Étudier le signe de f′

À tenir avant

• Dériver un produit, un quotient, une composée

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  Exercice 1 (3 points) : On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{4u_n - 2}{1+u_n}$ , pour tout entier naturel $n$

  1. a) Vérifier que $u_{n+1} = 4 - \dfrac{6}{1+u_n}$ , pour tout entier naturel $n$ b) Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$,…
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  1. a) $u_{n+1} = 4 - \dfrac{6}{1+u_n}$ est vérifiée. b) La propriété $2 \le u_n \le 4$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. a) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$ est vérifiée. b) La suite $(u_n)$ est décroissante et convergente.
  3. a) $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$. b) $u_n = 1 + \dfrac{1}{v_n}$ est vérifiée. c) $\lim_{n\to\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Réduire au même dénominateur l'expression donnée pour $u_{n+1}$. b) Utiliser la récurrence en vérifiant l'initialisation et l'hérédité. 2) a) Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et simplifier. b) Déduire le sens de variation de $(u_n)$ à partir du signe de $u_{n+1} - u_n$ et conclure sur la convergence. 3) a) Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. b) Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ à partir de la définition de $v_n$. c) Calculer la limite de $v_n$ puis celle de $u_n$.
• NATIONAL 2023 · normale11 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. a) Vérifier que pour tout $x\in]0,+\infty[$ :…
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  1c) $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ : asymptote verticale $x=0$. 1d) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; branche parabolique de direction $(Ox)$. 3a) $f$ strictement croissante sur $]0,+\infty[$. 3c) Points d'inflexion aux abscisses où $f''$ change de signe (deux points d'inflexion). 6c) Aire $=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$ cm². 7c) $(u_n)$ converge vers $1$ (point fixe de $f$ dans $[\alpha,1]$, avec $f(1)=1$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Dériver $f$ directement et réduire au même dénominateur. 1b) Poser $t=\sqrt x$, utiliser croissances comparées : $t^2(\ln t^2)^2\to0$ quand $t\to0$. 1c) $\frac{2}{x}\to+\infty$ domine, donc $f(x)\to+\infty$ ; interprétation : asymptote verticale d'équation $x=0$. 1d) $\frac{2}{x}\to0$, $(1-\ln x)^2\to+\infty$ mais $\frac{f(x)}{x}\to0$ (croissances comparées) donc branche parabolique de direction $(Ox)$. 2) Simplifier l'expression de 1a) en factorisant. 3a) Signe de $f'$ déduit du tableau (numérateur positif car fonction croissante puis f'(1)=0 minimum nul), donc $f'\ge0$ sur tout l'intervalle, $f$ croissante. 3b) $f''$ s'obtient en dérivant $f'$, signe donné par le tableau fourni (change de signe autour de deux valeurs). 3c) Concavité : convexe où $f''>0$, concave où $f''<0$; les points d'inflexion sont aux valeurs où $f''$ s'annule en changeant de signe. 4a) Lecture graphique : $g<0$ sur $]0,\alpha[$... $g(x)>0$ sur $]0,\alpha[\cup]1,+\infty[$ et $g<0$ sur $]\alpha,1[$ (d'après courbe). 4b) $g(x)=f(x)-x$ donc signe de $g$ donne position relative de $(C)$ et $(\Delta)$: $g<0 \Rightarrow f(x)<x \Rightarrow (C)$ en dessous ; $g>0\Rightarrow(C)$ au dessus. 6a) Dériver $2x-x\ln x$…
• NATIONAL 2021 · normale12 pts
  Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x) = nx - 2 + \frac{4e^x}{1 + e^x}$ Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Partie I : 1- a) Calculer…
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  Partie I : 1-a) $\lim\limits_{x \to +\infty} (f_n(x) - nx + 2) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{4e^x}{1+e^x} = 4$. La droite $y = nx - 2$ est asymptote à $(C_n)$ au voisinage de $+\infty$. 1-b) $(A_n) : y = nx$ est asymptote à $(C_n)$ en $-\infty$. 2-a) $f_n'(x) = n + \frac{4e^x(1+e^x) - 4e^x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = n + \frac{4e^x}{(1+e^x)^2}$. 2-b) Le maximum de $\frac{4e^x}{(1+e^x)^2}$ est atteint en $x = 0$ et vaut $1 < 1$. 2-c) Pour $n \geq 1$ : $f_n'(x) > 0$, donc $f_n$ strictement croissante. Pour $n < 1$ : même conclusion puisque la dérivée reste positive. 3-a) Tangente au point $I(0, 2)$ : $y = (n+1)x + 2$. 3-b) $f_n''(x) = \frac{4e^x(1+e^x)^2 - 8e^{2x}(1+e^x)}{(1+e^x)^4} = 0$ seulement en $x = 0$. Point d'inflexion unique. 5-a) $A(t) = \int_0^t \frac{4e^x}{1+e^x} dx = 4\ln\left(\frac{1+e^t}{2}\right)$. 5-b) $\lim\limits_{t \to +\infty} A(t) = +\infty$. Partie II : 1-a) $f_1(x) - x = -2 + \frac{4e^x}{1+e^x}$. Comme $0 < \frac{4e^x}{1+e^x} < 4$, l'équation admet une unique solution $\alpha$. 1-b) $|f_1'(x)| = |1 + \frac{4e^x}{(1+e^x)^2}| < 1 + 1 = 2$ mais en fait $f_1'(x) \in (1, 2)$. Correction : le maximum de la dérivée donne $f_1'(x) < 2$ partout,…

