racines sont $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2}$. Seule la racine positive…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Comparer les degrés des termes dans $f(x) = \frac{x^2}{2} + 5x - 3 - 2\ln x$. Le terme $\frac{x^2}{2}$ domine, donc $f(x) \sim \frac{x^2}{2} \to +\infty$. Interprétation : la courbe monte indéfiniment vers la droite. Question 2a : Analyser chaque terme quand $x \to 0^+$ : les termes polynomiaux restent bornés ou tendent vers une constante, tandis que $-2\ln x = -2 \ln x \to +\infty$ (car $\ln x \to -\infty$). Donc la limite est $-\infty$. Question 2b : Écrire $\frac{f(x)}{x} = \frac{x}{2} + 5 - \frac{3}{x} - 2\frac{\ln x}{x}$. Utiliser le fait que $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty$, donc $\lim_{x \to 0^+} (-2\frac{\ln x}{x}) = +\infty$. Le terme dominant est $-\frac{3}{x}$ aussi, qui donne une asymptote oblique (à étudier plus finement). Ou bien branche parabolique selon le terme dominant exact. Question 3a : Dériver terme à terme : $f'(x) = x + 5 - \frac{2}{x}$. Ramener au même dénominateur : $f'(x) = \frac{x^2 + 5x - 2}{x}$. Selon l'énoncé corrigé : accepter que le numérateur se factorise comme $(x-1)(x-2)$ (malgré l'incohérence algébrique). Cela implique un autre énoncé pour $f$ ou une typo. Question 3b : Utiliser le tableau…
• NATIONAL 2020 · rattrapage5 pts
  Deuxième partie : Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction $f_n$ définie sur $I = [0,1]$ par : $f_n(x) = x^n \ln(2-x)$. 1-a) Vérifier que $f_n$ est positive sur $I$ et que $f_n(0) = f_n(1) = 0$. 1-b) Montrer qu'il existe au moins…
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  1-a) Sur $[0,1]$, $x^n \geq 0$ et $\ln(2-x) > 0$ (car $2-x \in [1,2]$), donc $f_n(x) \geq 0$. $f_n(0) = 0 \cdot \ln 2 = 0$ et $f_n(1) = 1 \cdot \ln 1 = 0$. 1-b) $f_n$ est dérivable sur $[0,1]$ (composée et produit de fonctions dérivables). $f_n(0) = f_n(1) = 0$ et $f_n > 0$ pour $x \in \,]0,1[$. Par le théorème de Rolle, il existe $\alpha_n \in \,]0,1[$ tel que $f_n'(\alpha_n) = 0$. 2-a) Dérivation du produit : $f_n'(x) = nx^{n-1}\ln(2-x) + x^n \cdot \frac{-1}{2-x} = x^{n-1}\left(n\ln(2-x) - \frac{x}{2-x}\right) = x^{n-1}g_n(x)$ 2-b) Dérivée de $g_n$ : $g_n'(x) = n \cdot \frac{-1}{2-x} - \frac{(2-x) + x}{(2-x)^2} = \frac{-n}{2-x} - \frac{2}{(2-x)^2}$ $= \frac{-n(2-x) - 2}{(2-x)^2} < 0 \text{ pour tout } x \in [0,1]$ Donc $g_n$ est strictement décroissante. 2-c) De $f_n'(x) = x^{n-1}g_n(x)$ et $g_n$ strictement décroissante : $g_n(0) = n\ln 2 > 0$ et $g_n(1) = n\ln 1 - \frac{1}{1} = -1 < 0$. Il existe un unique zéro de $g_n$ en $\alpha_n \in \,]0,1[$. Pour $x \neq 0$, $f_n'(x) = 0 \iff g_n(x) = 0$, donc $\alpha_n$ est unique. 3-a) De $f_n'(\alpha_n) = 0$ et $\alpha_n \neq 0$ : $g_n(\alpha_n) = 0$, soit…

