Calculer un nombre dérivé par la définition

À tenir avant

• Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

3 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage6 pts
  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f_n(0)=0 \quad \text{et} \quad \forall x\in\,]0,+\infty[,\ f_n(x)=x-x^n\ln x$ On note $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère…
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  1-a) continue à droite en 0 car $\lim_{x\to0^+}f_n(x)=0=f_n(0)$. b) $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)/x=-\infty$ : branche parabolique de direction asymptotique verticale (axe des ordonnées). c) ${f_n}'_d(0)=1$. d) formule donnée. e) croissante sur $[0,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$. 2-a),b) $f_{n+1}\leq f_n$ sur $]0,+\infty[$, donc $(C_{n+1})$ est en dessous de $(C_n)$. 3) existence-unicité de $\alpha_n$ dans $]1,2[$; suite $(\alpha_n)$ strictement décroissante donc convergente. 4) $1\leq \ell\leq 2$; si $\ell>1$, la limite vaut $0$ ce qui contredit $n-1\to+\infty$, donc $\ell=1$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Calculer $\lim_{x\to0^+} x^n\ln x=0$ (croissances comparées), donc $f_n(x)\to0=f_n(0)$. b) Factoriser $f_n(x)=x(1-x^{n-1}\ln x)$; comme $n\geq2$, $x^{n-1}\ln x\to+\infty$ donc $f_n(x)\to-\infty$; pour le rapport diviser par $x$: $1-x^{n-1}\ln x\to-\infty$. Interprétation : branche parabolique de direction $(Oy)$. c) Taux d'accroissement $\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}=1-x^{n-1}\ln x\to1$ quand $x\to0^+$. d) Dériver $x-x^n\ln x$ : $f_n'(x)=1-nx^{n-1}\ln x-x^{n-1}=1-x^{n-1}(n\ln x+1)$. e) Étudier le signe de $f_n'(x)$ : positif sur $]0,1[$, nul en $1$, négatif sur $]1,+\infty[$ (étude de $g(x)=n\ln x+1$ croissante s'annulant en $x=e^{-1/n}<1$... utiliser le tableau de variations donné par le corrigé): conclusion croissante puis décroissante avec max en $x=1$. 2-a) Étudier $f_n(x)-f_{n+1}(x)=x^{n+1}\ln x - x^n\ln x = x^n\ln x(x-1)$, signe : pour $x\geq1$, $\ln x\geq0$ et $x-1\geq0$ donc produit $\geq0$; pour $0<x\leq1$, $\ln x\leq0$, $x-1\leq0$, produit $\geq0$. Donc $f_{n+1}(x)\leq f_n(x)$. b) $(C_{n+1})$ est au-dessous de $(C_n)$. 3-a) $f_n$ continue strictement décroissante sur $[1,+\infty[$, $f_n(1)=1>0$, $f_n(2)=2-2^n\ln2<0$ pour $n\geq2$ : TVI donne unique…
• NATIONAL 2015 · normale3 pts
  On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $[0, +\infty[$ par : $g(0) = \ln 2 \quad \text{et} \quad g(x) = \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt \quad \text{pour } x > 0$ 1- a) Montrer que :…
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  1- a) Pour $t \in [x, 2x]$ avec $x > 0$, on a $x \leq t \leq 2x$. Comme l'exponentielle est strictement croissante, $e^x \leq e^t \leq e^{2x}$. ✓ b) Par la monotonie de l'intégrale : $\int_x^{2x} e^x \, dt < \int_x^{2x} e^t \, dt < \int_x^{2x} e^{2x} \, dt$ $e^x (2x - x) < g(x) < e^{2x}(2x - x)$ $e^x \cdot x < g(x) < e^{2x} \cdot x$ Correction : On doit avoir $e^x \int_x^{2x} \frac{dt}{t} < g(x) < e^{2x} \int_x^{2x} \frac{dt}{t}$, soit $e^x \ln 2 < g(x) < e^{2x} \ln 2$. ✓ c) $\lim_{x \to 0^+} e^x \ln 2 = \ln 2$ et $\lim_{x \to 0^+} e^{2x} \ln 2 = \ln 2$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \ln 2 = g(0)$. Donc $g$ est continue à droite en $0$. ✓ 2- Pour $x > 0$, appliquer la règle de Leibniz (dérivée d'une intégrale à bornes variables) : $g'(x) = \frac{d}{dx} \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt = \frac{e^{2x}}{2x} \cdot 2 - \frac{e^x}{x} \cdot 1 = \frac{e^{2x}}{x} - \frac{e^x}{x} = \frac{e^{2x} - e^x}{x}$ Donc $g'(x) = \frac{e^x(e^x - 1)}{x}$ pour $x > 0$. ✓ 3- a) Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $h(t) = e^t$ sur $[0, t]$ (pour $t > 0$) : $\exists c \in (0, t) : h(t) - h(0) = h'(c)(t - 0)$…

  ce que le barème veut ·

  Inégalités avec exponentielle : Exploiter la croissance stricte de $e^t$ pour comparer les valeurs à différents points. Monotonie de l'intégrale : Si $f(t) \leq g(t)$ pour tout $t \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(t) \, dt \leq \int_a^b g(t) \, dt$. Théorème des gendarmes : Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$. Continuité via limite : Montrer $\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$ pour la continuité à droite en $c$. Dérivée d'une intégrale paramétrique (règle de Leibniz) : $\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t, x) \, dt = \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(t, x) \, dt + f(b(x), x) b'(x) - f(a(x), x) a'(x)$ Pour le cas particulier $g(x) = \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt$ (sans dépendance en $x$ dans l'intégrande) : $g'(x) = \frac{e^{2x}}{2x} \cdot 2 - \frac{e^x}{x} \cdot 1$ Théorème des accroissements finis (TAF) : Si $h$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, alors $\exists c \in (a, b) : h'(c) = \frac{h(b) - h(a)}{b - a}$. Encadrement et dérivabilité : Pour montrer la dérivabilité à droite, montrer que $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{x}$ existe. Utiliser des encadrements pour le…
• NATIONAL 2012 · normale4 pts
  EXERCICE 5 : (4.5points) On considère la fonction numérique $F$ définie sur $[0,1]$ par: $F(0)=1$ et $F(x) = \frac{1}{x^2} \int_0^x \frac{\ln(1+2t)}{2t} dt$ si $x > 0$

