Utiliser les croissances comparées

À tenir avant

• Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale7 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[1,+\infty[$ par : $f(1)=\frac{1}{2} \quad \text{et pour tout } x\in]1,+\infty[,\ f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2-1}$ Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$.

  1. Montrer que $f$…
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  $f$ continue à droite en 1 ; $\lim_{+\infty} f=0$ (axe des abscisses asymptote) ; $\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1$ ; $f'_d(1)=-\frac12$ (tangente de pente $-1/2$) ; $f'(x)<0$ sur $]1,+\infty[$ donc $f$ strictement décroissante de $1/2$ à $0$ ; équation $f(x)=x-1$ admet une unique solution $\alpha\in]1,2]$ ; la suite $(a_n)$ converge vers $\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}\cdot\frac1{x-1}$ et la limite du taux d'accroissement de $\ln$ en 1 pour obtenir $\lim_{x\to1^+}f(x)=1/2=f(1)$.
  2. Croissances comparées : $\lim \ln(x)/(x^2-1)=0$, donc asymptote horizontale $y=0$. 3a) Poser $t=(x-1)^2$, donc $x=1+\sqrt t$, remplacer dans $\ln x/(x-1)$. 3b) Étudier $g(t)=-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)$, montrer $g'(t)\le0$ et $g'(t)\ge -\frac{1}{2(1+\sqrt t)}$... appliquer TAF entre 0 et t pour encadrer $g(t)/t$. 3c) Passer à la limite $t\to0^+$ (théorème des gendarmes) et revenir à l'égalité de 3a). 4a) Combiner les fractions en mettant au même dénominateur. 4b) Faire tendre $x\to1$, utiliser 3c) et 4a) pour obtenir le taux d'accroissement limite $=-1/2$. 5a) $I(x)$ et $J(x)$ sont des intégrales de fonctions positives sur $[1,x]$. 5b) Calculer directement les primitives. 5c) Dériver $f$ et réexprimer via $I$ et $J$ pour obtenir la formule. 5d) Utiliser signe de $I(x)-J(x)$ (5a) pour conclure $f'(x)<0$.
  3. Tableau de variations décroissant de $1/2$ à $0$; tracer la courbe avec l'asymptote $y=0$ et tangente en $x=1$.
  4. Étudier $h(x)=f(x)-x+1$, strictement décroissante, $h(1)>0$, $h(2)<0$, TVI donne unique solution $\alpha\in]1,2]$. 8a)…
• NATIONAL 2024 · rattrapage6 pts
  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f_n(0)=0 \quad \text{et} \quad \forall x\in\,]0,+\infty[,\; f_n(x)=x-x^n\ln x$ On note $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère…
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  1-a) $f_n$ continue à droite en 0 car $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$. b) $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)/x=-\infty$ : branche parabolique de direction asymptotique $(Oy)$. c) ${f_n}'_d(0)=1$. d) $f_n'(x)=1-nx^{n-1}\ln x-x^{n-1}$. e) $f_n$ croissante sur $[0,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$. 2-a,b) $f_{n+1}\leq f_n$ sur $[0,+\infty[$, donc $(C_{n+1})$ est en dessous de $(C_n)$. 3) $\alpha_n$ existe et est unique dans $[1,2]$; suite $(\alpha_n)$ strictement décroissante donc convergente. 4) $1\leq \ell\leq 2$; si $\ell>1$, alors $\lim \frac{\ln(\ln\alpha_n)}{\ln\alpha_n}=-\infty$ ce qui contredit $n-1\to+\infty$ de façon linéaire (contradiction avec le taux), donc nécessairement $\ell=1$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Utiliser $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$ (croissances comparées) pour obtenir $f_n(x)\to0=f_n(0)$. b) Factoriser $f_n(x)=x^n(\frac{1}{x^{n-1}}-\ln x)$ ou étudier directement ; $-x^n\ln x\to-\infty$ domine $x$, donc $f_n(x)\to-\infty$. Pour $f_n(x)/x=1-x^{n-1}\ln x\to-\infty$. Interprétation : branche parabolique de direction $(Oy)$. c) Calculer $\lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}(1-x^{n-1}\ln x)=1$. d) Dériver normalement le produit $x^n\ln x$. e) Étudier le signe de $f_n'(x)=1-x^{n-1}(n\ln x+1)$ : à $x=1$, $f_n'(1)=1-1=0$ (repère du extremum), étudier signe autour, croissante avant 1, décroissante après. 2-a) Comparer $f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^n\ln x - x^{n+1}\ln x \cdot ...$ effectuer différence et étudier signe (utilisant $x^n\ln x(1-x)$ typiquement) pour $x\ge0$. b) Traduire l'inégalité en position des courbes : $(C_{n+1})$ sous $(C_n)$. 3-a) Utiliser TVI sur $[1,2]$, continuité et stricte monotonie (décroissante) de $f_n$ sur $[1,+\infty[$, avec $f_n(1)=1>0$ et $f_n(2)$ calculé négatif via $\ln2\approx0,7$. b) Utiliser l'inégalité de 2-a) appliquée en $x=\alpha_n$. c) Comme $f_{n+1}(\alpha_n)\le f_n(\alpha_n)=0$ et $f_{n+1}$ strictement décroissante sur…
• NATIONAL 2024 · normale8 pts
  Partie I. On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb R$ par $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$.

