Calculer les limites aux bornes du domaine

À tenir avant

• Déterminer le domaine de définition
• Factoriser par le terme dominant

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage7 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.

  1. a) Calculer $f(0)$ et vérifier que $f(x)<0$, pour tout $x\in\mathbb{R}$. b) Déterminer…
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  1. a) $f(0)=1-2\ln2<0$ ; $f(x)<0$ pour tout $x$ (résultat de la partie I 1)c)). b) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ ; asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$. c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ ; branche infinie (pas d'asymptote horizontale).
  2. a),b) formules de $f'$ vérifiées par calcul. c) $f'(x)<0$ pour tout $x$ (d'après I 1)c)), donc $f$ strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
  3. a) $(T): y=f'(0)x+f(0)$ avec $f'(0)=-\ln2$, $f(0)=1-2\ln2$, donc $(T): y=-\ln2\, x+1-2\ln2$. b) On vérifie que le point donné appartient à $(T)$ par substitution. c) Construction graphique.
  4. a) $f$ continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ donc bijective de $\mathbb{R}$ sur $J=f(\mathbb{R})=(-\infty,0)$ (car $\lim_{-\infty}f=0$, $\lim_{+\infty}f=-\infty$, en fait $J=]-\infty,0[$). b) $(f^{-1})'(\ln 2)$... (note: $\ln 2>0$ n'est pas dans $J$, il s'agit probablement d'une valeur $f(0)$ ; selon corrigé) $(f^{-1})'(f(0))=\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac{1}{-\ln2}=-\dfrac{1}{\ln2}$.
  5. a) Identité vérifiée directement. b) $\int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x}dx = \lambda-\ln(1+e^\lambda)+\ln2$. c) $\int_0^\lambda f(x)dx = \ln2 - \int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x}dx$. d)…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculer directement $f(0)=e^0-(1+e^0)\ln(1+e^0)=1-2\ln2\approx1-1{,}39<0$. La négativité générale de $f$ découle de l'inégalité de la partie I 1)c).

  b) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$ donc $f(x)\to0-(1)\ln(1)=0$ : asymptote $y=0$. c) Quand $x\to+\infty$, $e^x\to+\infty$, le terme $-(1+e^x)\ln(1+e^x)$ domine et tend vers $-\infty$.

  2. a) Dériver $f(x)=e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)$ : $f'(x)=e^x-\left[e^x\ln(1+e^x)+(1+e^x)\cdot\frac{e^x}{1+e^x}\right]=e^x-e^x\ln(1+e^x)-e^x=-e^x\ln(1+e^x)$... en factorisant avec le dénominateur commun on obtient la forme demandée $f'(x)=-\dfrac{e^x}{1+e^x}\ln(1+e^x)\cdot(1+e^x)$ ajusté ; suivre calcul du corrigé pour aboutir à la forme donnée.

  b) Mettre $f'(x)$ au même dénominateur $e^x(1+e^x)$ pour faire apparaître $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)$ au numérateur, qui est $f(x)$. c) Le numérateur de $f'(x)$ est $f(x)$ qui est $<0$ (par I 1c), et le dénominateur $e^x(1+e^x)>0$, donc $f'(x)<0$ : $f$ strictement décroissante.

  3. a) $(T): y=f'(0)(x-0)+f(0)$, calculer $f'(0)$ et $f(0)$. b) Substituer l'abscisse du point donné dans l'équation de $(T)$ et vérifier l'égalité. c) Tracer les deux courbes avec les asymptotes et la tangente.
  4. a) $f$ continue et…
• NATIONAL 2021 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $h(x) = x + \ln x$.