  ce que le barème veut ·

  Partie I : 1-a) Écrire $\frac{4e^x}{1+e^x} = \frac{4}{e^{-x}+1}$. Quand $x \to +\infty$, $e^{-x} \to 0$, donc $\frac{4e^x}{1+e^x} \to 4$. 1-b) Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $f_n(x) \sim nx$. L'asymptote est $y = nx$. 2-a) Dériver directement : $f_n'(x) = n + \frac{d}{dx}\left(\frac{4e^x}{1+e^x}\right)$. Utiliser la quotient rule. 2-b) Poser $u = e^x > 0$. Maximiser $g(u) = \frac{4u}{(1+u)^2}$ : $g'(u) = \frac{4(1+u)^2 - 8u(1+u)}{(1+u)^4} = \frac{4(1-u)}{(1+u)^3}$, maximum en $u=1$ (i.e. $x=0$), $g(1) = 1$. 2-c) Puisque $f_n'(x) = n + \epsilon(x)$ avec $0 < \epsilon(x) < 1$, on a $f_n'(x) > n > 0$ pour tous $n$. Donc $f_n$ strictement croissante. 3-a) Équation : $y - f_n(0) = f_n'(0)(x - 0)$. $f_n(0) = 2$, $f_n'(0) = n + 1$. D'où $y = (n+1)x + 2$. 3-b) Calculer $f_n''(x)$ et montrer qu'elle ne s'annule qu'en $x=0$. 5-a) $A(t) = \int_0^t \frac{4e^x}{1+e^x} dx$. Poser $v = 1+e^x$, $dv = e^x dx$. Intégrale devient $4\ln(1+e^x)|_0^t$. 5-b) Quand $t \to +\infty$, $\ln(1+e^t) \to t$ asymptotiquement, donc la limite diverge. Partie II : 1-a) Montrer que $f_1(x) - x$ change de signe (ex. $f_1(0) - 0 = 2 > 0$, $f_1(-2) - (-2) < 0$). Unicité par stricte…
• NATIONAL 2020 · rattrapage13 pts
  Première partie : On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0,1]$ par $f(x) = x \ln(2-x)$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

  1. a) Montrer que $f$ est dérivable sur $I$ et que : $\forall x \in I$,…
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  Première partie :

  1. a) $f'(x) = \ln(2-x) + x \cdot \frac{-1}{2-x} = \ln(2-x) - \frac{x}{2-x}$ b) $f''(x) = -\frac{1}{2-x} - \frac{(2-x) + x}{(2-x)^2} = -\frac{1}{2-x} - \frac{2}{(2-x)^2} < 0$ sur $I$, donc $f'$ est strictement décroissante. c) $f'(0) = \ln 2 > 0$ et $f'(1) = \ln 1 - 1 = -1 < 0$. Par théorème des valeurs intermédiaires et stricte décroissance, il existe unique $\alpha \in ]0,1[$ avec $f'(\alpha) = 0$.
  2. a) $f$ croissante sur $[0,\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha,1]$. Max en $\alpha$. b) $f''(x) < 0$ sur $I$ (voir 1b), donc $(C)$ concave. c) et d) Par intégration et inégalités sur le logarithme.
  3. Représentation graphique.
  4. Aire $= \left| \int_0^1 x\ln(2-x) dx \right| = [x \cdot 2\ln(2-x) - \ldots]_0^1 = 4 \text{ cm}^2$ (après intégration par parties).