  1. Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $(C_u)$ et $(C_v)$ des fonctions $u$ et $v$.
  2. Justifier graphiquement que $e^x-x>0$ pour tout $x$ de…
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  Partie I : $e^x-x>0$ car $(C_u)$ est toujours au-dessus de $(C_v)$ ; Aire $=e-\dfrac32$. Partie II : 1c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ : la droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(C_f)$ en $+\infty$. 2a) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$. 2c) $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$, et $f(x)-x\to-\infty$ : branche parabolique de direction $y=x$ en $-\infty$. 3a) $f'(x)=\dfrac{1-x}{e^x-x}$. 3b) $f'(x)>0$ sur $]-\infty,1[$, $f'(1)=0$, $f'(x)<0$ sur $]1,+\infty[$ : $f$ croissante sur $]-\infty,1]$ puis décroissante sur $[1,+\infty[$, maximum $f(1)=2-\ln(e-1)$. 3c) Solution unique dans $]-1,0[$ car $f$ strictement croissante avec $f(-1)<0<f(0)$. 4b) $e^\alpha-\alpha=e=e^\beta-\beta\Rightarrow e^\alpha-e^\beta=\alpha-\beta$. 5a) $J=\left]-\infty,\,2-\ln(e-1)\right]$. 5b) $(g^{-1})'(1)=1$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I. 2) Sur le graphique, la courbe $(C_u)$ (exponentielle) est toujours strictement au-dessus de la droite $(C_v)$ ($y=x$), donc $e^x-x>0$. 3) Aire $=\displaystyle\int_0^1(e^x-x)\,dx=\Big[e^x-\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1=\left(e-\dfrac12\right)-(1-0)=e-\dfrac32$ (en unités d'aire). Partie II. 1a) $e^x-x>0$ pour tout $x$ (Partie I), donc $\ln(e^x-x)$ est toujours défini : $f$ définie sur $\mathbb R$. 1b) $e^x-x=e^x(1-xe^{-x})$, donc $\ln(e^x-x)=x+\ln(1-xe^{-x})$. Ainsi $f(x)=x+1-x-\ln(1-xe^{-x})=1-\ln(1-xe^{-x})$. 1c) Quand $x\to+\infty$, $xe^{-x}\to0$ donc $\ln(1-xe^{-x})\to0$, donc $f(x)\to1$. Géométriquement, la droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(C_f)$ en $+\infty$. 2a) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$ et $-x\to+\infty$ donc $e^x-x\sim-x\to+\infty$, donc $\ln(e^x-x)\sim\ln(-x)\to+\infty$. Comme $x\to-\infty$ domine, $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)\to-\infty$. 2b) Pour $x<0$, $-x>0$ et $e^x-x=-x\left(1-\dfrac{e^x}{x}\right)$ (car $e^x-x = -x + e^x = -x(1 - e^x/x)$), donc $\ln(e^x-x)=\ln(-x)+\ln(1-e^x/x)$, d'où la formule. 2c) $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac1x-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln\left(1-\dfrac{e^x}{x}\right)$. Quand $x\to-\infty$, chaque terme sauf $1$ tend vers…
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $I=[0,+\infty[$ par $f_n(0)=0$ et, pour $x>0$, $f_n(x)=\sqrt{x}\,(\ln x)^{2n}$, et soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Partie I