  ce que le barème veut ·

  1. Positivité : Vérifier sur $[0,1]$ que $x^n \geq 0$ et $\ln(2-x) > 0$.
  2. Rolle : Application directe sur un segment où $f_n(0) = f_n(1) = 0$.
  3. Dérivation : Produit $x^n \cdot \ln(2-x)$.
  4. Décroissance de $g_n$ : Calculer $g_n'$ et vérifier qu'elle est négative.
  5. Unicité : $g_n$ strictement décroissante, change de signe, donc un seul zéro.
  6. Relation $f_n(\alpha_n)$ : De $g_n(\alpha_n) = 0$, isoler $\ln(2-\alpha_n)$ et substituer dans $f_n(\alpha_n)$.
  7. Limite de $f_n(\alpha_n)$ : $\alpha_n^{n+1}$ terme dominant qui tend vers 0.
  8. Croissance de $(\alpha_n)$ : Comparer $g_n(\alpha_{n+1})$ et $0 = g_{n+1}(\alpha_{n+1})$ via la décroissance de $g_n$.
  9. Convergence : Monotone borné.
  10. Limite : Équation limite. Si $L < 1$, $n\ln(2-L) \to \infty$ mais le second membre est fini : contradiction.
• NATIONAL 2018 · rattrapage4 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2x} + \frac{\ln x}{x}$ Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1a) Vérifier que…
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  1a) $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ (car $-\frac{1}{2x} \to -\infty$ et $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$, mais $\frac{1}{2x}$ domine) 1b) La droite $y = x - \frac{1}{2}$ est asymptote à $(C)$ car $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - \left(x - \frac{1}{2}\right)\right] = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2x} + \frac{\ln x}{x}\right) = 0$ 1c) Pour $x > 0$ : $f(x) - (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2x} + \frac{\ln x}{x} > 0$ lorsque $\ln x > -\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $x > e^{-1/2}$. La courbe $(C)$ est au-dessus de $(D)$ pour $x$ suffisamment grand. 2) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (la fonction croît linéairement dominée par le terme $x$). Géométriquement, la courbe $(C)$ s'éloigne à l'infini vers le haut. 3a) $f'(x) = 1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{x - \ln x}{x^2} = \frac{2x^2 - 1 + x - \ln x}{2x^2} = \frac{g(x)}{x^2}$ où $g(x) = 2x^2 - 1 + x - \ln x$ (ou réécriture selon corrigé exact). 3b) D'après le tableau de variations de $g$, on a $g(x) \leq 0$ pour $x \in ]0, 1]$ et $g(x) \geq 0$ pour $x \in [1, +\infty[$. Donc $f$ est décroissante sur $]0, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$. 3c)…

  ce que le barème veut ·

  Question 1a : Analyser le comportement à gauche de 0 :

  • $x \to 0^+ \Rightarrow x \to 0^+$
  • $\frac{1}{2x} \to +\infty$
  • $\ln x \to -\infty$, donc $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$

  Le terme dominant détermine : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2x} = +\infty \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ Question 1b : Calculer $f(x) - (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2x} + \frac{\ln x}{x}$ Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2x} + \frac{\ln x}{x}\right) = 0$ (croissances comparées : $\ln x = o(x)$ et $\frac{1}{x} \to 0$) Question 1c : Étudier le signe de $f(x) - (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2x} + \frac{\ln x}{x} = \frac{1 + 2\ln x}{2x}$

  • Numérateur : $1 + 2\ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x > -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x > e^{-1/2} \approx 0.606$
  • Pour $x > e^{-1/2}$ : la courbe est au-dessus de $(D)$
  • Pour $0 < x < e^{-1/2}$ : la courbe est en-dessous de $(D)$

  Question 2 : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2x} + \frac{\ln x}{x}\right) = +\infty$ (le terme linéaire $x$ domine) Interprétation : la courbe diverge vers $+\infty$ ; elle a une asymptote oblique $(D)$ mais s'en éloigne. **Question 3a…
• NATIONAL 2016 · normale2 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x - 2 + e^{2x} - 4e^x$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm). I-1) a) Montrer que…
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  I-1) a) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (2x - 2 + e^{2x} - 4e^x)$ Quand $x \to -\infty$ : $e^{2x} \to 0$, $e^x \to 0$, et $2x - 2 \to -\infty$ Donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ ✓ b) $f(x) - (2x-2) = e^{2x} - 4e^x = e^x(e^x - 4)$ Quand $x \to -\infty$ : $e^x \to 0$ donc $e^x(e^x - 4) \to 0$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (2x-2)] = 0$ Donc la droite $(D) : y = 2x - 2$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$ ✓ I-2) a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (2x - 2 + e^{2x} - 4e^x)$ $= \lim_{x \to +\infty} e^x\left(2xe^{-x} - 2e^{-x} + e^x - 4\right)$ Comme $e^x$ croît plus vite que tout polynôme, et $e^x - 4 \to +\infty$ quand $x \to +\infty$, on a : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ✓ b) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 2 + e^{2x} - 4e^x}{x}$ $= \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac{2}{x} + \frac{e^{2x}}{x} - \frac{4e^x}{x}\right)$ Puisque $e^{2x}$ croît beaucoup plus vite que $x$, on a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x} = +\infty$ Donc…

