Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

À tenir avant

• Étudier la continuité en un point

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale7 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[1,+\infty[$ par : $f(1)=\frac{1}{2} \quad \text{et pour tout } x\in]1,+\infty[,\ f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2-1}$ Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$.

  1. Montrer que $f$…
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  $f$ continue à droite en 1 ; $\lim_{+\infty} f=0$ (axe des abscisses asymptote) ; $\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1$ ; $f'_d(1)=-\frac12$ (tangente de pente $-1/2$) ; $f'(x)<0$ sur $]1,+\infty[$ donc $f$ strictement décroissante de $1/2$ à $0$ ; équation $f(x)=x-1$ admet une unique solution $\alpha\in]1,2]$ ; la suite $(a_n)$ converge vers $\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}\cdot\frac1{x-1}$ et la limite du taux d'accroissement de $\ln$ en 1 pour obtenir $\lim_{x\to1^+}f(x)=1/2=f(1)$.
  2. Croissances comparées : $\lim \ln(x)/(x^2-1)=0$, donc asymptote horizontale $y=0$. 3a) Poser $t=(x-1)^2$, donc $x=1+\sqrt t$, remplacer dans $\ln x/(x-1)$. 3b) Étudier $g(t)=-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)$, montrer $g'(t)\le0$ et $g'(t)\ge -\frac{1}{2(1+\sqrt t)}$... appliquer TAF entre 0 et t pour encadrer $g(t)/t$. 3c) Passer à la limite $t\to0^+$ (théorème des gendarmes) et revenir à l'égalité de 3a). 4a) Combiner les fractions en mettant au même dénominateur. 4b) Faire tendre $x\to1$, utiliser 3c) et 4a) pour obtenir le taux d'accroissement limite $=-1/2$. 5a) $I(x)$ et $J(x)$ sont des intégrales de fonctions positives sur $[1,x]$. 5b) Calculer directement les primitives. 5c) Dériver $f$ et réexprimer via $I$ et $J$ pour obtenir la formule. 5d) Utiliser signe de $I(x)-J(x)$ (5a) pour conclure $f'(x)<0$.
  3. Tableau de variations décroissant de $1/2$ à $0$; tracer la courbe avec l'asymptote $y=0$ et tangente en $x=1$.
  4. Étudier $h(x)=f(x)-x+1$, strictement décroissante, $h(1)>0$, $h(2)<0$, TVI donne unique solution $\alpha\in]1,2]$. 8a)…
• NATIONAL 2024 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)$.

  1. a) Vérifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. b) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=1-\ln\left(1-\dfrac{x}{e^x}\right)$. c) En déduire que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$, puis…
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  1. c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ : asymptote horizontale $y=1$ au voisinage de $+\infty$.
  2. a) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. c) $\lim_{x\to-\infty}f(x)/x=1$ : branche parabolique de direction $y=x$ en $-\infty$.
  3. c) $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]-1,0[$.
  4. a) Deux solutions $\alpha,\beta$ à $f(x)=x$.
  5. a) $g^{-1}$ définie sur $J=f(I)=]-\infty,1]$ (avec $f$ strictement croissante sur $I$). b) $(g^{-1})'(1)$ existe : $(g^{-1})'(1)=\dfrac{1}{g'(1)}$ à calculer via $f'(1)$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) $e^x-x>0$ toujours (partie I), donc $\ln(e^x-x)$ défini partout. b) $f(x)=x+1-\ln(e^x(1-xe^{-x}))=x+1-x-\ln(1-xe^{-x})=1-\ln(1-\dfrac{x}{e^x})$. c) Quand $x\to+\infty$, $x/e^x\to0$ donc $f(x)\to1-\ln1=1$; la droite $y=1$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
  2. a) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$, $-x\to+\infty$, donc $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)\to+\infty$ (calcul via forme équivalente). c) $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac1x-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln(1-\frac{e^x}{x})\to1$ quand $x\to-\infty$, donc branche parabolique de direction $y=x$.
  3. a) $f'(x)=1-\dfrac{e^x-1}{e^x-x}=\dfrac{e^x-x-e^x+1}{e^x-x}=\dfrac{1-x}{e^x-x}$. b) Comme $e^x-x>0$ toujours, signe de $f'(x)$ = signe de $(1-x)$ : $f'(x)>0$ pour $x<1$, $f'(x)<0$ pour $x>1$, $f'(1)=0$. $f$ croissante sur $]-\infty,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$, maximum $f(1)$. c) Sur $]-1,0[$, $f$ continue et strictement monotone (croissante), $f(-1)$ et $f(0)$ de signes opposés (calcul numérique), donc par TVI unique solution $\alpha$.
  4. a) Graphiquement, la courbe $(C_f)$ coupe la droite $y=x$ en deux points d'abscisses $\alpha,\beta$. b) Comme $f(\alpha)=\alpha$ et $f(\beta)=\beta$ :…
• NATIONAL 2024 · normale8 pts
  Partie I. On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb R$ par $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$.