  Deuxième partie :

  1. a) $f_n(x) = x^n \ln(2-x) \geq 0$ puisque $x \in [0,1]$ et $\ln(2-x) \geq 0$. $f_n(0) = 0$ et $f_n(1) = 1 \cdot \ln 1 = 0$ ✓ b) Par théorème de Rolle.
  2. a) $f_n'(x) = nx^{n-1}\ln(2-x) + x^n \cdot \frac{-1}{2-x} = x^{n-1}[n\ln(2-x) - \frac{x}{2-x}] = x^{n-1} g_n(x)$ ✓ b) $g_n'(x) = -\frac{n}{2-x} - \frac{(2-x) + x}{(2-x)^2} < 0$ donc $g_n$…

  ce que le barème veut ·

  Première partie : Q1a : Dérivée du produit : $f'(x) = 1 \cdot \ln(2-x) + x \cdot \frac{d}{dx}[\ln(2-x)] = \ln(2-x) - \frac{x}{2-x}$. Q1b : Calculer $f''(x)$ : $f''(x) = -\frac{1}{2-x} - \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{2-x}\right] = -\frac{1}{2-x} - \frac{(2-x) - x(-1)}{(2-x)^2} = -\frac{1}{2-x} - \frac{2}{(2-x)^2} < 0$ Donc $f'$ strictement décroissante. Q1c : Évaluer $f'$ aux bornes : $f'(0) = \ln 2 > 0$ et $f'(1) = 0 - 1 = -1 < 0$. TVI + monotonie stricte $\Rightarrow$ unicité de $\alpha$. Q2a : Tableau : croissante sur $[0,\alpha]$, max en $\alpha$, décroissante sur $[\alpha,1]$. Q2b : Déjà établi : $f''(x) < 0$ partout $\Rightarrow$ concavité. Q2c-d : Logarithme négatif sur $(0,1)$ pour $2-x > 1$ ; intégration par parties ou majoration. Q4 : Aire $= \int_0^1 |f(x)| dx = \int_0^1 x\ln(2-x) dx$. IPP : $u=x$, $dv = \ln(2-x)dx$ donne résultat numérique. Deuxième partie : Q1a : $x^n \geq 0$ et $\ln(2-x) \geq 0$ pour $x \in [0,1]$. Q1b : $f_n(0) = f_n(1) = 0$ et $f_n > 0$ sur $]0,1[$ $\Rightarrow$ Théorème de Rolle. Q2a : Produit : $f_n'(x) = nx^{n-1}\ln(2-x) + x^n \cdot (-\frac{1}{2-x})$. Factoriser $x^{n-1}$. Q2b :…
• NATIONAL 2018 · rattrapage10 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{x}(\ln x) \text{ pour } x>0 \quad \text{et} \quad f(0)=0$ On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. 1.a) Montrer que $f$ est…
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  1.a) Pour $x>0$, on écrit $f(x)=\frac{\ln x}{1/\sqrt{x}}$. Quand $x\to 0^+$, $\ln x\to-\infty$ et $1/\sqrt{x}\to+\infty$. Par la règle de l'Hôpital : $\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/(2x^{3/2})}=\lim_{x\to 0^+}-2\sqrt{x}=0=f(0)$ Donc $f$ est continue à droite en $0$. 1.b) $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\ln x=+\infty$ car $\sqrt{x}\to+\infty$ et $\ln x\to+\infty$. 1.c) $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0$ (croissance logarithmique plus lente que la racine). $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$. Interprétation : La courbe monte vers l'infini mais plus lentement que $\sqrt{x}$, et la droite $y=0$ est une asymptote oblique. 2.a) Le nombre dérivé à droite en $0$ est : $f'_d(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{h}\ln h}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\ln h}{\sqrt{h}}=-\infty$ La fonction n'est pas dérivable à droite en $0$. Interprétation : La courbe a une tangente verticale en $0$. 2.b) Pour $x>0$, $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables.…