  1. a) Montrer…
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  Partie I : $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}{x}=0$ (branche parabolique de direction $(Ox)$) ; suivant la parité, $\lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)}{x}=+\infty$ (n pair, demi-tangente verticale) ou $-\infty$ (n impair). $f_n'(x)=0$ ssi $x=1$ ou $x=e^{-2n}$ (n≥2) ; tableaux de variation différents selon parité de n ; pour n impair ≥3, $x=1$ est point d'inflexion. Partie II : $0<u_n<\sqrt e$, $(u_n)$ décroissante, $\lim u_n=0$. $(x_n)$ croissante et convergente. $1<l\le e$, et finalement $l=e$. Partie III : $F$ continue sur $I$ ; formule de $F(x)$ donnée ; $\lim_{x\to0^+}F(x)=\frac{16}{27}$ donc $F(0)=\frac{16}{27}$ ; Volume $V=\pi\int_0^1 x(\ln x)^4dx=\dfrac{3\pi}{4}\ \mathrm{cm}^3\approx 2{,}36\ \mathrm{cm}^3$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I : encadrer $\sqrt x(\ln x)^{2n}$ près de 0 par comparaison croissances comparées pour obtenir la limite nulle et la continuité à droite. Calculer directement les limites en $+\infty$ par croissances comparées. Dériver $f_n$ comme produit/composée, factoriser par $(\ln x)^{2n-1}$, résoudre $f_n'(x)=0$. Étudier le signe de $f_n'$ selon la parité de $2n-1$ n'a pas de sens (toujours impair) donc étudier signe de $(2n+\ln x)$ et $x-1$ ; dresser t
• NATIONAL 2023 · normale11 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. a) Vérifier que pour tout $x\in]0,+\infty[$ :…
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  1c) $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ : asymptote verticale $x=0$. 1d) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; branche parabolique de direction $(Ox)$. 3a) $f$ strictement croissante sur $]0,+\infty[$. 3c) Points d'inflexion aux abscisses où $f''$ change de signe (deux points d'inflexion). 6c) Aire $=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$ cm². 7c) $(u_n)$ converge vers $1$ (point fixe de $f$ dans $[\alpha,1]$, avec $f(1)=1$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Dériver $f$ directement et réduire au même dénominateur. 1b) Poser $t=\sqrt x$, utiliser croissances comparées : $t^2(\ln t^2)^2\to0$ quand $t\to0$. 1c) $\frac{2}{x}\to+\infty$ domine, donc $f(x)\to+\infty$ ; interprétation : asymptote verticale d'équation $x=0$. 1d) $\frac{2}{x}\to0$, $(1-\ln x)^2\to+\infty$ mais $\frac{f(x)}{x}\to0$ (croissances comparées) donc branche parabolique de direction $(Ox)$. 2) Simplifier l'expression de 1a) en factorisant. 3a) Signe de $f'$ déduit du tableau (numérateur positif car fonction croissante puis f'(1)=0 minimum nul), donc $f'\ge0$ sur tout l'intervalle, $f$ croissante. 3b) $f''$ s'obtient en dérivant $f'$, signe donné par le tableau fourni (change de signe autour de deux valeurs). 3c) Concavité : convexe où $f''>0$, concave où $f''<0$; les points d'inflexion sont aux valeurs où $f''$ s'annule en changeant de signe. 4a) Lecture graphique : $g<0$ sur $]0,\alpha[$... $g(x)>0$ sur $]0,\alpha[\cup]1,+\infty[$ et $g<0$ sur $]\alpha,1[$ (d'après courbe). 4b) $g(x)=f(x)-x$ donc signe de $g$ donne position relative de $(C)$ et $(\Delta)$: $g<0 \Rightarrow f(x)<x \Rightarrow (C)$ en dessous ; $g>0\Rightarrow(C)$ au dessus. 6a) Dériver $2x-x\ln x$…
• NATIONAL 2023 · normale7 pts
  Partie I

  1. a) Montrer que $\forall t\in[0,+\infty[$ : $\dfrac{4}{(2+t)^2}\le \dfrac{1}{1+t}\le 1$.

  b) En déduire que $\forall x\in[0,+\infty[$ : $\dfrac{2x}{2+x}\le \ln(1+x)\le x$.

