Étudier la continuité en un point

À tenir avant

• Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

5 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2021 · normale9 pts
  Problème Soit la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(0) = 0$ et $f(x) = 2x\ln x - 2x$ si $x > 0$. On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Montrer que $f$ est continue à droite au point…
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  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (2x\ln x - 2x) = 0 = f(0)$, donc $f$ est continue à droite en 0.
  2. a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car le terme dominant est $2x\ln x$) b) La courbe $(C)$ s'élève vers $+\infty$
  3. a) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (2\ln x - 2) = +\infty$ : branche parabolique de direction asymptotique $\vec{j}$ b) $f'(x) = 2\ln x + 2 - 2 = 2\ln x$ pour $x > 0$ c) Tableau : $f$ décroissante sur $]0, 1[$, croissante sur $]1, +\infty[$, minimum en $x=1$ avec $f(1) = -2$
  4. a) $f(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ ou $x = e$ ; $f(x) = x \Rightarrow 2x\ln x - 3x = 0 \Rightarrow x = 1$ ou $x = e^{3/2}$ b) Graphique à tracer avec tangente horizontale en $x=1$, points $(1,0)$, $(e, 0)$, demi-tangente verticale en 0
  5. a) $\int_1^e x\ln x \, dx = \left[\frac{x^2\ln x}{2}\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2} dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$ b) $\int_0^e f(x) \, dx = 2 \cdot \frac{e^2 + 1}{4} - 2 \cdot \frac{e^2}{2} = \frac{e^2 + 1}{2} - e^2 = \frac{1 - e^2}{2}$
  6. a) Minimum de $f$ : $f(1) = -2$ b) Pour $x \geq 1$ : $f(x) \geq f(1) = -2 > x - 1$…

  ce que le barème veut ·

  1) Pour $x > 0$, $f(x) = 2x\ln x - 2x$. Utiliser $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ (limite classique). Alors $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0 = 0 = f(0)$. 2) a) Le terme $2x\ln x$ domine quand $x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$ b)** Interprétation : la courbe monte vers l'infini sans asymptote horizontale 3) a) $\frac{f(x)}{x} = 2\ln x - 2 \to +\infty$ : direction asymptotique verticale (branche parabolique) b)** Dérivée : $f'(x) = 2\ln x + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x - 2 = 2\ln x + 2 - 2 = 2\ln x$ c)** Signe de $f'(x)$ : négatif pour $x < 1$, nul en $x=1$, positif pour $x > 1$. Minimum : $f(1) = 2(1)(0) - 2 = -2$ 4) a) $f(x) = 0 \Rightarrow 2x\ln x = 2x \Rightarrow \ln x = 1$ (si $x > 0$) $\Rightarrow x = e$, ou $x = 0$. Vérifier $x=1$ : $f(1) = -2 \neq 0$. $f(x) = x \Rightarrow 2x\ln x - 2x = x \Rightarrow 2x\ln x = 3x \Rightarrow \ln x = 3/2$ (si $x > 0$) $\Rightarrow x = e^{3/2}$. Vérifier aussi $x=1$ : $f(1) = -2 \neq 1$. b)** Construction : placer les points clés, tangente horizontale en $x=1$, asymptote parabolique 5) a) Intégration par parties : $u = \ln x, \, dv = x \, dx$. Alors…
• NATIONAL 2021 · normale9 pts
  Exercice 4 (Problème) : Étude de fonctions numériques et calcul intégral Soit la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(0) = 0$ et $f(x) = 2x\ln x - 2x$ si $x > 0$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1…
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  Partie A

  1. $f$ est continue à droite en 0.
  2. a) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. La courbe passe par l'origine. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$. La courbe a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  3. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 0$ b) $f'(x) = 2\ln x$ pour $x > 0$ c) Tableau : $f$ décroissante sur $]0, 1]$, croissante sur $[1, +\infty[$. Minimum en $x = 1$ : $f(1) = -2$.

  Partie B

  4. a) $f(x) = 0$ : $x = 1$ et $x = e$. $f(x) = x$ : $x = 0$ et deux autres solutions à déterminer numériquement. b) Graphe construit avec tangente horizontale en $(1, -2)$, demi-tangente verticale en $(0, 0)$, et points d'intersection $(1, 0)$ et $(e, 0)$.

  Partie C

  5. a) $\int_1^e x\ln x \, dx = \frac{e^2 + 1}{4}$ (par intégration par parties) b) $\int_1^e f(x) \, dx = \frac{e^2 + 5}{4}$
  6. a) Minimum : $f(1) = -2$ b) Pour tout $x \in [0, +\infty[$, $f(x) \geq 2(x - 1)$.

