Prolonger une fonction par continuité

À tenir avant

• Étudier la continuité en un point

Cette méthode au national

Questions de type Bac qui demandent cette méthode.

• TYPE BAC4 pts
  Soit la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par $u(x)=\dfrac{x^2+x}{x+1}.$

  1. Simplifier $u(x)$ pour $x\neq -1$.
  2. Calculer $\lim\limits_{x\to -1}u(x)$.
  3. Peut-on définir $u(-1)$ de sorte que la fonction obtenue soit continue en $-1$ ? Si oui, donner cette…
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  la correction

  1. Pour $x\neq -1$,

  $x^2+x=x(x+1),$ donc $u(x)=x.$

  2. Ainsi,

  $\lim_{x\to -1}u(x)=\lim_{x\to -1}x=-1.$

  3. Oui, on peut définir

  $u(-1)=-1$ pour que la fonction obtenue soit continue en $-1$, car alors $\lim_{x\to -1}u(x)=u(-1).$

  ce que le barème veut · Factoriser le numérateur, simplifier l'expression, calculer la limite, puis prolonger par continuité.
• TYPE BAC2 pts
  Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$. Étudier la continuité de $f$ en $1$ après prolongement éventuel.
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  la correction

  Pour $x\neq 1$, on a $f(x)=x+1$. Donc $\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x+1)=2$. Ainsi, en posant $f(1)=2$, la fonction prolongée est continue en $1$.

  ce que le barème veut ·

  Simplifier l'expression puis calculer la limite en $1$. Conclure sur le prolongement par continuité.