  ce que le barème veut ·

  1.a) Réécrire $f(x)$ en forme indéterminée $\frac{\ln x}{1/\sqrt{x}}$ et appliquer la règle de l'Hôpital ou directement dériver pour obtenir la limite. 1.b) Reconnaître que le produit $\sqrt{x}\ln x$ tend vers l'infini quand $x\to\infty$. 1.c) Pour $\frac{f(x)}{x}=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$, utiliser que la croissance logarithmique est plus lente que polynomiale. Pour $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\ln x$, c'est direct. Interpréter en termes d'asymptote. 2.a) Former le taux d'accroissement $\frac{f(h)}{h}=\frac{\ln h}{\sqrt{h}}$ et montrer qu'il tend vers $-\infty$. 2.b) Dériver le produit : $f'(x)=(\sqrt{x})'\ln x+\sqrt{x}(\ln x)'$. 2.c) Résoudre $f'(x)=0$, étudier le signe de $f'$, dresser le tableau de variations. Identifier le minimum. 2.d) Utiliser le tableau de variations et les points clés : $(0,0)$, $(e^{-2},f(e^{-2}))$, $(1,0)$. 3.a) Appliquer le théorème fondamental du calcul : $F$ est la primitive de $f$ continue sur $]0,\infty[$, donc dérivable. 3.b) $F'(x)=f(x)$ par construction. Analyser le signe de $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ pour déterminer la monotonie de $F$. 4.a) Intégration par parties classique : poser $u=\ln t$,…
• NATIONAL 2017 · normale1 pts
  I- Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$ par : $g(x) = x^2+x-2 + 2\ln x$ 0.25 1) Vérifier que $g(1)=0$ 1 2) A partir du tableau de variations de la fonction $g$ ci-dessous : | $x$ | $0$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $g'(x)$ | | $+$ | | |…
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  1. $g(1) = 1^2 + 1 - 2 + 2\ln(1) = 1 + 1 - 2 + 0 = 0$.
  2. D'après le tableau de variations, $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$. Puisque $g(1)=0$:
     • Pour $x \in ]0, 1]$, comme $g$ est croissante, $g(x) \le g(1)$, donc $g(x) \le 0$.
     • Pour $x \in [1, +\infty[$, comme $g$ est croissante, $g(x) \ge g(1)$, donc $g(x) \ge 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. Substituer $x=1$ dans l'expression de $g(x)$.
  2. Utiliser le sens de variation de $g$ et la valeur de $g(1)$ pour déduire les signes de $g(x)$ sur les intervalles donnés.
• NATIONAL 2017 · rattrapage10 pts
  Partie 1 Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = [0, +\infty[$ par : $f(0) = 1 \text{ et } \forall x \in ]0, +\infty[ \quad f(x) = \frac{1}{x}\int_0^x \arctan(t) \, dt$ 1. Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$. 2.a) Soit $x \in I$. Montrer…
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  Partie 1 1. $f$ est continue par le théorème de continuité sous l'intégrale et par continuité des intégrales. 2.a) Pour $t \in [0, x]$ : $1 + t \geq 1$ et $1 + t \leq 1 + x$, donc $\frac{1}{1+x} \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$. 2.b) Intégrer les inégalités de 2.a) : $\int_0^x \frac{1}{1+x} dt \leq \int_0^x \arctan(t) \, dt \leq \int_0^x 1 \, dt$ donne $\frac{x}{1+x} \leq \int_0^x \arctan(t) \, dt \leq x$. 2.c) $f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \arctan(t) \, dt - x}{x^2}$. Par DL : $\arctan(t) \approx t$, donc $\int_0^x \arctan(t) \, dt \approx \frac{x^2}{2}$, d'où $f'_d(0) = 0$. 3.a) Par la formule de dérivation : $f'(x) = \frac{\arctan(x)}{x} - \frac{1}{x^2}\int_0^x \arctan(t) \, dt = \frac{\arctan(x)}{x} - \frac{f(x)}{x}$ 3.b) $f'(x) = \frac{\arctan(x) - f(x)}{x}$. Depuis 2.b), $f(x) < \arctan(x)$, donc $f'(x) > 0$. Donc $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$. Partie 2 1.a) Par 2.b) Partie 1 : $f(x) < 1$. Donc $g(x) = \frac{1}{x}\int_0^x f(t) \, dt < \frac{1}{x} \int_0^x 1 \, dt = 1$ et $g(x) > \frac{1}{x}\int_0^x f(x) \, dt = f(x)$ (car $f$ est croissante). 1.b) $g$ dérivable à droite en 0…

