Justifier qu'une fonction réalise une bijection

À tenir avant

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
• Étudier le signe de f′

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale2 pts
  Soit $F$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0,1]$ par : $F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt$.

  1. a) Montrer que $F$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$. b) En déduire que $F$ est une bijection de $[0,1]$ vers $[0,\beta]$ où $\beta=\int_0^1 e^{t^2}\,dt$. On…
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  $\lim_{n\to+\infty} S_n=\ell=\dfrac{e-1}{2}$

  ce que le barème veut ·

  1a) $F$ est une primitive de $t\mapsto e^{t^2}$ continue et strictement positive sur $[0,1]$, donc $F$ est dérivable, continue, et strictement croissante ($F'(x)=e^{x^2}>0$). 1b) Théorème de la bijection : $F$ continue strictement croissante réalise une bijection de $[0,1]$ sur $[F(0),F(1)]=[0,\beta]$. 2a) $S_n$ est une somme de Riemann pour la fonction $F^{-1}$ sur $[0,\beta]$, donc $S_n\to \int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt=\ell$. 2b) Changement de variable $u=F^{-1}(t)$ donc $t=F(u)=\int_0^u e^{s^2}ds$, $dt=e^{u^2}du$; quand $t=0,u=0$; quand $t=\beta,u=1$. Donc $\ell=\int_0^1 u\,e^{u^2}\,du$. 2c) Primitive directe : $\int u e^{u^2}du=\frac12 e^{u^2}$, donc $\ell=\frac12(e^1-e^0)=\frac{e-1}{2}$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage7 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.

  1. a) Calculer $f(0)$ et vérifier que $f(x)<0$, pour tout $x\in\mathbb{R}$. b) Déterminer…
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  1. a) $f(0)=1-2\ln2<0$ ; $f(x)<0$ pour tout $x$ (résultat de la partie I 1)c)). b) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ ; asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$. c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ ; branche infinie (pas d'asymptote horizontale).
  2. a),b) formules de $f'$ vérifiées par calcul. c) $f'(x)<0$ pour tout $x$ (d'après I 1)c)), donc $f$ strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
  3. a) $(T): y=f'(0)x+f(0)$ avec $f'(0)=-\ln2$, $f(0)=1-2\ln2$, donc $(T): y=-\ln2\, x+1-2\ln2$. b) On vérifie que le point donné appartient à $(T)$ par substitution. c) Construction graphique.
  4. a) $f$ continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ donc bijective de $\mathbb{R}$ sur $J=f(\mathbb{R})=(-\infty,0)$ (car $\lim_{-\infty}f=0$, $\lim_{+\infty}f=-\infty$, en fait $J=]-\infty,0[$). b) $(f^{-1})'(\ln 2)$... (note: $\ln 2>0$ n'est pas dans $J$, il s'agit probablement d'une valeur $f(0)$ ; selon corrigé) $(f^{-1})'(f(0))=\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac{1}{-\ln2}=-\dfrac{1}{\ln2}$.
  5. a) Identité vérifiée directement. b) $\int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x}dx = \lambda-\ln(1+e^\lambda)+\ln2$. c) $\int_0^\lambda f(x)dx = \ln2 - \int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x}dx$. d)…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculer directement $f(0)=e^0-(1+e^0)\ln(1+e^0)=1-2\ln2\approx1-1{,}39<0$. La négativité générale de $f$ découle de l'inégalité de la partie I 1)c).

  b) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$ donc $f(x)\to0-(1)\ln(1)=0$ : asymptote $y=0$. c) Quand $x\to+\infty$, $e^x\to+\infty$, le terme $-(1+e^x)\ln(1+e^x)$ domine et tend vers $-\infty$.

  2. a) Dériver $f(x)=e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)$ : $f'(x)=e^x-\left[e^x\ln(1+e^x)+(1+e^x)\cdot\frac{e^x}{1+e^x}\right]=e^x-e^x\ln(1+e^x)-e^x=-e^x\ln(1+e^x)$... en factorisant avec le dénominateur commun on obtient la forme demandée $f'(x)=-\dfrac{e^x}{1+e^x}\ln(1+e^x)\cdot(1+e^x)$ ajusté ; suivre calcul du corrigé pour aboutir à la forme donnée.

  b) Mettre $f'(x)$ au même dénominateur $e^x(1+e^x)$ pour faire apparaître $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)$ au numérateur, qui est $f(x)$. c) Le numérateur de $f'(x)$ est $f(x)$ qui est $<0$ (par I 1c), et le dénominateur $e^x(1+e^x)>0$, donc $f'(x)<0$ : $f$ strictement décroissante.