  1. Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $(C_u)$ et $(C_v)$ des fonctions $u$ et $v$.
  2. Justifier graphiquement que $e^x-x>0$ pour tout $x$ de…
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  Partie I : $e^x-x>0$ car $(C_u)$ est toujours au-dessus de $(C_v)$ ; Aire $=e-\dfrac32$. Partie II : 1c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ : la droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(C_f)$ en $+\infty$. 2a) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$. 2c) $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$, et $f(x)-x\to-\infty$ : branche parabolique de direction $y=x$ en $-\infty$. 3a) $f'(x)=\dfrac{1-x}{e^x-x}$. 3b) $f'(x)>0$ sur $]-\infty,1[$, $f'(1)=0$, $f'(x)<0$ sur $]1,+\infty[$ : $f$ croissante sur $]-\infty,1]$ puis décroissante sur $[1,+\infty[$, maximum $f(1)=2-\ln(e-1)$. 3c) Solution unique dans $]-1,0[$ car $f$ strictement croissante avec $f(-1)<0<f(0)$. 4b) $e^\alpha-\alpha=e=e^\beta-\beta\Rightarrow e^\alpha-e^\beta=\alpha-\beta$. 5a) $J=\left]-\infty,\,2-\ln(e-1)\right]$. 5b) $(g^{-1})'(1)=1$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I. 2) Sur le graphique, la courbe $(C_u)$ (exponentielle) est toujours strictement au-dessus de la droite $(C_v)$ ($y=x$), donc $e^x-x>0$. 3) Aire $=\displaystyle\int_0^1(e^x-x)\,dx=\Big[e^x-\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1=\left(e-\dfrac12\right)-(1-0)=e-\dfrac32$ (en unités d'aire). Partie II. 1a) $e^x-x>0$ pour tout $x$ (Partie I), donc $\ln(e^x-x)$ est toujours défini : $f$ définie sur $\mathbb R$. 1b) $e^x-x=e^x(1-xe^{-x})$, donc $\ln(e^x-x)=x+\ln(1-xe^{-x})$. Ainsi $f(x)=x+1-x-\ln(1-xe^{-x})=1-\ln(1-xe^{-x})$. 1c) Quand $x\to+\infty$, $xe^{-x}\to0$ donc $\ln(1-xe^{-x})\to0$, donc $f(x)\to1$. Géométriquement, la droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(C_f)$ en $+\infty$. 2a) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$ et $-x\to+\infty$ donc $e^x-x\sim-x\to+\infty$, donc $\ln(e^x-x)\sim\ln(-x)\to+\infty$. Comme $x\to-\infty$ domine, $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)\to-\infty$. 2b) Pour $x<0$, $-x>0$ et $e^x-x=-x\left(1-\dfrac{e^x}{x}\right)$ (car $e^x-x = -x + e^x = -x(1 - e^x/x)$), donc $\ln(e^x-x)=\ln(-x)+\ln(1-e^x/x)$, d'où la formule. 2c) $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac1x-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln\left(1-\dfrac{e^x}{x}\right)$. Quand $x\to-\infty$, chaque terme sauf $1$ tend vers…
• NATIONAL 2023 · normale7 pts
  Partie I

  1. a) Montrer que $\forall t\in[0,+\infty[$ : $\dfrac{4}{(2+t)^2}\le \dfrac{1}{1+t}\le 1$.

  b) En déduire que $\forall x\in[0,+\infty[$ : $\dfrac{2x}{2+x}\le \ln(1+x)\le x$.