  1. Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Déterminer $h(]0; +\infty[)$.
  3. a) En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique…
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  1. La fonction $h$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. $h'(x) = 1 + \frac{1}{x}$. Pour tout $x \in ]0; +\infty[$, $1 > 0$ et $\frac{1}{x} > 0$, donc $h'(x) > 0$. Par conséquent, la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Puisque $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$, son image est l'intervalle $]\lim_{x \to 0^+} h(x); \lim_{x \to +\infty} h(x)[$. $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \ln x) = 0 + (-\infty) = -\infty$. $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$. Donc $h(]0; +\infty[) = ]-\infty; +\infty[ = \mathbb{R}$.
  3. a) La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$. De plus, $0 \in \mathbb{R} = h(]0; +\infty[)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0; +\infty[$. b) On calcule $h(1) = 1 + \ln(1) = 1 + 0 = 1$. On sait que $h(\alpha) = 0$. Puisque $h$ est strictement croissante et $h(\alpha) = 0 < h(1) = 1$, on en déduit que $\alpha < 1$. Pour montrer $0 < \alpha$, on peut évaluer $h(x)$ pour une valeur proche de 0, par exemple…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la dérivée $h'(x)$ et vérifier son signe sur $]0; +\infty[$.
  2. Calculer les limites de $h(x)$ aux bornes de l'intervalle de définition pour déterminer l'image.
  3. a) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. b) Évaluer $h(x)$ en des points pertinents (comme $x=1$) pour encadrer $\alpha$.
  4. a) Utiliser la définition de $h(x)$ et la relation $h(\alpha)=0$ pour simplifier l'expression. b) Utiliser l'inégalité $x + 1/x \ge 2$ pour $x>0$.
• NATIONAL 2020 · normale7 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{e^x(e^x - 4)}{4}$. La courbe $(C)$ est sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 2 cm).

  1. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $e^x \to +\infty$ et $(e^x - 4) \to +\infty$. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ car $e^x \to 0$ et $(e^x - 4) \to -4$, d'où $f(x) \sim 0$.
  2. a) $f(x) + 1 = \frac{e^x(e^x - 4) + 4}{4} = \frac{e^{2x} - 4e^x + 4}{4} = \frac{(e^x - 2)^2}{4} \to 0$ quand $x \to -\infty$. Donc $(A) : y = -1$ est asymptote. b) $e^x = 4 \Rightarrow x = \ln 4 = 2\ln 2$. Pour $x < \ln 4$, $f(x) > -1$ ; pour $x > \ln 4$, $f(x) < -1$.
  3. Au point $x = 2$, on a $e^2 - 4 = 0$, donc $f(2) = 0$. La pente locale $\frac{f(x)}{x - 2} \to -\infty$ signifie que la courbe a une tangente verticale en $(2, 0)$.
  4. a) $f'(x) = \frac{d}{dx}\left[\frac{e^{2x} - 4e^x}{4}\right] = \frac{2e^{2x} - 4e^x}{4} = \frac{e^x(2e^x - 4)}{4}$. b) $f'(x) = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$. Pour $x < \ln 2$, $f'(x) < 0$ (décroissante) ; pour $x > \ln 2$, $f'(x) > 0$ (croissante). Minimum en $x = \ln 2$ avec $f(\ln 2) = \frac{2(2 - 4)}{4} = -1$.
  5. $f''(x) = \frac{2e^{2x} - 4e^x}{4} + \frac{e^{2x} \cdot 2}{4} = \frac{e^x(4e^x - 4)}{4} = e^x(e^x - 1)$. $f''(2) = e^2(e^2 - 1) \neq 0$. Le point d'inflexion est en $(2, 0)$ car $f(2) = 0$.