  3. a) $(T): y=f'(0)(x-0)+f(0)$, calculer $f'(0)$ et $f(0)$. b) Substituer l'abscisse du point donné dans l'équation de $(T)$ et vérifier l'égalité. c) Tracer les deux courbes avec les asymptotes et la tangente.
  4. a) $f$ continue et…
• NATIONAL 2024 · rattrapage11 pts
  Partie I. La figure représente les courbes $(C_g)$ et $(C_1)$ de la fonction $g:x\mapsto \dfrac{x}{1+x}+\ln(1+x)$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ et la droite d'équation $y=x$, dans un même repère orthonormé.

  1. a) À partir de la figure, justifier que :…
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  Partie I : 1a) inégalité admise graphiquement. b) découle directement en multipliant par $(1+x)>0$. c) en posant $x=e^t-1$ ou en substituant $X=e^x$ dans 1b), on obtient $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. 2a) $0<u_n\le1$ pour tout $n$ (récurrence). b) $(u_n)$ décroissante. c) $(u_n)$ décroissante et minorée par $0$ donc convergente. d) $\lim u_n=0$. Partie II : 1a) $f(0)=1-2\ln2<0$ ; $f(x)<0$ pour tout $x$. b) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=1$ (asymptote horizontale $y=1$ en $-\infty$). c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ (asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$). 2a),b) formules de $f'(x)$ vérifiées par calcul. c) $f'(x)<0$ grâce à 1)c) de la Partie I, donc $f$ strictement décroissante. 3a) $(T): y=f'(0)x+f(0)=-\ln2\cdot x+(1-2\ln2)$. b) vérifie que $x=\ln2$ donne $y=0$. 4a) $f$ continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ donc bijective de $\mathbb{R}$ vers $J=]0,1[$. b) $(f^{-1})'(\ln2)=\dfrac{1}{f'(0)}=-\dfrac{1}{\ln2}$. 5a) identité immédiate. b) calcul direct de la primitive. c) obtenu par intégration par parties. d) $A_\lambda = -\int_0^\lambda f(x)dx$ (en unités d'aire), soit…

  ce que le barème veut ·

  Partie I

  1. a) Lire graphiquement la position relative des courbes $(C_g)$, $(C_1)$ et la droite $y=x$. b) Multiplier l'inégalité $\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ par $(1+x)>0$ : $x\le(1+x)\ln(1+x)$. c) Poser $X=e^x>0$ donc $X-1=e^x-1>-1$ ; appliquer 1b) à $x=e^x-1$ : $(1+e^x-1)\ln(1+e^x-1)\ge e^x-1$ i.e. $e^x\ln(e^x)$... en fait on applique directement l'inégalité $(1+x)\ln(1+x)\ge x$ à $x=e^x$ (car $e^x>0>-1$), donnant $(1+e^x)\ln(1+e^x)\ge e^x$, soit $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$.
  2. a) Récurrence : $u_0=1\in]0,1]$ ; si $0<u_n\le1$ alors $g$ croissante sur cet intervalle (ou étude directe) donne $0<u_{n+1}\le1$. b) Utiliser 1a) avec $x=u_n$ : $g(u_n)\le u_n$ donc $u_{n+1}\le u_n$. c) Suite décroissante minorée par 0 donc convergente. d) La limite $\ell$ vérifie $g(\ell)=\ell$ ; résoudre $\frac{\ell}{1+\ell}+\ln(1+\ell)=\ell$ dans $]0,1]$, on trouve $\ell=0$.

  Partie II

  1. a) Calculer $f(0)=1-2\ln2$ (négatif car $\ln2\approx0,69$) ; utiliser 1c) de la Partie I pour établir $f(x)<0$ partout. b) Poser $X=e^x\to0^+$ quand $x\to-\infty$, calculer la limite ; interprétation : $y=1$ asymptote horizontale en $-\infty$. c) Poser $X=e^x\to+\infty$, utiliser un développement/limite…
• NATIONAL 2024 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)$.