  2. Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$. Montrer…
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  I.1) Double inégalité vraie (égalité en $t=0$, différence de signe constant vérifiable par étude de fonction). b) Intégration de 0 à x de l'inégalité précédente : $\frac{2x}{2+x}\le\ln(1+x)\le x$. 2) $\lim_{x\to0^+}\frac{g(x)-1}{x}=-\frac12$ (par encadrement issu de I.1.b). II.1) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ : (C) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$. 2) f continue à droite en 0 ; $f'_d(0)=-\frac12$. 3) $f'(x)=\dfrac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$. 4) $-\frac12\le f'(x)<0$ sur $]0,+\infty[$ : f strictement décroissante de 1 à 0. 5) Tableau : f décroît de $f(0)=1$ vers 0 ; demi-tangente de pente $-\frac12$ en $x=0$. III.1) Existence et unicité de $\alpha$ solution de $f(x)=3x$ (théorème des valeurs intermédiaires + monotonie). 2) $u_n\ge0$ pour tout n ; $|u_{n+1}-\alpha|\le\frac16|u_n-\alpha|$ (TAF avec $|f'|\le\frac12$) ; $|u_n-\alpha|\le(1/6)^n|u_0-\alpha|\to0$ ; donc $(u_n)\to\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  I.1) Étudier la différence $\frac{1}{1+t}-\frac{4}{(2+t)^2}=\frac{(2+t)^2-4(1+t)}{(1+t)(2+t)^2}=\frac{t^2}{(1+t)(2+t)^2}\ge0$, et $1-\frac{1}{1+t}=\frac{t}{1+t}\ge0$. b) Intégrer les trois membres entre 0 et x (fonctions continues) : $\int_0^x\frac{4}{(2+t)^2}dt=\frac{2x}{2+x}$, $\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\ln(1+x)$, $\int_0^x dt=x$. 2) Diviser l'encadrement précédent (divisé par x) et faire tendre x vers 0, en utilisant $g(x)=\ln(1+x)/x$, pour obtenir l'encadrement de $(g(x)-1)/x$ tendant vers $-1/2$ par théorème des gendarmes. II.1) Utiliser $g(x)\to0$ quand $x\to+\infty$ (croissance comparée). Interprétation : asymptote horizontale $y=0$. 2) Continuité à droite : $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim g(x)=1=f(0)$. Le taux d'accroissement est celui de g étudié en I.2, donnant $f'_d(0)=-1/2$. 3) Dériver $g(x)=\ln(1+x)/x$ comme quotient. 4) Étudier le signe du numérateur $\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)$ à l'aide de l'inégalité classique $\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ et d'une majoration adaptée, puis diviser par $x^2>0$. 5) Construire le tableau de variations à partir du signe de f' (négatif) et des limites ; tracer la courbe avec la demi-tangente de coefficient directeur $-1/2$ en 0. III.1) Étudier…
• NATIONAL 2021 · normale2 pts
  Exercice 1 a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} + 3 = 0$ b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ c) Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$ d) Montrer que l'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une…
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  a) L'équation $e^{2x} + 3 = 0$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$ (car $e^{2x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$) b) L'ensemble des solutions de $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ est $(0, \ln 3)$ c) $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} = 2$ d) L'équation admet une solution dans $[-1, 0]$ par le théorème des valeurs intermédiaires

  ce que le barème veut ·

  a) On remarque que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{2x} > 0$, donc $e^{2x} + 3 > 3 > 0$. L'équation n'a pas de solution. b) Posons $u = e^x$. L'inéquation devient $u^2 - 4u + 3 < 0$, soit $(u-1)(u-3) < 0$. Cette inéquation est satisfaite pour $1 < u < 3$, c'est-à-dire $1 < e^x < 3$, donc $0 < x < \ln 3$. c) Par la règle de L'Hôpital ou développements limités : $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{e^x} = 2$ d) Considérons $f(x) = 2e^{2x} + e^x + 4x$. Alors :

  • $f(-1) = 2e^{-2} + e^{-1} - 4 \approx 0.27 + 0.37 - 4 < 0$
  • $f(0) = 2 + 1 + 0 = 3 > 0$

  Comme $f$ est continue et change de signe sur $[-1, 0]$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une solution.
• NATIONAL 2021 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $h(x) = x + \ln x$.