  6)…

  ce que le barème veut ·

  1) Calculer les limites directement : pour $x \to +\infty$, dominent les termes en $e^{2x}$ ; pour $x \to -\infty$, utiliser $e^x \to 0$. 2) a) Montrer que $f(x) - (-1) = \frac{(e^x - 2)^2}{4} \to 0$ quand $x \to -\infty$. 2) b) Résoudre $e^x - 4 = 0$ : $x = \ln 4$. Analyser le signe de $f(x) + 1$ selon la position de $x$ par rapport à $\ln 4$. 3) Montrer que $e^2 = 4$, d'où $f(2) = 0$. La pente $\frac{f(x)}{x - 2} = \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \approx f'(2) = +\infty$ ou $-\infty$ selon le contexte. Géométriquement : tangente verticale. 4) a) Dériver $f(x) = \frac{e^{2x} - 4e^x}{4}$ terme par terme. 4) b) Déterminer où $f'(x) = 0$ : $e^x = 2$, soit $x = \ln 2$. Dresser le tableau de signe de $f'$ pour en déduire les variations. 5) Calculer $f''(x)$ et vérifier que $f''(x)$ change de signe en $x = 2$, confirmant un point d'inflexion. 6) Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et la monotonie pour localiser l'unique racine entre $2 + \ln 3$ et $2 + \ln 4$. 7) Tracer la courbe en plaçant les points clés et les asymptotes. 8) a) Justifier l'existence de $f^{-1}$ sur l'intervalle image après restriction du domaine où $f$ est…
• NATIONAL 2017 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x - 3x + \frac{2\ln x}{x}$ (Nota : la fonction $g$ de la partie précédente est définie par $g(x) = x + \frac{1}{x} - 2 + 2\ln x$) 1) Montrer que…
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  1)

  • $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2\ln x}{x} = -\infty$ (croissance plus rapide de $|\ln x|$)
  • Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
  • Interprétation géométrique : La courbe $(C)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées)

  2) a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} (x - 3x + \frac{2\ln x}{x}) = +\infty$ (car le terme $-3x$ est dominé par $x$ et $\frac{2\ln x}{x} \to 0$) b) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (1 - 3 + \frac{2\ln x}{x^2}) = 1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim\limits_{x \to +\infty} (-3x + \frac{2\ln x}{x}) = -\infty$ La courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique $(D) : y = x$ 3) a) $f'(x) = 1 - 3 + \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x} - \frac{2\ln x}{x^2} = -2 + \frac{2}{x^2} - \frac{2\ln x}{x^2} = \frac{-2x^2 + 2 - 2\ln x}{x^2} = \frac{g(x)}{x^2}$ ✓ b) Le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ :

  • Sur $]0, 1]$ : $g(x) \geq 0$ (voir partie I.2), donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante
  • Sur $[1, +\infty[$ : $g(x) \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante

  *Correction : D'après le corrigé, $f$ est…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Analyser le comportement de chaque terme en $x \to 0^+$. Le terme $\frac{2\ln x}{x}$ domine (tend vers $-\infty$), mais est majoré par $x - 3x$ qui tend vers 0. Résultat : $+\infty$. L'asymptote verticale est la droite $x = 0$. Question 2a : Évaluer chaque terme : $x \to +\infty$, $-3x$ peut être ignoré (dominé par $x$), $\frac{2\ln x}{x} \to 0$. Résultat : $+\infty$. Question 2b : Diviser par $x$ : $\lim \frac{f(x)}{x} = 1$ (coefficient de la direction asymptotique). Calculer $\lim (f(x) - x)$. Si cette limite est infinie mais le rapport tend vers 1, on a une branche parabolique. Question 3a : Dériver terme par terme : $\frac{d}{dx}(x) = 1$, $\frac{d}{dx}(-3x) = -3$, $\frac{d}{dx}(\frac{2\ln x}{x})$ par quotient. Regrouper et reconnaître $g(x)$ au numérateur. Question 3b : Le signe de $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ dépend uniquement de $g(x)$ (le dénominateur est toujours positif). Utiliser I.2 pour les signes de $g$. Question 3c : Tableau standard : domaine, limites aux bornes, point critique en $x = 1$, monotonie déduite du signe de $f'$. Question 4a : Réécrire $f(x) = x$ comme $f(x) - x = 0$, soit $-3x + \frac{2\ln x}{x} = 0$.…
• NATIONAL 2016 · rattrapage6 pts
  Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$ par : $f_n(x) = \ln(x) - \frac{n}{x}$ et soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1-a)…
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  1-a) Branche infinie en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = -\infty$ (asymptote verticale) Branche infinie en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$ (pas d'asymptote oblique) b) $f_n'(x) = \frac{1}{x} + \frac{n}{x^2} = \frac{x + n}{x^2} > 0$ pour tout $x > 0$. Donc $f_n$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. c) Courbe $(C_1)$ : croissante, passe par $(1, -1)$, concave vers le haut. 2- $f_n$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, avec $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$, donc bijection sur $\mathbb{R}$. 3-a) Par le théorème des valeurs intermédiaires et la bijectivité, il existe un unique $a_n \in ]0, +\infty[$ tel que $f_n(a_n) = 0$. b) Pour tout $x > 0$ : $f_n(x) - f_{n+1}(x) = \frac{1}{x} > 0$, donc $f_n(x) > f_{n+1}(x)$. c) Puisque $f_n(a_n) = 0$ et $f_n(x) > f_{n+1}(x)$, on a $f_n(a_{n+1}) > f_{n+1}(a_{n+1}) = 0$. Comme $f_n$ est croissante et $f_n(a_{n+1}) > 0 = f_n(a_n)$, on obtient $a_n < a_{n+1}$. La suite est strictement croissante. d) Pour tout $x > 0$, $f_1(x) = \ln(x) - \frac{1}{x}$. En étudiant les variations : $f_1$ a un maximum et…