  2. Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$. Montrer…
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  I.1) Double inégalité vraie (égalité en $t=0$, différence de signe constant vérifiable par étude de fonction). b) Intégration de 0 à x de l'inégalité précédente : $\frac{2x}{2+x}\le\ln(1+x)\le x$. 2) $\lim_{x\to0^+}\frac{g(x)-1}{x}=-\frac12$ (par encadrement issu de I.1.b). II.1) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ : (C) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$. 2) f continue à droite en 0 ; $f'_d(0)=-\frac12$. 3) $f'(x)=\dfrac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$. 4) $-\frac12\le f'(x)<0$ sur $]0,+\infty[$ : f strictement décroissante de 1 à 0. 5) Tableau : f décroît de $f(0)=1$ vers 0 ; demi-tangente de pente $-\frac12$ en $x=0$. III.1) Existence et unicité de $\alpha$ solution de $f(x)=3x$ (théorème des valeurs intermédiaires + monotonie). 2) $u_n\ge0$ pour tout n ; $|u_{n+1}-\alpha|\le\frac16|u_n-\alpha|$ (TAF avec $|f'|\le\frac12$) ; $|u_n-\alpha|\le(1/6)^n|u_0-\alpha|\to0$ ; donc $(u_n)\to\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  I.1) Étudier la différence $\frac{1}{1+t}-\frac{4}{(2+t)^2}=\frac{(2+t)^2-4(1+t)}{(1+t)(2+t)^2}=\frac{t^2}{(1+t)(2+t)^2}\ge0$, et $1-\frac{1}{1+t}=\frac{t}{1+t}\ge0$. b) Intégrer les trois membres entre 0 et x (fonctions continues) : $\int_0^x\frac{4}{(2+t)^2}dt=\frac{2x}{2+x}$, $\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\ln(1+x)$, $\int_0^x dt=x$. 2) Diviser l'encadrement précédent (divisé par x) et faire tendre x vers 0, en utilisant $g(x)=\ln(1+x)/x$, pour obtenir l'encadrement de $(g(x)-1)/x$ tendant vers $-1/2$ par théorème des gendarmes. II.1) Utiliser $g(x)\to0$ quand $x\to+\infty$ (croissance comparée). Interprétation : asymptote horizontale $y=0$. 2) Continuité à droite : $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim g(x)=1=f(0)$. Le taux d'accroissement est celui de g étudié en I.2, donnant $f'_d(0)=-1/2$. 3) Dériver $g(x)=\ln(1+x)/x$ comme quotient. 4) Étudier le signe du numérateur $\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)$ à l'aide de l'inégalité classique $\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ et d'une majoration adaptée, puis diviser par $x^2>0$. 5) Construire le tableau de variations à partir du signe de f' (négatif) et des limites ; tracer la courbe avec la demi-tangente de coefficient directeur $-1/2$ en 0. III.1) Étudier…
• NATIONAL 2023 · normale7 pts
  Partie I

  1. a) Montrer que : $\forall t\in[0,+\infty[,\quad \dfrac{4}{(2+t)^2}\le\dfrac{1}{1+t}\le\dfrac12\left(1+\dfrac{1}{(1+t)^2}\right)$

  b) En déduire que : $\forall x\in[0,+\infty[,\quad \dfrac{2x}{2+x}\le \ln(1+x)\le \dfrac{x(x+2)}{2(1+x)}$

