Limites et continuitéPC · SVT · SM-A · SM-B

Lever une forme ∞−∞ par la quantité conjuguée

Dès qu'il y a une racine et une soustraction, je multiplie par le conjugué.

La méthode attendue

1Multiplier et diviser par l'expression conjuguée.
2Développer le numérateur avec (a−b)(a+b) = a²−b².
3Simplifier, puis factoriser par le terme dominant.
4Conclure.

Le piège

Multiplier le numérateur par le conjugué sans multiplier le dénominateur. On multiplie par une forme de 1, jamais par le conjugué seul.S'entraîner sur cette méthode

À tenir avant

Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

2 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

NATIONAL 2019 · normale
Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - 2z + 4 = 0$ .
la correction
L'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$ admet deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = 1 + i\sqrt{3} \quad \text{et} \quad z_2 = 1 - i\sqrt{3}$
ce que le barème veut ·
On calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12 < 0$ Puisque $\Delta < 0$ , l'équation admet deux solutions complexes conjuguées données par : $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \frac{2 \pm i\sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ D'où les deux solutions : $z_1 = 1 + i\sqrt{3} \quad \text{et} \quad z_2 = 1 - i\sqrt{3}$
NATIONAL 2011 · rattrapage1 pts
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $z^2 - 6z + 18 = 0$
la correction
$z_1 = 3 + 3i$ et $z_2 = 3 - 3i$
ce que le barème veut ·
Utiliser la formule du discriminant pour une équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$ . Avec $a = 1$ , $b = -6$ , $c = 18$ : $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(18) = 36 - 72 = -36$ Puisque $\Delta < 0$ , il existe deux solutions complexes conjuguées : $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{6 \pm 6i}{2} = 3 \pm 3i$ D'où : $z_1 = 3 + 3i$ et $z_2 = 3 - 3i$
TYPE BAC2 pts
Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2}+x} - x)$ .
la correction
En multipliant par la quantité conjuguée : x/(racine(x^2+x)+x) → 1/2 quand x→+∞.
ce que le barème veut · Lever la forme ∞-∞ par la quantité conjuguée puis factoriser par le terme dominant.
TYPE BAC3 pts
Étudier la continuité en 0 de la fonction f définie par $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \frac{1}{2}$ .
la correction
Pour x != 0, on multiplie par la conjuguée : (racine(1+x)-1)/x = (1+x-1)/(x(racine(1+x)+1)) = 1/(racine(1+x)+1). Quand x -> 0, cela tend vers 1/(1+1) = 1/2 = f(0). Donc lim_x->0 f(x) = f(0) et f est continue en 0.
ce que le barème veut · Calculer la limite en levant la forme 0/0 par la quantité conjuguée, puis comparer à la valeur f(0) : continuité si lim = f(0).
TYPE BAC2 pts
$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2}+x} - x)$
la correction
En multipliant par la quantité conjuguée : x/(racine(x^2+x)+x) → 1/2 quand x→+∞.
ce que le barème veut · Lever la forme ∞-∞ par la quantité conjuguée puis factoriser par le terme dominant.
TYPE BAC2 pts
Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2} + 3x} - x)$ .
la correction
On multiplie par la quantité conjuguée : racine(x^2+3x) - x = (x^2+3x - x^2)/(racine(x^2+3x)+x) = 3x/(racine(x^2+3x)+x). En factorisant par x au dénominateur (x>0) : = 3/(racine(1+3/x)+1) -> 3/2 quand x -> +oo. Donc la limite vaut 3/2.
ce que le barème veut · Lever la forme oo - oo par multiplication par la quantité conjuguée, puis factoriser par le terme dominant sous la racine.
TYPE BAC3 pts
Calculer la limite suivante : $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ .
la correction
On a une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ . Rationalisons : $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\times \dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ pour $x\neq 0$ . Donc $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}$ .
ce que le barème veut · Reconnaître la forme indéterminée puis utiliser le conjugué.
TYPE BAC2 pts
Calculer la limite $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ .
la correction
On a une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ . On rationalise : $\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$ pour $x\ne 0$ . Donc $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{2}$ .
ce que le barème veut ·

Reconnaître la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ .

Multiplier par l'expression conjuguée.

Simplifier.

Passer à la limite.

Tu veux vérifier que tu le tiens vraiment ?

Une séance : tu regardes, tu manipules, tu écris l'étape, on la corrige au barème.

Faire la séance

Lever une forme ∞−∞ par la quantité conjuguée

La méthode attendue

Le piège

À tenir avant

Cette méthode au national

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