  Partie D

  7. a) $g^{-1}$ est définie sur $J = [-2, +\infty[$ b) Courbe de $g^{-1}$ : symétrique de $(C)$ restreinte à $[1, +\infty[$ par rapport à la première bissectrice.

  Partie E

  8. a) $h$ est continue en 0. b) Dérivée à…

  ce que le barème veut ·

  Partie A 1) Continuité à droite en 0 $f(0) = 0$ $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x\ln x - 2x)$ Pour $x\ln x$ : quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$ mais $x \to 0$, donc par limite remarquable, $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$. Donc $\lim_{x \to 0^+} (2x\ln x - 2x) = 0 - 0 = 0 = f(0)$. $f$ est continue à droite en 0. ✓ 2) a) $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ Déjà calculé : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. Interprétation géométrique : La courbe $(C)$ passe par le point $(0, 0)$, c'est-à-dire l'origine du repère. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ $\frac{f(x)}{x} = \frac{2x\ln x - 2x}{x} = 2\ln x - 2$ $\lim_{x \to +\infty} (2\ln x - 2) = +\infty$ Interprétation géométrique : La courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées (ou : "la pente tend vers l'infini"). 3) a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2}$ $\frac{f(x)}{x^2} = \frac{2x\ln x - 2x}{x^2} = \frac{2\ln x}{x} - \frac{2}{x}$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln x}{x} = 0$ (croissance logarithmique vs linéaire) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0$ Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 0$ b) Calculer $f'(x)$ pour $x > 0$…
• NATIONAL 2017 · normale1 pts
  On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout entier naturel } n$ où $f$ est la fonction définie dans l'exercice précédent par $f(x) = x - 3x + \frac{\ln x}{x}$.

  1. Montrer par récurrence que…
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  1. Pour tout entier naturel $n$ : $1 < u_n \leq 2$.
  2. La suite $(u_n)$ est décroissante.
  3. La suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Récurrence sur $1 < u_n \leq 2$ : Initialisation : $u_0 = 2$, donc $1 < u_0 \leq 2$ ✓ Hérédité : Supposons $1 < u_n \leq 2$.

  • Il faut montrer $1 < u_{n+1} \leq 2$, c'est-à-dire $1 < f(u_n) \leq 2$.
  • D'après la question II-4)b), $f(1) = 1$ et $f(2) = 2$
  • D'après la question II-4)c), pour $x \in [1, 2]$ : $f(x) < x$
  • Donc : $u_{n+1} = f(u_n) < u_n$ et $u_{n+1} > f(2) = 2$ ou analyse par continuité
  • Plus précisément : $f$ est continue et croissante sur $[1, 2]$ (non décroissante)
  • $f([1, 2]) = [f(1), f(2)] = [1, 2]$
  • Donc si $u_n \in [1, 2]$ alors $u_{n+1} = f(u_n) \in [1, 2]$ ✓

  Question 2 : Montrer que $(u_n)$ est décroissante :

  • Pour $x \in [1, 2]$ : $f(x) < x$ (résultat de II-4)c))
  • Comme $u_0 = 2 \in [1, 2]$ et $u_n \in [1, 2]$ pour tout $n$ (par récurrence)
  • On a : $u_{n+1} = f(u_n) < u_n$ pour tout $n$
  • Donc $(u_n)$ est décroissante ✓

  Question 3 : Convergence et limite :

  • $(u_n)$ est décroissante : $u_{n+1} < u_n$
  • $(u_n)$ est minorée : $u_n > 1$ pour tout $n$
  • Théorème de convergence monotone : $(u_n)$ converge
  • Soit $L = \lim\limits_{n \to +\infty} u_n$
  • Par continuité de $f$ : $L = f(L)$
  • Les points fixes de $f$ sont les…
• NATIONAL 2015 · normale3 pts
  On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_{n+1} = f(U_n) \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad U_0 = 2$ où $f(x) = \frac{1}{x(1 - \ln x)}$ est la fonction de l'exercice précédent, avec les propriétés :

  • $f$ est décroissante sur $]0, 1]$ et croissante sur $[1, e[$ et…
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  1. $1 < U_n < \alpha$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. La suite $(U_n)$ est décroissante.
  3. $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Par récurrence.

  • Initialisation : $U_0 = 2$ et $1 < 2 < \alpha$ (car $\alpha \approx 2,2 > 2$). Note : $U_0 = 2$ doit être dans l'intervalle ; vérifier $2 < \alpha$ ou ajuster.
  • Hérédité : Supposons $1 < U_n < \alpha$. Comme $f$ est croissante sur $[1, e[$ et $f(1) = 1$, $f(\alpha) = \alpha$, on a $1 = f(1) < f(U_n) < f(\alpha) = \alpha$, soit $1 < U_{n+1} < \alpha$.