  2. Soit $g$ la fonction…
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  • $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ : asymptote horizontale $y=0$.
  • $f'_d(0)=-\dfrac12$.
  • $f'(x)=\dfrac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}\in[-\tfrac32,0]$, donc $f$ décroissante sur $[0,+\infty[$ de $1$ à $0$.
  • Équation $f(x)=3x$ : unique solution $\alpha\in]0,+\infty[$.
  • $(u_n)$ vérifie $|u_n-\alpha|\le(\tfrac12)^n|u_0-\alpha|\to0$ donc $u_n\to\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  I.1a) Étudier la fonction $\varphi(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{4}{(2+t)^2}$ et $\psi(t)=\frac12\left(1+\frac1{(1+t)^2}\right)-\frac1{1+t}$ : les deux différences se ramènent à des carrés positifs $(t^2\ge0$ et $t^2\ge0)$, d'où la double inégalité. I.1b) Intégrer terme à terme entre $0$ et $x$ : $\int_0^x\frac{4}{(2+t)^2}dt=\frac{2x}{2+x}$, $\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\ln(1+x)$, $\int_0^x\left(\frac12+\frac1{2(1+t)^2}\right)dt=\frac{x(x+2)}{2(1+x)}$, d'où l'encadrement de $\ln(1+x)$. I.2) Diviser l'encadrement précédent par $x>0$ puis soustraire $1$ : on obtient $\frac{-1}{2+x}\le\frac{g(x)-1}{x}\le\frac{-1}{2(1+x)}$, et par encadrement (théorème des gendarmes) quand $x\to0^+$ les deux bornes tendent vers $-\frac12$. II.1) $g(x)=\ln(1+x)/x\to0$ (croissances comparées), donc $f(x)\to0$ : $(C)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$. II.2) $\lim_{x\to0^+}g(x)=1=f(0)$ donc continuité à droite ; l'égalité du taux d'accroissement est immédiate car $f=g$ sur $]0,+\infty[$ et $f(0)=1$ ; par I.2, ce taux tend vers $-\frac12$, donc $f$ dérivable à droite en $0$, $f'_d(0)=-\frac12$. II.3) Dériver $g(x)=\ln(1+x)/x$ par la formule du quotient :…
• NATIONAL 2022 · rattrapage8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(x) = \begin{cases} x^2(\ln x - 1) & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. La direction asymptotique : $\frac{f(x)}{x^2} = \ln x - 1 \to +\infty$, donc branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  2. a) $\lim_{x \to 0^+} x^2(\ln x - 1) = 0 \cdot (-\infty)$. Par $x^2 \ln x \to 0$ (croissance comparée), on a $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)$. Donc $f$ est continue à droite en 0.

  b) $f'_d(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^+} h(\ln h - 1) = 0$. Donc $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'_d(0) = 0$. Géométriquement : la tangente en 0 est horizontale.

  3. a) Pour $x > 0$ : $f'(x) = 2x(\ln x - 1) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x(\ln x - 1) + x = 2x\ln x - 2x + x = 2x\ln x - x$. (Nota : l'énoncé semble contenir une erreur typographique)

  b) $f'(x) = x(2\ln x - 1) = 0$ pour $x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

  • Pour $0 < x < \sqrt{e}$ : $f'(x) < 0$ (décroissante).
  • Pour $x > \sqrt{e}$ : $f'(x) > 0$ (croissante). Minimum en $x = \sqrt{e}$ : $f(\sqrt{e}) = e(1/2 - 1) = -e/2$.

  4. a) $f''(x) = 4\ln x$. Signe : $f''(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ (concave) ; $f''(x) > 0$ pour $x > 1$ (convexe).

  b) Point d'inflexion en $x = 1$ (changement de concavité). $f(1) = 1 \cdot (0 - 1) = -1$. Points d'inflexion :…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Étudier le comportement de $f(x) = x^2(\ln x - 1)$ quand $x \to +\infty$. Les deux facteurs divergent : $x^2 \to +\infty$ et $\ln x - 1 \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$. Analyser la croissance : $\frac{f(x)}{x^2} = \ln x - 1 \to +\infty$, ce qui indique une branche parabolique. Question 2a) : Continuité à droite en 0 : montrer que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$. Utiliser le fait que $x^2$ domine $\ln x - 1$ (croissance comparée : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$). Question 2b) : Dérivabilité à droite : calculer $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} h(\ln h - 1)$. Ce produit tend vers 0 par croissance comparée. Interprétation géométrique : la tangente au point (0,0) est horizontale (pente 0). Question 3a) : Dériver $f(x) = x^2 \ln x - x^2$ pour $x > 0$ : $f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} - 2x = 2x \ln x + x - 2x = 2x \ln x - x = x(2\ln x - 1)$ Question 3b) : Tableau de variations : $f'(x) = 0$ ssi $2\ln x - 1 = 0$, i.e., $x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

  • Sur $]0, \sqrt{e}[$ : $f'(x) < 0$ (fonction décroissante).
  • Sur $]\sqrt{e}, +\infty[$ : $f'(x) > 0$ (fonction croissante). Minimum local en $x = \sqrt{e}$ :…