  1. a) Vérifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. b) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=1-\ln(1-xe^{-x})$. c) En déduire que $\lim_{x\to+\infty} f(x)=1$, puis interpréter géométriquement ce…
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  1. a) $e^x-x>0$ toujours (exercice précédent), donc $f$ définie sur $\mathbb R$. c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ : asymptote horizontale $y=1$ en $+\infty$.
  2. a) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. c) $\lim_{x\to-\infty} f(x)/x = 1$ : branche parabolique de direction $y=x$ en $-\infty$.
  3. c) équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $]-1,0[$.
  4. a) deux solutions $\alpha,\beta$. b) identité démontrée.
  5. a) $g$ bijective de $]-\infty,1]$ vers $J=[1,+\infty[$ (ou similaire selon variations). b) $(g^{-1})'(1)$ calculé via $f'$ en le point correspondant.

  ce que le barème veut ·

  1. a) $e^x-x>0$ pour tout $x$ (établi en partie I), donc $\ln(e^x-x)$ défini partout : $f$ définie sur $\mathbb R$. b) $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)=x+1-\ln\left(e^x(1-xe^{-x})\right)=x+1-x-\ln(1-xe^{-x})=1-\ln(1-xe^{-x})$. c) Quand $x\to+\infty$, $xe^{-x}\to0$ donc $\ln(1-xe^{-x})\to0$, donc $f(x)\to1$ : la droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(C_f)$ en $+\infty$.
  2. a) Quand $x\to-\infty$, $e^x-x\to+\infty$ (dominé par $-x$), donc $\ln(e^x-x)\to+\infty$ mais plus lentement que $x+1$ qui tend vers $-\infty$... en fait on utilise b) pour trancher : $f(x)=x+1-\ln(-x)-\ln(1-e^x/x)$; quand $x\to-\infty$, $\ln(-x)\to+\infty$ mais $x+1\to-\infty$ domine, donc $f(x)\to+\infty$ (comme indiqué par le corrigé). b) Pour $x<0$: $e^x-x=-x\left(1-\dfrac{e^x}{x}\right)$, donc $\ln(e^x-x)=\ln(-x)+\ln\left(1-\dfrac{e^x}{x}\right)$, d'où le résultat. c) $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac1x-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln\left(1-\dfrac{e^x}{x}\right)$; quand $x\to-\infty$, $\ln(-x)/x\to0$ et le dernier terme $\to0$, donc $f(x)/x\to1$ : branche parabolique de direction $y=x$.
  3. a) On dérive $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)$ : $f'(x)=1-\dfrac{e^x-1}{e^x-x}=\dfrac{e^x-x-e^x+1}{e^x-x}=\dfrac{1-x}{e^x-x}$ (expression…
• NATIONAL 2022 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(e^x-1)$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$ et…
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  1. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
  2. $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$.
  3. a) $(\Delta): y=-x$ est asymptote en $-\infty$. b) $f(x)+x\geq0$, donc $(C)$ est au-dessus de $(\Delta)$.
  4. a) $f'(x)=(e^x-1)(1+xe^x)$. b) $f'(x)\geq0$ sur $\mathbb{R}$ ($f$ croissante).
  5. a) $f''(x)=e^x[(x+2)e^x-x+2]$. b) signe de $g$ lu sur le graphe : positif après $\alpha$, négatif avant sauf en $0$. c) $(C)$ concave sur $]-\infty,\alpha[$ et convexe ailleurs (ou inverse selon signe de $g$); points d'inflexion en $x=0$ et $x=\alpha$.
  6. Tracé de la courbe avec asymptote $y=-x$, branche parabolique, points d'inflexion.
  7. a) $f$ continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, admettant une réciproque $f^{-1}$. b) $(f^{-1})'(\ln4)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{(e-1)(1+e)}=\dfrac{1}{e^2-1}$.
  8. a),b),c) prouvées par récurrence/monotonie. d) $\lim u_n = 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. Étudier les limites de $x(e^x-1)$ aux bornes en factorisant les comportements de $e^x$.
  2. $\frac{f(x)}{x}=e^x-1\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$.
  3. a) En $-\infty$, $e^x\to0$ donc $f(x)=x e^x - x \to -(-x)$ ... calculer $f(x)-(-x)=x e^x \to 0^-$ car $xe^x\to0$, donc $(\Delta):y=-x$ est asymptote. b) Étudier le signe de $xe^x$ (toujours signe de $x$ car $e^x>0$) donc $f(x)-(-x)=xe^x$ a le signe de $x$; en déduire la position (au-dessus pour $x>0$, en dessous pour $x<0$, ou l'inverse selon le corrigé).
  4. a) Dériver $f(x)=x(e^x-1)$ : $f'(x)=(e^x-1)+xe^x = (e^x-1)+xe^x(e^x-1)/(e^x-1)$... en factorisant, on obtient $f'(x)=(e^x-1)(1+xe^x)$ ou la forme donnée dans l'énoncé $f'(x)=(e^x-1)+xe^x(e^x-1)$. b) Étudier le signe de $x(e^x-1)$ : toujours positif (produit de deux termes de même signe), donc $f'(x)\geq0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. c) Tableau : $f$ strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$.
  5. a) Dériver $f'(x)$ pour obtenir $f''(x)$, factoriser par $e^x$. b) Lire sur le graphique fourni de $g$ le signe (positif après un certain $\alpha$ négatif avant, nul en $\alpha$ et en $0$). c) En déduire la concavité (signe de…
• NATIONAL 2021 · rattrapage5 pts
  On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-\infty, 1]$ par : $f(x) = \ln(1-x)$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Partie I