  ce que le barème veut ·

  Partie 1 — Analyse de $f$ Question 1 : Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégral et composition de fonctions continues. Question 2.a : Inégalités élémentaires sur $\frac{1}{1+t}$. Question 2.b : Intégrer 2.a) pour obtenir l'encadrement de $\arctan(x)$. Question 2.c : Évaluer $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x}$. Utiliser DL : $\arctan(t) \sim t$ quand $t \to 0$, donc $\int_0^x \arctan(t) \, dt \sim \frac{x^2}{2}$. Question 3.a : Utiliser la règle de Leibniz : si $F(x) = \int_0^x h(t) \, dt$, alors $\frac{d}{dx}\left[\frac{F(x)}{x}\right] = \frac{xh(x) - F(x)}{x^2}$. Question 3.b : Montrer $f'(x) > 0$ en utilisant 2.b). Donc $f$ croissante. Partie 2 — Analyse de $g$ Question 1.a : Encadrer $f$ puis intégrer pour encadrer $g$. Question 1.b : Calculer $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)-1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x f(t) \, dt}{x^2}$. Par DL : $f(t) \approx 1 - \text{o}(1)$, donc l'intégrale $\sim \frac{x}{1}$. Question 2 : Appliquer la règle de Leibniz. Vérifier que $f(x) < g(x)$ depuis 1.a). Question 3 : Montrer $g'(x) < 0$ donc $g$ décroissante. Question 4.a : Montrer $\int_0^x \arctan(t) \, dt$ converge, donc…
• NATIONAL 2017 · rattrapage4 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = [0,+\infty[$ par : $f(0)=1 \quad \text{et} \quad \forall x\in ]0,+\infty[ \quad f(x) = \frac{\arctan(x)}{x}$ 1- Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ 2-a) Soit $x$ dans $I$.Montrer que :…
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  1. $f$ est continue sur $]0, +\infty[$ comme quotient de fonctions continues. En $x=0$ : $\lim_{x \to 0^+} \frac{\arctan(x)}{x} = 1$ (limite classique) $= f(0)$, donc $f$ est continue en $0$. Par suite, $f$ est continue sur $[0, +\infty[$. 2.a) Pour $t \in [0,x]$, on a $0 \leq t \leq x$, donc $0 \leq t^2 \leq x^2$. Par conséquent, $1 \leq 1+t^2 \leq 1+x^2$. En prenant l'inverse, on obtient $\frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{1+t^2} \leq 1$. 2.b) En intégrant l'inégalité précédente de $0$ à $x$ (pour $x \geq 0$): $\int_0^x \frac{1}{1+x^2} dt \leq \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt \leq \int_0^x 1 dt$ $\frac{x}{1+x^2} \leq [\arctan(t)]_0^x \leq x$ $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x) \leq x$. 2.c) Pour montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$, on étudie la limite de $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\frac{\arctan(x)}{x} - 1}{x} = \frac{\arctan(x)-x}{x^2}$ quand $x \to 0^+$. En utilisant le développement limité de $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$, on a $\frac{x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) - x}{x^2} = \frac{-\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^2} = -\frac{x}{3} + o(x)$. La limite est $0$. Donc $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=0$. 3.a) Pour $x \in ]0, +\infty[$,…

  ce que le barème veut ·

  1. Vérifier la continuité sur $]0, +\infty[$ et en $0$. 2.a) Partir de $0 \leq t \leq x$ et manipuler les inégalités. 2.b) Intégrer l'inégalité de 2.a) de $0$ à $x$. 2.c) Calculer la limite du taux d'accroissement en $0$ en utilisant un développement limité. 3.a) Calculer la dérivée de $f(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient. 3.b) Étudier le signe de $f'(x)$ en introduisant une fonction auxiliaire et en étudiant ses variations.