  1. Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Déterminer $h(]0; +\infty[)$.
  3. a) En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique…
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  1. La fonction $h$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. $h'(x) = 1 + \frac{1}{x}$. Pour tout $x \in ]0; +\infty[$, $1 > 0$ et $\frac{1}{x} > 0$, donc $h'(x) > 0$. Par conséquent, la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Puisque $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$, son image est l'intervalle $]\lim_{x \to 0^+} h(x); \lim_{x \to +\infty} h(x)[$. $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \ln x) = 0 + (-\infty) = -\infty$. $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$. Donc $h(]0; +\infty[) = ]-\infty; +\infty[ = \mathbb{R}$.
  3. a) La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$. De plus, $0 \in \mathbb{R} = h(]0; +\infty[)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0; +\infty[$. b) On calcule $h(1) = 1 + \ln(1) = 1 + 0 = 1$. On sait que $h(\alpha) = 0$. Puisque $h$ est strictement croissante et $h(\alpha) = 0 < h(1) = 1$, on en déduit que $\alpha < 1$. Pour montrer $0 < \alpha$, on peut évaluer $h(x)$ pour une valeur proche de 0, par exemple…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la dérivée $h'(x)$ et vérifier son signe sur $]0; +\infty[$.
  2. Calculer les limites de $h(x)$ aux bornes de l'intervalle de définition pour déterminer l'image.
  3. a) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. b) Évaluer $h(x)$ en des points pertinents (comme $x=1$) pour encadrer $\alpha$.
  4. a) Utiliser la définition de $h(x)$ et la relation $h(\alpha)=0$ pour simplifier l'expression. b) Utiliser l'inégalité $x + 1/x \ge 2$ pour $x>0$.
• NATIONAL 2021 · normale12 pts
  Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x) = nx - 2 + 4e^{-x}$ Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Partie I :

  1. a) Calculer…
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  Partie I :

  1. a) $\lim\limits_{x \to +\infty} (f_n(x) - nx + 2) = \lim\limits_{x \to +\infty} 4e^{-x} = 0$. Interprétation : la droite $y = nx - 2$ est asymptote à $(C_n)$ au voisinage de $+\infty$. b) En $-\infty$ : $\lim\limits_{x \to -\infty} (f_n(x) - nx) = \lim\limits_{x \to -\infty} (-2 + 4e^{-x}) = +\infty$. La droite $(A_n) : y = nx$ est asymptote à $(C_n)$ au voisinage de $-\infty$.
  2. a) $f_n'(x) = n - \frac{4e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ (par dérivation directe). b) La fonction $g(x) = \frac{4e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ atteint son maximum en $x = 0$ où $g(0) = 1$. Donc $\frac{4e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} \leq 1$ pour tout $x$, avec égalité seulement en $x = 0$. c) Si $n \leq 0$ : $f_n'(x) < 0$, donc $f_n$ est strictement décroissante. Si $n > 1$ : $f_n'(x) > 0$, donc $f_n$ est strictement croissante.
  3. a) $f_1(0) = -2 + 4 = 2$ et $f_1'(0) = 1 - 1 = 0$. L'équation de la tangente est $y = 2$. b) $f_n''(x) = \frac{4e^{-x}(1-e^{-x})}{(1+e^{-x})^3}$. Elle s'annule en $x = 0$ (changement de signe). $I(0, 2)$ est l'unique point d'inflexion.
  4. Graphiques : $(C_0)$ droite $y = -2 + 4e^{-x}$, $(C_1)$ courbe avec asymptotes $y = x - 2$ et $y = x$.
  5. a)…