  1. a) Montrer que la fonction $f$ est continue sur $I$.

  b) Montrer que la…
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  1. a) $f$ est continue sur $I$ car elle est composée de fonctions continues : $x \mapsto 1-x$ continue sur $I$ et $\ln$ continue sur $]0, +\infty[$. b) $f'(x) = -\frac{1}{1-x} < 0$ pour tout $x \in I$, donc $f$ est strictement décroissante sur $I$. c)

  • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
  • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$
  • $f(0) = \ln(1) = 0$

  d) La droite $x = 1$ est asymptote verticale à $(C)$. L'axe des abscisses est direction asymptotique pour $(C)$. e) Tableau : $f$ est strictement décroissante de $+\infty$ à $-\infty$ sur $I = ]-\infty, 1]$. 2. a) $f''(x) = -\frac{1}{(1-x)^2} < 0$ pour tout $x \in I$, donc $(C)$ est concave. 3. a) $f$ est continue et strictement décroissante sur $I$, donc bijection de $I$ vers $f(I) = \mathbb{R}$ (d'après théorème de bijection). b) Si $y = \ln(1-x)$, alors $1-x = e^y$, soit $x = 1 - e^y$. Donc : $f^{-1}(x) = 1 - e^x$ c) $f^{-1}(-1) = 1 - e^{-1}$ ✓

  ce que le barème veut ·

  Continuité : Vérifier que $f$ est composée de fonctions continues sur $I$. Monotonie : Calculer $f'(x) = \frac{-1}{1-x}$ et montrer qu'elle est négative sur $I$. Limites :

  • En $-\infty$ : comme $1-x \to +\infty$, $\ln(1-x) \to +\infty$
  • En $1^-$ : comme $1-x \to 0^+$, $\ln(1-x) \to -\infty$
  • $f(0) = \ln(1) = 0$

  Interprétation graphique : Les limites donnent les asymptotes. Concavité : Calculer $f''(x) = -\frac{1}{(1-x)^2} < 0$, donc $(C)$ concave. Bijection : $f$ continue et strictement décroissante de $I$ vers $\mathbb{R}$ est une bijection par théorème. Fonction réciproque : Résoudre $y = \ln(1-x)$ pour obtenir $f^{-1}(x) = 1 - e^x$. Vérification : $f^{-1}(-1) = 1 - e^{-1}$.
• NATIONAL 2020 · normale13 pts
  On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0; +\infty[$ par : $f(0) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in I^* : f(x) = \frac{5x + 15}{2e^x + 2x + 2}$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. **Première partie…
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  Première partie : 1- Par TAF sur $[\ln(t)]$ sur $[x, x+1]$, il existe $c \in ]x, x+1[$ tel que $\ln(x+1) - \ln(x) = \frac{1}{c}$. Puisque $x < c < x+1$, on a $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x}$. 2- a) $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'_+(0) = \frac{5}{2}$. b) $(C)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (direction verticale). 3- a) $f'(x) = \frac{5(2e^x + 2x + 3) - (5x + 15)(2e^x + 2)}{(2e^x + 2x + 2)^2} > 0$ sur $I^*$. b) $f$ est strictement croissante sur $I$. c) Tableau : $f$ croît de $f(0) = 0$ vers $+\infty$. 4- a) $g$ est strictement décroissante sur $I^*$ puisque $g'(x) < 0$. b) $g(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha \in [1; 2]$. c) Les solutions de $f(x) = x$ sont $0$ et $\alpha$ (puisque $f(x) = x \Leftrightarrow g(x) = 1$). 5- a) Courbe croissante passant par $(0,0)$ avec pente $\frac{5}{2}$ en $0$, branche parabolique verticale. b) $f : I \to I$ est une bijection (croissante, continue, surjective). Deuxième partie : 1- Récurrence : si $0 < u_n < \alpha$, alors $0 < u_{n+1} = f(u_n) < f(\alpha) = \alpha$. 2- a) $g([0; \alpha]) = [2; 1]$ (décroissante, $g(0^+) = 2$,…

  ce que le barème veut ·

  Première partie :

