Déterminer les asymptotes horizontales et verticales

À tenir avant

• Calculer les limites aux bornes du domaine

Cette méthode au national

4 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)$.

  1. a) Vérifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. b) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=1-\ln\left(1-\dfrac{x}{e^x}\right)$. c) En déduire que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$, puis…
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  1. c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ : asymptote horizontale $y=1$ au voisinage de $+\infty$.
  2. a) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. c) $\lim_{x\to-\infty}f(x)/x=1$ : branche parabolique de direction $y=x$ en $-\infty$.
  3. c) $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]-1,0[$.
  4. a) Deux solutions $\alpha,\beta$ à $f(x)=x$.
  5. a) $g^{-1}$ définie sur $J=f(I)=]-\infty,1]$ (avec $f$ strictement croissante sur $I$). b) $(g^{-1})'(1)$ existe : $(g^{-1})'(1)=\dfrac{1}{g'(1)}$ à calculer via $f'(1)$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) $e^x-x>0$ toujours (partie I), donc $\ln(e^x-x)$ défini partout. b) $f(x)=x+1-\ln(e^x(1-xe^{-x}))=x+1-x-\ln(1-xe^{-x})=1-\ln(1-\dfrac{x}{e^x})$. c) Quand $x\to+\infty$, $x/e^x\to0$ donc $f(x)\to1-\ln1=1$; la droite $y=1$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
  2. a) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$, $-x\to+\infty$, donc $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)\to+\infty$ (calcul via forme équivalente). c) $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac1x-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln(1-\frac{e^x}{x})\to1$ quand $x\to-\infty$, donc branche parabolique de direction $y=x$.
  3. a) $f'(x)=1-\dfrac{e^x-1}{e^x-x}=\dfrac{e^x-x-e^x+1}{e^x-x}=\dfrac{1-x}{e^x-x}$. b) Comme $e^x-x>0$ toujours, signe de $f'(x)$ = signe de $(1-x)$ : $f'(x)>0$ pour $x<1$, $f'(x)<0$ pour $x>1$, $f'(1)=0$. $f$ croissante sur $]-\infty,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$, maximum $f(1)$. c) Sur $]-1,0[$, $f$ continue et strictement monotone (croissante), $f(-1)$ et $f(0)$ de signes opposés (calcul numérique), donc par TVI unique solution $\alpha$.
  4. a) Graphiquement, la courbe $(C_f)$ coupe la droite $y=x$ en deux points d'abscisses $\alpha,\beta$. b) Comme $f(\alpha)=\alpha$ et $f(\beta)=\beta$ :…
• NATIONAL 2024 · normale8 pts
  Partie I : On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$.

  1. Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $(C_u)$ et $(C_v)$ des fonctions $u$ et $v$.
  2. Justifier graphiquement que $e^x-x>0$ pour tout $x$ de…
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  Partie I : 2) $e^x>x$ toujours car $(C_u)$ au-dessus de $(C_v)$. 3) Aire $=\left(e-\dfrac12-1\right)$ u.a. $= (e-\tfrac32)$ u.a. Partie II : 1c) $\lim_{+\infty}f=1$, asymptote horizontale $y=1$ en $+\infty$. 2a) $\lim_{-\infty}f=-\infty$. 2c) $\lim_{-\infty} f(x)/x=1$, branche parabolique de direction $y=x$. 3a) $f'(x)=\dfrac{1-x}{e^x-x}$. 3b) $f'>0$ sur $]-\infty,1[$, $f'<0$ sur $]1,+\infty[$, $f$ croissante puis décroissante, max en $x=1$. 3c) solution unique $x_0\in]-1,0[$. 4a) deux solutions $\alpha,\beta$ visibles graphiquement. 4b) égalité démontrée à partir de $f(\alpha)=\alpha$, $f(\beta)=\beta$. 5a) $g$ bijective de $]-\infty,1]$ vers $J=]-\infty,1]$. 5b) $(g^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f'(1)}$ — mais $f'(1)=0$ donc étude particulière : $g^{-1}$ dérivable en 1 avec tangente verticale (à détailler selon corrigé).

  ce que le barème veut ·

  Partie I : 2) $(C_u)$ est toujours au-dessus de $(C_v)$ (graphiquement, $e^x$ ne coupe jamais la droite $y=x$), donc $e^x-x>0\ \forall x$. 3) Aire $=\int_0^1(e^x-x)\,dx=\left[e^x-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=(e-\tfrac12)-(1-0)=e-\tfrac32$ (en unités d'aire). Partie II :