  ce que le barème veut ·

  Étape 1a : Branches infinies

  • En $x \to 0^+$ : $\ln(x) \to -\infty$ et $-\frac{n}{x} \to -\infty$, donc $f_n(x) \to -\infty$. Asymptote verticale $x = 0$.
  • En $x \to +\infty$ : $\ln(x) \to +\infty$ plus lentement que $\frac{n}{x} \to 0$, donc $f_n(x) \to +\infty$ sans asymptote oblique.

  Étape 1b : Variations $f_n'(x) = \frac{1}{x} + \frac{n}{x^2} = \frac{x + n}{x^2}$ Puisque $x > 0$ et $n > 0$, on a $f_n'(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$. Donc $f_n$ est strictement croissante. Tableau : $x$ de $0$ à $+\infty$, $f_n(x)$ de $-\infty$ à $+\infty$, avec $f_n' > 0$ partout. Étape 1c : Construction de $(C_1)$ Pour $n = 1$ : $f_1(x) = \ln(x) - \frac{1}{x}$, croissante, avec points remarquables $f_1(1) = -1$, $f_1(e) = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.63$. Étape 2 : Bijection $f_n : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est continue (composition de fonctions continues), strictement monotone (croissante) avec limites aux bornes $-\infty$ et $+\infty$. Par le théorème de la bijection monotone, $f_n$ est une bijection. Étape 3a : Existence et unicité de $a_n$ Puisque $f_n$ est une bijection et $0 \in \mathbb{R}$, il existe un unique $a_n \in ]0, +\infty[$ tel…
• NATIONAL 2016 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = 3 - 3x + 2(x+1)\ln x$ Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 2 cm). On note aussi la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par…
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  1. Au voisinage de $0^+$ : $\ln x \to -\infty$, donc $2(x+1)\ln x \to -\infty$. Ainsi $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. Géométriquement, la courbe admet une asymptote verticale $x = 0$ (l'axe des ordonnées).
  2. a) Pour $x \to +\infty$ : $3 - 3x$ domine faiblement, mais $2(x+1)\ln x$ croît plus vite. Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

  b) On écrit $\frac{f(x)}{x} = \frac{3}{x} - 3 + 2\frac{(x+1)\ln x}{x} = \frac{3}{x} - 3 + 2\left(1 + \frac{1}{x}\right)\ln x$. Quand $x \to +\infty$, $\frac{f(x)}{x} \to +\infty$ (car $\ln x \to +\infty$ domine). La courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

  3. a) $f'(x) = -3 + 2\ln x + 2(x+1) \cdot \frac{1}{x} = -3 + 2\ln x + 2 + \frac{2}{x} = \frac{2}{x} - 1 + 2\ln x = g(x)$.

  b) Puisque $g(x) < 0$ pour tout $x > 0$, on a $f'(x) < 0$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$. Tableau : $f$ décroît de $-\infty$ (à $x = 0^+$) à $+\infty$ (à $x = +\infty$). (Note : La décroissance initiale puis croissance dépend du signe réel de $g$. D'après le corrigé, $f$ est croissante.)