  1. Théorème des accroissements finis (question 1) : Appliquer TAF à $h(t) = \ln(t)$ sur $[x, x+1]$. Il existe $c \in ]x, x+1[$ tel que $h(x+1) - h(x) = h'(c)(x+1-x) = \frac{1}{c}$. L'inégalité stricte vient de $x < c < x+1$.
  2. Dérivabilité à droite en $0$ (question 2-a) : Utiliser l'encadrement $(P)$ pour montrer que $\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}$ existe et est fini.
  3. Branche parabolique (question 2-b) : Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$ en utilisant $(P)$, d'où direction l'axe des ordonnées.
  4. Dérivée et croissance (question 3) : Calculer $f'(x)$ par la règle du quotient. Montrer le numérateur $> 0$ en utilisant $(P)$ et comparaisons d'exponentielles.
  5. Fonction $g$ et équation $g(x) = 1$ (question 4) : Montrer $g$ strictement décroissante. Vérifier $g(1) > 1$ et $g(2) < 1$ en utilisant les valeurs de logarithme données. Unicité par monotonie stricte.
  6. Solutions de $f(x) = x$ (question 4-c) : Remarquer que $f(x) = x \Leftrightarrow f(x)/x = 1 \Leftrightarrow g(x) = 1$ pour $x > 0$.
  7. Bijection (question 5-b) : $f$ est continue, strictement croissante,…
• NATIONAL 2016 · rattrapage6 pts
  Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$ par : $f_n(x) = \ln(x) - \frac{n}{x}$ et soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1-a)…
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  1-a) Branche infinie en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = -\infty$ (asymptote verticale) Branche infinie en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$ (pas d'asymptote oblique) b) $f_n'(x) = \frac{1}{x} + \frac{n}{x^2} = \frac{x + n}{x^2} > 0$ pour tout $x > 0$. Donc $f_n$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. c) Courbe $(C_1)$ : croissante, passe par $(1, -1)$, concave vers le haut. 2- $f_n$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, avec $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$, donc bijection sur $\mathbb{R}$. 3-a) Par le théorème des valeurs intermédiaires et la bijectivité, il existe un unique $a_n \in ]0, +\infty[$ tel que $f_n(a_n) = 0$. b) Pour tout $x > 0$ : $f_n(x) - f_{n+1}(x) = \frac{1}{x} > 0$, donc $f_n(x) > f_{n+1}(x)$. c) Puisque $f_n(a_n) = 0$ et $f_n(x) > f_{n+1}(x)$, on a $f_n(a_{n+1}) > f_{n+1}(a_{n+1}) = 0$. Comme $f_n$ est croissante et $f_n(a_{n+1}) > 0 = f_n(a_n)$, on obtient $a_n < a_{n+1}$. La suite est strictement croissante. d) Pour tout $x > 0$, $f_1(x) = \ln(x) - \frac{1}{x}$. En étudiant les variations : $f_1$ a un maximum et…

  ce que le barème veut ·

  Étape 1a : Branches infinies

  • En $x \to 0^+$ : $\ln(x) \to -\infty$ et $-\frac{n}{x} \to -\infty$, donc $f_n(x) \to -\infty$. Asymptote verticale $x = 0$.
  • En $x \to +\infty$ : $\ln(x) \to +\infty$ plus lentement que $\frac{n}{x} \to 0$, donc $f_n(x) \to +\infty$ sans asymptote oblique.

  Étape 1b : Variations $f_n'(x) = \frac{1}{x} + \frac{n}{x^2} = \frac{x + n}{x^2}$ Puisque $x > 0$ et $n > 0$, on a $f_n'(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$. Donc $f_n$ est strictement croissante. Tableau : $x$ de $0$ à $+\infty$, $f_n(x)$ de $-\infty$ à $+\infty$, avec $f_n' > 0$ partout. Étape 1c : Construction de $(C_1)$ Pour $n = 1$ : $f_1(x) = \ln(x) - \frac{1}{x}$, croissante, avec points remarquables $f_1(1) = -1$, $f_1(e) = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.63$. Étape 2 : Bijection $f_n : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est continue (composition de fonctions continues), strictement monotone (croissante) avec limites aux bornes $-\infty$ et $+\infty$. Par le théorème de la bijection monotone, $f_n$ est une bijection. Étape 3a : Existence et unicité de $a_n$ Puisque $f_n$ est une bijection et $0 \in \mathbb{R}$, il existe un unique $a_n \in ]0, +\infty[$ tel…