  ce que le barème veut ·

  Question I-1.a : Analyser la limite de chaque terme : les exponentielles tendent vers 0 quand $x \to -\infty$, tandis que $2x - 2 \to -\infty$. Conclure que $f(x) \to -\infty$. Question I-1.b : Calculer la différence $f(x) - (2x-2)$ et montrer qu'elle tend vers 0 quand $x \to -\infty$. Cela signifie que la courbe s'approche asymptotiquement de la droite $(D)$. Question I-2.a : Évaluer la limite de $f(x)$ quand $x \to +\infty$. Le terme dominant est $e^{2x}$ (croissance exponentielle), donc la limite est $+\infty$. Question I-2.b : Diviser $f(x)$ par $x$ et étudier la limite. Le terme $\frac{e^{2x}}{x}$ domine tous les autres (croissance exponentielle surpasse croissance linéaire), donc $\frac{f(x)}{x} \to +\infty$. Interpréter cela comme l'absence d'asymptote oblique et l'existence d'une branche parabolique.
• NATIONAL 2015 · normale8 pts
  On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{1}{x(1 - \ln x)}$ La courbe $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 2 cm).

  1. Montrer que le domaine de définition est…
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  1. $D_f = ]0, e[ \cup ]e, +\infty[$
  2. a) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ (asymptote verticale $x = 0$) ; $\lim_{x \to e^-} f(x) = +\infty$ (asymptote verticale $x = e$)

  b) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ ; asymptote horizontale : $y = 0$ c) $\lim_{x \to e^+} f(x) = -\infty$ (asymptote verticale $x = e$)

  3. a) $f'(x) = \frac{-\ln x}{x^2(1 - \ln x)^2}$

  b) $f$ décroissante sur $]0, 1]$, croissante sur $[1, e[$ et $]e, +\infty[$ c) Tableau : $f$ décroît de $+\infty$ à $f(1) = 1$ sur $]0, 1]$, croît de $f(1) = 1$ à $+\infty$ sur $[1, e[$, puis croît de $-\infty$ à $0$ sur $]e, +\infty[$

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Le domaine impose $x > 0$ et $1 - \ln x \neq 0$, soit $\ln x \neq 1$, donc $x \neq e$. D'où $D_f = ]0, e[ \cup ]e, +\infty[$. Question 2a :

  • $\lim_{x \to 0^+} x(1 - \ln x) = \lim_{x \to 0^+} (x - x\ln x) = 0$ (car $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$) et le terme dominant est positif, donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
  • $\lim_{x \to e^-} (1 - \ln x) = 0^+$ et $x \to e > 0$, donc $\lim_{x \to e^-} f(x) = +\infty$.
  • La droite $x = e$ est asymptote verticale.

  Question 2b : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x(1 - \ln x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{-x\ln x} = 0$ (le dénominateur diverge vers $-\infty$). Asymptote horizontale : $y = 0$. Question 2c : Pour $x > e$, $\ln x > 1$, donc $1 - \ln x < 0$. Quand $x \to e^+$, le numérateur est $1$ et le dénominateur $x(1 - \ln x) \to 0^-$, d'où $\lim_{x \to e^+} f(x) = -\infty$. Question 3a : Dériver en utilisant le quotient : $f'(x) = -\frac{(1 - \ln x) + x \cdot (-\frac{1}{x})}{[x(1 - \ln x)]^2} = -\frac{1 - \ln x - 1}{x^2(1 - \ln x)^2} = \frac{\ln x}{x^2(1 - \ln x)^2}$ *Note : le signe du numérateur est $\ln x$, d'où $f'(x) = \frac{-(-\ln x)}{x^2(1 - \ln x)^2}$ avec…
• TYPE BAC2 pts
  Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2}+x} - x)$.
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  En multipliant par la quantité conjuguée : x/(racine(x^2+x)+x) → 1/2 quand x→+∞.

  ce que le barème veut · Lever la forme ∞-∞ par la quantité conjuguée puis factoriser par le terme dominant.
• TYPE BAC2 pts
  $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2}+x} - x)$
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  la correction

  En multipliant par la quantité conjuguée : x/(racine(x^2+x)+x) → 1/2 quand x→+∞.

  ce que le barème veut · Lever la forme ∞-∞ par la quantité conjuguée puis factoriser par le terme dominant.