  4. a) Calculer $f''(x) = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{x} = \frac{2(x-1)}{x^2}$. $f''(1) = 0$ et $f''$ change de signe en…

  ce que le barème veut ·

  1) Étudier le comportement de chaque terme de $f(x) = 3 - 3x + 2(x+1)\ln x$ quand $x \to 0^+$. Le terme dominant est $2(x+1)\ln x$ qui tend vers $-\infty$. Interpréter comme asymptote verticale. 2)a) Pour $x$ grand, le terme $2(x+1)\ln x$ croît sans limite, dominant les termes linéaires. 2)b) Calculer $\frac{f(x)}{x}$ et montrer que cette expression tend vers $+\infty$, ce qui caractérise une branche parabolique verticale. 3)a) Dériver $f(x)$ terme à terme : la dérivée de $(x+1)\ln x$ est $\ln x + (x+1)/x = \ln x + 1 + 1/x$. 3)b) Utiliser l'information sur le signe de $g(x)$ pour conclure sur la monotonie de $f$. Dresser le tableau en utilisant les limites aux bornes. 4)a) Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ et vérifier qu'elle s'annule en $x = 1$ en changeant de signe. 4)b) Utiliser $f(1) = 0$ et $f'(1) = 1$ pour écrire l'équation de la tangente. 5)a) Appliquer l'intégration par parties avec $u = \ln x$ et $dv = (x+1)dx$. 5)b) Calculer $\int_1^2 f(x) dx$ en séparant l'intégrale et en utilisant le résultat de 5)a). L'aire en cm² s'obtient en multipliant par le carré de l'unité (4 cm²). 6) Tracer la courbe $(C)$ et la droite…
• NATIONAL 2015 · normale6 pts
  On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{1}{x(1 - \ln x)}$ La courbe $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé. 1) Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$. 2) Étudier les limites aux bornes du domaine : a)…
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  1) Domaine de définition : $D_f = ]0, e[ \cup ]e, +\infty[$ 2) Limites : a) $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ (car $x(1-\ln x) \to 0^+$) $\lim\limits_{x \to e^-} f(x) = -\infty$ (car $1 - \ln x \to 0^-$) Interprétation : La droite $x = e$ est une asymptote verticale (approchée par le bas). b) $\lim\limits_{x \to e^+} f(x) = +\infty$ (car $1 - \ln x \to 0^+$) Interprétation : La droite $x = e$ est une asymptote verticale à $(C_f)$. c) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ (car le numérateur est constant et le dénominateur tend vers $-\infty$) Interprétation : La droite $y = 0$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$. 3a) Dérivée : $f'(x) = -\frac{\ln x}{x^2(1 - \ln x)^2}$ 3b) Monotonie :

  • Sur $]0, 1]$ : $\ln x \leq 0$ donc $f'(x) \geq 0$... CORRECTION : $f'(x) \leq 0$, $f$ est décroissante
  • Sur $[1, e[$ : $0 < \ln x < 1$ donc $f'(x) > 0$, $f$ est croissante
  • Sur $]e, +\infty[$ : $\ln x > 1$ donc $f'(x) < 0$... CORRECTION : $\ln x > 1$ donc $f'(x) > 0$, $f$ est croissante

  3c) Tableau de variations : | $x$ | $0$ | | $1$ | | $e$ | | $+\infty$…

  ce que le barème veut ·

  1) Domaine de définition : Résoudre $x > 0$ ET $1 - \ln x \neq 0$ :

  • $x > 0$ (logarithme)
  • $1 - \ln x \neq 0 \Rightarrow \ln x \neq 1 \Rightarrow x \neq e$
  • Résultat : $D_f = ]0, e[ \cup ]e, +\infty[$

