Justifier une asymptote oblique

À tenir avant

• Déterminer les asymptotes horizontales et verticales

Cette méthode au national

4 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2016 · normale2 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x - 2 + e^{2x} - 4e^x$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm). I-1) a) Montrer que…
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  I-1) a) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (2x - 2 + e^{2x} - 4e^x)$ Quand $x \to -\infty$ : $e^{2x} \to 0$, $e^x \to 0$, et $2x - 2 \to -\infty$ Donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ ✓ b) $f(x) - (2x-2) = e^{2x} - 4e^x = e^x(e^x - 4)$ Quand $x \to -\infty$ : $e^x \to 0$ donc $e^x(e^x - 4) \to 0$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (2x-2)] = 0$ Donc la droite $(D) : y = 2x - 2$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$ ✓ I-2) a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (2x - 2 + e^{2x} - 4e^x)$ $= \lim_{x \to +\infty} e^x\left(2xe^{-x} - 2e^{-x} + e^x - 4\right)$ Comme $e^x$ croît plus vite que tout polynôme, et $e^x - 4 \to +\infty$ quand $x \to +\infty$, on a : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ✓ b) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 2 + e^{2x} - 4e^x}{x}$ $= \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac{2}{x} + \frac{e^{2x}}{x} - \frac{4e^x}{x}\right)$ Puisque $e^{2x}$ croît beaucoup plus vite que $x$, on a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x} = +\infty$ Donc…

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  Question I-1.a : Analyser la limite de chaque terme : les exponentielles tendent vers 0 quand $x \to -\infty$, tandis que $2x - 2 \to -\infty$. Conclure que $f(x) \to -\infty$. Question I-1.b : Calculer la différence $f(x) - (2x-2)$ et montrer qu'elle tend vers 0 quand $x \to -\infty$. Cela signifie que la courbe s'approche asymptotiquement de la droite $(D)$. Question I-2.a : Évaluer la limite de $f(x)$ quand $x \to +\infty$. Le terme dominant est $e^{2x}$ (croissance exponentielle), donc la limite est $+\infty$. Question I-2.b : Diviser $f(x)$ par $x$ et étudier la limite. Le terme $\frac{e^{2x}}{x}$ domine tous les autres (croissance exponentielle surpasse croissance linéaire), donc $\frac{f(x)}{x} \to +\infty$. Interpréter cela comme l'absence d'asymptote oblique et l'existence d'une branche parabolique.
• NATIONAL 2014 · normale2 pts
  Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \left(1 + \ln x\right)^2 + \frac{1}{x}$.

  1. Montrer que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.
  2. a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. b) Montrer que…
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  1. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$. La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C)$.
  2. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ c) La courbe $(C)$ a une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.

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  Question 1 : Limite en $0^+$

  • Quand $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ donc $(1 + \ln x) \to -\infty$ donc $(1 + \ln x)^2 \to +\infty$
  • Quand $x \to 0^+$ : $\frac{1}{x} \to +\infty$
  • Donc $f(x) = (1 + \ln x)^2 + \frac{1}{x} \to +\infty + \infty = +\infty$
  • Interprétation géométrique : la droite $x = 0$ est une asymptote verticale à $(C)$

  Question 2.a : Limite en $+\infty$

  • Quand $x \to +\infty$ : $\ln x \to +\infty$ donc $(1 + \ln x) \to +\infty$ donc $(1 + \ln x)^2 \to +\infty$
  • Quand $x \to +\infty$ : $\frac{1}{x} \to 0$
  • Donc $f(x) \to +\infty + 0 = +\infty$

  Question 2.b : Limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$

  • $\frac{f(x)}{x} = \frac{(1 + \ln x)^2}{x} + \frac{1}{x^2}$
  • Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$, il suffit de montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{(1 + \ln x)^2}{x} = 0$
  • Posons $t = \sqrt{x}$, donc $x = t^2$ et $\ln x = 2 \ln t$
  • Quand $x \to +\infty$, on a $t \to +\infty$
  • $\frac{(1 + \ln x)^2}{x} = \frac{(1 + 2\ln t)^2}{t^2}$
  • Pour tout $\alpha > 0$, $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t^\alpha} = 0$ (croissance logarithmique dominée)
  • Donc $\lim_{t \to +\infty} \frac{(1 + 2\ln t)^2}{t^2} = 0$
  • Par conséquent…
• NATIONAL 2012 · normale5 pts
  Étude d'une fonction logarithmique paramétrée Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x) = x + \frac{\ln|x|}{n}$. Soit $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan muni d'un repère…
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  1) $\lim\limits_{x \to -\infty} f_n(x) = -\infty$ (le terme $x$ domine) $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$ 2) a) Au voisinage de $-\infty$ : $f_n(x) = x + \frac{\ln|x|}{n} = x + \frac{\ln(-x)}{n}$. La branche est parabolique de direction l'axe des abscisses (ou asymptote $y = x$). b) $f_n(x) - x = \frac{\ln x}{n} \to 0$ quand $x \to +\infty$. Donc $y = x$ est asymptote. Position : $\frac{\ln x}{n} > 0$ pour $x > 1$, donc $(C_n)$ est au-dessus de $(D)$. 3) $f_n'(x) = 1 + \frac{1}{nx}$ pour $x \neq 0$. Pour $x > 0$ : $f_n'(x) = 1 + \frac{1}{nx} > 0$, donc $f_n$ croissante sur $(0, +\infty)$. Pour $x < 0$ : $f_n'(x) = 1 + \frac{1}{nx} = \frac{nx + 1}{nx}$. Racine : $x = -\frac{1}{n}$.