  1. Soit $x$ un élément de $[0,1]$ ; Montrer que pour tout $t$ de$[0,x]$ on a :…
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  1. Pour $0 \le t \le x \le 1$, on a $0 \le 2t \le 2x \le 2$. Donc $1 \le 1+2t \le 1+2x$. En prenant l'inverse, on obtient $\frac{1}{1+2x} \le \frac{1}{1+2t} \le 1$.
  2. a- L'énoncé original est incorrect. La fonction $F(x)$ est définie par $F(x) = \frac{1}{x^2} \int_0^x \frac{\ln(1+2t)}{2t} dt$. La question 2a demande de montrer $F(x) = \frac{2}{x^2} \int_0^x \frac{t}{1+2t} dt$, ce qui est une erreur de l'énoncé. En supposant que la question 2a est une erreur et que la définition de $F(x)$ est celle donnée au début de l'exercice. b- En utilisant l'inégalité de la question 1, on a $\frac{1}{1+2x} \le \frac{1}{1+2t} \le 1$. En intégrant de $0$ à $x$: $\int_0^x \frac{1}{1+2x} dt \le \int_0^x \frac{1}{1+2t} dt \le \int_0^x 1 dt$. Cela donne $\frac{x}{1+2x} \le \frac{1}{2}\ln(1+2x) \le x$. Multipliant par $\frac{2}{x^2}$, on obtient $\frac{2}{x(1+2x)} \le \frac{\ln(1+2x)}{x^2} \le \frac{2}{x}$. Ceci n'est pas directement lié à $F(x)$ tel que défini. L'énoncé original est mal retranscrit. La question 2b est probablement liée à une autre définition de $F(x)$. Si $F(x) = \frac{1}{x^2} \int_0^x \frac{2t}{1+2t} dt$, alors en utilisant l'inégalité de la question 1,…

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser les propriétés des inégalités pour encadrer $\frac{1}{1+2t}$.
  2. a. L'énoncé est incorrect. La question 2a est mal retranscrite.
  3. b. Utiliser l'encadrement de la question 1 et le théorème des gendarmes pour la continuité.
  4. Appliquer la formule d'intégration par parties. L'énoncé est incorrect.
  5. a. L'énoncé est incorrect.
  6. b. L'énoncé est incorrect.
  7. c. L'énoncé est incorrect.
  8. d. L'énoncé est incorrect.
• TYPE BAC3 pts
  Étudier la dérivabilité en 0 de $f$ définie par $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $[0,+\infty[$ ($f(0)=0$).
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  Le taux d'accroissement en 0 : (f(x)-f(0))/(x-0) = x racine(x)/x = racine(x) pour x>0, qui tend vers 0 quand x -> 0+. Donc f est dérivable à droite en 0 et f'(0) = 0 ; la courbe admet une demi-tangente horizontale en O.

  ce que le barème veut · Former le taux d'accroissement (f(x)-f(0))/(x-0) et calculer sa limite : la dérivabilité en 0 équivaut à l'existence de cette limite finie.
• TYPE BAC2 pts
  Soit $f(x)=x^2-4x+1$. Calculer le nombre dérivé de $f$ en $x=2$.
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  Comme $f$ est un polynôme, elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2x-4$. Donc $f'(2)=2\times 2-4=0$.

  ce que le barème veut · Application directe de la formule de dérivation d’un polynôme.
• TYPE BAC2 pts
  En utilisant le Théorème des Accroissements Finis (TAF), montrer qu'il existe un réel $c \in (1, 2)$ tel que $f'(c) = 7$ pour la fonction $f(x) = x^3$ sur l'intervalle $[1, 2]$.
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  L'existence de $c$ est garantie par le Théorème des Accroissements Finis.

  ce que le barème veut ·

  1. Vérifier les conditions d'application du TAF. 2. Calculer le taux d'accroissement $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 3. Conclure par le TAF.
• TYPE BAC3 pts
  Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ en $x_0 = 1$.
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  $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$. 2. Conclure sur la dérivabilité et la valeur de la dérivée.
• TYPE BAC4 pts
  Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $$f(x)=\begin{cases} x\sqrt{x} & \text{si } x>0,\\ 0 & \text{si } x=0. \end{cases}$$

  1. Étudier la dérivabilité à droite de $f$ en $0$.
  2. Déterminer une équation de la demi-tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
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  1. On calcule le nombre dérivé à droite en $0$ :

  $\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0.$ Donc $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=0.$

  2. Comme $f(0)=0$ et $f'_d(0)=0$, la demi-tangente en $0$ a pour équation

  $y=0.$

  ce que le barème veut ·

  Utiliser la définition du nombre dérivé à droite en $0$ puis l'équation de la demi-tangente $y=f(0)+f'_d(0)(x-0)$.