  1. a) Comme $e^x-x>0$ toujours (partie I), $\ln(e^x-x)$ est défini pour tout $x$, donc $f$ définie sur $\mathbb{R}$. b) Factoriser $e^x-x=e^x(1-xe^{-x})$, donc $\ln(e^x-x)=x+\ln(1-xe^{-x})$, d'où $f(x)=x+1-x-\ln(1-xe^{-x})=1-\ln(1-xe^{-x})$. c) Quand $x\to+\infty$, $xe^{-x}\to0$ donc $\ln(1-xe^{-x})\to0$, donc $f(x)\to1$ : asymptote horizontale $y=1$ en $+\infty$.
  2. a) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$ donc $e^x-x\to+\infty$ (car $-x\to+\infty$), et $\ln(e^x-x)\to+\infty$ mais plus lentement que $x$; en fait $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)\to-\infty$ (dominé par $-\ln(-x)$ négligeable devant $x$... calcul direct donne $-\infty$). b) Pour $x<0$, factoriser $e^x-x=-x(1-\frac{e^x}{x})$, donc $\ln(e^x-x)=\ln(-x)+\ln(1-e^x/x)$, d'où la formule. c) $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac1x-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln(1-e^x/x)$; quand $x\to-\infty$, $\dfrac{\ln(-x)}{x}\to0$ et les autres termes tendent vers 0, donc $\dfrac{f(x)}{x}\to1$. Comme…
• NATIONAL 2017 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x - 3x + \frac{2\ln x}{x}$ (Nota : la fonction $g$ de la partie précédente est définie par $g(x) = x + \frac{1}{x} - 2 + 2\ln x$) 1) Montrer que…
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  1)

  • $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2\ln x}{x} = -\infty$ (croissance plus rapide de $|\ln x|$)
  • Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
  • Interprétation géométrique : La courbe $(C)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées)

  2) a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} (x - 3x + \frac{2\ln x}{x}) = +\infty$ (car le terme $-3x$ est dominé par $x$ et $\frac{2\ln x}{x} \to 0$) b) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (1 - 3 + \frac{2\ln x}{x^2}) = 1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim\limits_{x \to +\infty} (-3x + \frac{2\ln x}{x}) = -\infty$ La courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique $(D) : y = x$ 3) a) $f'(x) = 1 - 3 + \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x} - \frac{2\ln x}{x^2} = -2 + \frac{2}{x^2} - \frac{2\ln x}{x^2} = \frac{-2x^2 + 2 - 2\ln x}{x^2} = \frac{g(x)}{x^2}$ ✓ b) Le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ :

  • Sur $]0, 1]$ : $g(x) \geq 0$ (voir partie I.2), donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante
  • Sur $[1, +\infty[$ : $g(x) \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante

  *Correction : D'après le corrigé, $f$ est…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Analyser le comportement de chaque terme en $x \to 0^+$. Le terme $\frac{2\ln x}{x}$ domine (tend vers $-\infty$), mais est majoré par $x - 3x$ qui tend vers 0. Résultat : $+\infty$. L'asymptote verticale est la droite $x = 0$. Question 2a : Évaluer chaque terme : $x \to +\infty$, $-3x$ peut être ignoré (dominé par $x$), $\frac{2\ln x}{x} \to 0$. Résultat : $+\infty$. Question 2b : Diviser par $x$ : $\lim \frac{f(x)}{x} = 1$ (coefficient de la direction asymptotique). Calculer $\lim (f(x) - x)$. Si cette limite est infinie mais le rapport tend vers 1, on a une branche parabolique. Question 3a : Dériver terme par terme : $\frac{d}{dx}(x) = 1$, $\frac{d}{dx}(-3x) = -3$, $\frac{d}{dx}(\frac{2\ln x}{x})$ par quotient. Regrouper et reconnaître $g(x)$ au numérateur. Question 3b : Le signe de $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ dépend uniquement de $g(x)$ (le dénominateur est toujours positif). Utiliser I.2 pour les signes de $g$. Question 3c : Tableau standard : domaine, limites aux bornes, point critique en $x = 1$, monotonie déduite du signe de $f'$. Question 4a : Réécrire $f(x) = x$ comme $f(x) - x = 0$, soit $-3x + \frac{2\ln x}{x} = 0$.…
• NATIONAL 2014 · normale2 pts
  Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \left(1 + \ln x\right)^2 + \frac{1}{x}$.

  1. Montrer que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.
  2. a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. b) Montrer que…
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  1. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$. La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C)$.
  2. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ c) La courbe $(C)$ a une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Limite en $0^+$

  • Quand $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ donc $(1 + \ln x) \to -\infty$ donc $(1 + \ln x)^2 \to +\infty$
  • Quand $x \to 0^+$ : $\frac{1}{x} \to +\infty$
  • Donc $f(x) = (1 + \ln x)^2 + \frac{1}{x} \to +\infty + \infty = +\infty$
  • Interprétation géométrique : la droite $x = 0$ est une asymptote verticale à $(C)$

  Question 2.a : Limite en $+\infty$

  • Quand $x \to +\infty$ : $\ln x \to +\infty$ donc $(1 + \ln x) \to +\infty$ donc $(1 + \ln x)^2 \to +\infty$
  • Quand $x \to +\infty$ : $\frac{1}{x} \to 0$
  • Donc $f(x) \to +\infty + 0 = +\infty$

  Question 2.b : Limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$

  • $\frac{f(x)}{x} = \frac{(1 + \ln x)^2}{x} + \frac{1}{x^2}$
  • Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$, il suffit de montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{(1 + \ln x)^2}{x} = 0$
  • Posons $t = \sqrt{x}$, donc $x = t^2$ et $\ln x = 2 \ln t$
  • Quand $x \to +\infty$, on a $t \to +\infty$
  • $\frac{(1 + \ln x)^2}{x} = \frac{(1 + 2\ln t)^2}{t^2}$
  • Pour tout $\alpha > 0$, $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t^\alpha} = 0$ (croissance logarithmique dominée)
  • Donc $\lim_{t \to +\infty} \frac{(1 + 2\ln t)^2}{t^2} = 0$
  • Par conséquent…