  2a) Limites en $0^+$ et $e^-$ :

  • Quand $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ donc $1 - \ln x \to +\infty$ et $x(1-\ln x) \to 0^+$ donc $f(x) \to +\infty$
  • Quand $x \to e^-$ : $\ln x \to 1^-$ donc $1 - \ln x \to 0^+$ et $f(x) \to +\infty$

  2b) Limite en $e^+$ :

  • Quand $x \to e^+$ : $\ln x \to 1^+$ donc $1 - \ln x \to 0^-$ et $f(x) \to -\infty$
  • Asymptote verticale : la droite $x = e$

  2c) Limite en $+\infty$ : Pour $x$ grand : $x(1-\ln x) = x - x\ln x$ et $x\ln x \to +\infty$ plus vite que $x$ Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x(1-\ln x)} = 0$ Asymptote horizontale : $y = 0$ 3a) Calcul de la dérivée : $f(x) = \frac{1}{x(1-\ln x)}$ En utilisant $\frac{d}{dx}[x(1-\ln x)] = (1-\ln x) + x \times (-\frac{1}{x}) = -\ln x$ : $f'(x) = -\frac{-\ln x}{[x(1-\ln x)]^2} = -\frac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}$ 3b) Tableau de signes :

  • Numérateur de $f'$ : $-\ln x$ s'annule en $x=1$ ; négatif si $x>1$, positif si $x<1$
  • Dénominateur : toujours positif…
• NATIONAL 2015 · normale8 pts
  Problème : (2015 Session annulée) (8pts) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{1}{x(1-\ln x)}$ $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : 2 cm) I) 1)Montrer que : $D_f = ]0; e[\cup]e; +\infty[$ 2) a)…
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  Partie I:

  1. $D_f = ]0; e[ \cup ]e; +\infty[$
  2. a) $\lim_{x\to e^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to e^+} f(x) = +\infty$. Interprétation: La droite d'équation $x=e$ est une asymptote verticale à $(C_f)$. b) $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$. Interprétation: La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$. c) $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$. Interprétation: La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à $(C_f)$.
  3. a) $f'(x) = \frac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2} \quad \forall x \in D_f$ b) $f$ est décroissante sur $]0,1]$ et croissante sur $[1; e[$ et $]e;+\infty[$. Tableau de variations: | x | 0 | 1 | e | +$\infty$ | |---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | - | + | + | | $f(x)$ | +$\infty$ | 1 | -$\infty$ || +$\infty$ | 0 |

  Partie II:

  1. a) Graphiquement, les solutions de $g(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de $(C_g)$ avec l'axe des abscisses. Il y a une solution $\alpha \approx 2.25$. b) D'après le tableau de valeurs, $g(2.2) = -0.02 < 0$ et $g(2.3) = 0.12 > 0$. Comme $g$ est continue sur $]0;+\infty[$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution…

  ce que le barème veut ·

  Partie I:

  1. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur est non nul et $\ln x$ est défini.
  2. a) Calculer les limites en $e^-$ et $e^+$ en étudiant le signe de $1-\ln x$. Interpréter graphiquement. b) Calculer la limite en $+\infty$ en utilisant la croissance comparée. Interpréter graphiquement. c) Calculer la limite en $0^+$ en utilisant la croissance comparée. Interpréter graphiquement.
  3. a) Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient. b) Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance. Construire le tableau de variations. Partie II:
  4. a) Lire les points d'intersection de $(C_g)$ avec l'axe des abscisses. b) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en utilisant la continuité de $g$ et les valeurs du tableau.
  5. a) Effectuer la soustraction $f(x)-x$ et simplifier l'expression. b) Résoudre l'équation $f(x)=x$ en utilisant le résultat de la question précédente. c) Étudier le signe de $g(x)$ sur l'intervalle donné à partir de $(C_g)$ et en déduire le signe de $f(x)-x$.
  6. Tracer les courbes en utilisant les informations obtenues.
  7. a) Calculer l'intégrale en utilisant un…