  ce que le barème veut ·

  1. Asymptotes et limites : Calculer directement les limites de $f_n(x) - nx + 2$ et $f_n(x) - nx$.
  2. Dérivée et étude de variation : Dériver par les règles usuelles, montrer que le maximum de $\frac{4e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ est 1 (atteint en $x=0$), en déduire le signe de $f_n'(x)$ selon la valeur de $n$.
  3. Point d'inflexion : Calculer $f_n''(x)$, vérifier qu'elle change de signe en $x=0$ uniquement.
  4. Graphiques : Utiliser les asymptotes et les points particuliers.
  5. Intégrales : Intégrer $4e^{-x}$ entre 0 et $t$ ; passer à la limite $t \to +\infty$.
  6. Équation $f_1(x) = x$ : Résoudre algébriquement pour obtenir $\alpha = \ln 2$ ; montrer que $|f_1'(x)| < 1$ uniformément.
  7. Convergence de suite : Utiliser le théorème du point fixe avec contraction ($|f_1'| < 1$) ; majoration par série géométrique.
  8. Existence et unicité de $x_n$ : Monotonie stricte de $f_n$ et changement de signe.
  9. Décroissance de $(x_n)$ : Comparer $f_{n+1}(x_n)$ et $0$ ; utiliser la monotonie de $f_{n+1}$.
  10. Convergence et limite : Utiliser le théorème des suites monotones bornées ; encadrer $nx_n$ par l'équation $f_n(x_n) = 0$.
• NATIONAL 2021 · normale12 pts
  Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x) = nx - 2 + \frac{4e^x}{1 + e^x}$ Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Partie I : 1- a) Calculer…
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  Partie I : 1-a) $\lim\limits_{x \to +\infty} (f_n(x) - nx + 2) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{4e^x}{1+e^x} = 4$. La droite $y = nx - 2$ est asymptote à $(C_n)$ au voisinage de $+\infty$. 1-b) $(A_n) : y = nx$ est asymptote à $(C_n)$ en $-\infty$. 2-a) $f_n'(x) = n + \frac{4e^x(1+e^x) - 4e^x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = n + \frac{4e^x}{(1+e^x)^2}$. 2-b) Le maximum de $\frac{4e^x}{(1+e^x)^2}$ est atteint en $x = 0$ et vaut $1 < 1$. 2-c) Pour $n \geq 1$ : $f_n'(x) > 0$, donc $f_n$ strictement croissante. Pour $n < 1$ : même conclusion puisque la dérivée reste positive. 3-a) Tangente au point $I(0, 2)$ : $y = (n+1)x + 2$. 3-b) $f_n''(x) = \frac{4e^x(1+e^x)^2 - 8e^{2x}(1+e^x)}{(1+e^x)^4} = 0$ seulement en $x = 0$. Point d'inflexion unique. 5-a) $A(t) = \int_0^t \frac{4e^x}{1+e^x} dx = 4\ln\left(\frac{1+e^t}{2}\right)$. 5-b) $\lim\limits_{t \to +\infty} A(t) = +\infty$. Partie II : 1-a) $f_1(x) - x = -2 + \frac{4e^x}{1+e^x}$. Comme $0 < \frac{4e^x}{1+e^x} < 4$, l'équation admet une unique solution $\alpha$. 1-b) $|f_1'(x)| = |1 + \frac{4e^x}{(1+e^x)^2}| < 1 + 1 = 2$ mais en fait $f_1'(x) \in (1, 2)$. Correction : le maximum de la dérivée donne $f_1'(x) < 2$ partout,…

  ce que le barème veut ·

  Partie I : 1-a) Écrire $\frac{4e^x}{1+e^x} = \frac{4}{e^{-x}+1}$. Quand $x \to +\infty$, $e^{-x} \to 0$, donc $\frac{4e^x}{1+e^x} \to 4$. 1-b) Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $f_n(x) \sim nx$. L'asymptote est $y = nx$. 2-a) Dériver directement : $f_n'(x) = n + \frac{d}{dx}\left(\frac{4e^x}{1+e^x}\right)$. Utiliser la quotient rule. 2-b) Poser $u = e^x > 0$. Maximiser $g(u) = \frac{4u}{(1+u)^2}$ : $g'(u) = \frac{4(1+u)^2 - 8u(1+u)}{(1+u)^4} = \frac{4(1-u)}{(1+u)^3}$, maximum en $u=1$ (i.e. $x=0$), $g(1) = 1$. 2-c) Puisque $f_n'(x) = n + \epsilon(x)$ avec $0 < \epsilon(x) < 1$, on a $f_n'(x) > n > 0$ pour tous $n$. Donc $f_n$ strictement croissante. 3-a) Équation : $y - f_n(0) = f_n'(0)(x - 0)$. $f_n(0) = 2$, $f_n'(0) = n + 1$. D'où $y = (n+1)x + 2$. 3-b) Calculer $f_n''(x)$ et montrer qu'elle ne s'annule qu'en $x=0$. 5-a) $A(t) = \int_0^t \frac{4e^x}{1+e^x} dx$. Poser $v = 1+e^x$, $dv = e^x dx$. Intégrale devient $4\ln(1+e^x)|_0^t$. 5-b) Quand $t \to +\infty$, $\ln(1+e^t) \to t$ asymptotiquement, donc la limite diverge. Partie II : 1-a) Montrer que $f_1(x) - x$ change de signe (ex. $f_1(0) - 0 = 2 > 0$, $f_1(-2) - (-2) < 0$). Unicité par stricte…