  Question 2 : Sur $]1, \alpha]$, on a $f(x) < x$ (car le graphe de $f$ est sous la droite $y = x$). Donc $U_{n+1} = f(U_n) < U_n$, la suite est décroissante. Question 3 : La suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc elle converge vers une limite $\ell \in [1, \alpha]$. Par continuité de $f$, $\ell = f(\ell)$, donc $\ell$ est un point fixe de $f$. Les points fixes sont $1$ et $\alpha$. Comme $U_n < \alpha$ pour tout $n$ (par la décroissance), $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$.
• NATIONAL 2010 · normale3 pts
  On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_{n+1}=\frac{3U_n-1}{2U_n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $U_0=2$. 1) Montrer que : $U_n-1>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ 2) Soit $(V_n)$ la suite définie par : $V_n=\frac{U_n-1}{2U_n-1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ a)…
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  1) $U_n-1>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ 2a) $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ ; $V_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 2b) $U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}$ ; $\lim_{n\to\infty}U_n=1$ 3) $\lim_{n\to\infty}W_n=0$

  ce que le barème veut ·

  1) Montrons par récurrence que $U_n-1>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Initialisation : $U_0=2$, donc $U_0-1=1>0$. ✓ Hérédité : Supposons $U_n-1>0$, c'est-à-dire $U_n>1$. $U_{n+1}-1=\frac{3U_n-1}{2U_n}-1=\frac{3U_n-1-2U_n}{2U_n}=\frac{U_n-1}{2U_n}$ Puisque $U_n>1>0$ et $U_n-1>0$, on a $U_{n+1}-1>0$. Donc $U_n>1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. 2a) Calculons $V_{n+1}$ : $V_{n+1}=\frac{U_{n+1}-1}{2U_{n+1}-1}=\frac{\frac{U_n-1}{2U_n}}{2\cdot\frac{3U_n-1}{2U_n}-1}$ On calcule le dénominateur : $2U_{n+1}-1=\frac{2(3U_n-1)}{2U_n}-1=\frac{6U_n-2-2U_n}{2U_n}=\frac{4U_n-2}{2U_n}=\frac{2(2U_n-1)}{2U_n}$ Donc : $V_{n+1}=\frac{\frac{U_n-1}{2U_n}}{\frac{2(2U_n-1)}{2U_n}}=\frac{U_n-1}{2(2U_n-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{U_n-1}{2U_n-1}=\frac{1}{2}V_n$ La suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$. Avec $V_0=\frac{U_0-1}{2U_0-1}=\frac{2-1}{4-1}=\frac{1}{3}$, on a : $V_n=V_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$ Correction du corrigé : Le corrigé donne $V_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$, mais le calcul correct donne $V_n=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$. Avec cette formule…
• TYPE BAC3 pts
  Étudier la continuité en 0 de la fonction f définie par $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \frac{1}{2}$.
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  Pour x != 0, on multiplie par la conjuguée : (racine(1+x)-1)/x = (1+x-1)/(x(racine(1+x)+1)) = 1/(racine(1+x)+1). Quand x -> 0, cela tend vers 1/(1+1) = 1/2 = f(0). Donc lim_x->0 f(x) = f(0) et f est continue en 0.

  ce que le barème veut · Calculer la limite en levant la forme 0/0 par la quantité conjuguée, puis comparer à la valeur f(0) : continuité si lim = f(0).
• TYPE BAC2 pts
  Soit $f$ définie sur $I=]-1,+\infty[$ par $f(x)=\ln(x+1)$. Étudier la continuité de $f$ en $x=0$.
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  La fonction $x\mapsto x+1$ est continue en $0$ et $\ln$ est continue sur $]0,+\infty[$. Or $0+1=1>0$. Donc $f$ est continue en $0$. De plus, $f(0)=\ln 1=0$ et $\lim_{x\to 0}\ln(x+1)=0=f(0)$.

  ce que le barème veut ·

  Vérifier que l’expression a un sens au voisinage de $0$, puis utiliser la continuité de $\ln$ par composition.
• TYPE BAC3 pts
  Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$. Peut-on prolonger $f$ par continuité en $x=1$ ?
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  On factorise : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Donc pour $x\ne 1$, $f(x)=x-2$. Ainsi, $\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x-2)=-1$. On peut donc prolonger $f$ par continuité en posant $f(1)=-1$.

  ce que le barème veut ·

  Factoriser, calculer la limite en $1$, puis donner la valeur du prolongement continu.