  • Sur $(-\infty, -\frac{1}{n})$ : $f_n' < 0$, $f_n$ décroissante.
  • Sur $(-\frac{1}{n}, 0)$ : $f_n' > 0$, $f_n$ croissante.

  Minimum local en $x = -\frac{1}{n}$ : $f_n(-\frac{1}{n}) = -\frac{1}{n} + \frac{\ln(1/n)}{n} = -\frac{1}{n} - \frac{\ln n}{n}$. 4) Tracer la courbe passant par les points marqués, avec comportement asymptotique. 5) a) Pour $n > 3$ : $\frac{\ln n}{n}$ est décroissant pour $n > e$. À $n = 3$ :…

  ce que le barème veut · Voir le corrigé officiel.
• NATIONAL 2012 · normale5 pts
  $n$ est un entier naturel non nul. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x) = x + \frac{\ln(1 + 2e^{-x})}{n}$. Soit $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$.

  1. Calculer…
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  1. $\lim_{x \to -\infty} f_n(x) = -\infty$ (car $\ln(1 + 2e^{-x}) \to \ln(2e^{-x}) \sim -x$ pour $x \to -\infty$). $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$ (car $\ln(1 + 2e^{-x}) \to 0$ rapidement).
  2. a) Au voisinage de $-\infty$ : $f_n(x) \sim x - \frac{x}{n} = x(1 - \frac{1}{n})$. La branche infinie a une direction asymptotique. b) Au voisinage de $+\infty$ : $f_n(x) - x = \frac{\ln(1 + 2e^{-x})}{n} \to 0^+$, donc $y = x$ est asymptote oblique. La courbe est au-dessus de $(D)$.
  3. $f_n'(x) = 1 - \frac{2e^{-x}}{n(1 + 2e^{-x})} > 0$ pour tout $x$ (à vérifier selon $n$). La fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.
  4. Graphe croissant, passant par les points donnés, asymptote $y = x$ à droite.
  5. a) Pour $n > 3$ : $\frac{\ln n}{n}$ est décroissant pour $n > e$, et $\frac{\ln 3}{3} \approx \frac{1.1}{3} \approx 0.37 < 3$. (Formule à corriger selon l'énoncé.) b) $f_n(x_n) = 0$ admet deux solutions par analyse du signe de $f_n$. c) $\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty$ et $\lim_{n \to \infty} y_n = 0^-$.
  6. a) $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (-1 - x \ln x) = -1 = g(0)$ (car $x \ln x \to 0^-$). b) Vérification :…

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  1. Analyser les comportements asymptotiques :
     • Pour $x \to -\infty$ : $e^{-x} \to +\infty$, donc $\ln(1 + 2e^{-x}) \sim 2e^{-x}$ (pas dominant par rapport à $x$). Plus précisément, $\ln(1+2e^{-x}) \sim \ln(2e^{-x}) = \ln 2 - x$. Donc $f_n(x) \sim x + \frac{\ln 2 - x}{n}$.
     • Pour $x \to +\infty$ : $e^{-x} \to 0$, donc $\ln(1 + 2e^{-x}) \to \ln 1 = 0$.
  2. a) Étudier la direction asymptotique en divisant par $x$ : $\frac{f_n(x)}{x} \to 1 + \frac{c}{nx}$ pour une constante $c$. b) Calculer $f_n(x) - x = \frac{\ln(1 + 2e^{-x})}{n}$ et montrer que c'est positif et tend vers 0.
  3. Calculer $f_n'(x) = 1 + \frac{-2e^{-x}}{n(1 + 2e^{-x})} = 1 - \frac{2e^{-x}}{n(1 + 2e^{-x})}$. Montrer que c'est toujours positif (le terme soustrait est $< 1$).
  4. Utiliser les points donnés et les asymptotes pour tracer.
  5. a) Utiliser la dérivée de $h(n) = \frac{\ln n}{n}$ : $h'(n) = \frac{1 - \ln n}{n^2} < 0$ pour $n > e$. Donc $\frac{\ln n}{n}$ décroît après $n = e$. Évaluer numériquement pour $n = 3, 4, ...$ b) Par le théorème des valeurs intermédiaires et les variations de $f_n$, deux solutions existent si $f_n$ change de signe aux bords spécifiés. c) Prendre les limites en…