Étudier la concavité et les points d'inflexion

À tenir avant

• Étudier le signe de f′

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2022 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x(e^x - 1)^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
  2. Calculer…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (croissance exponentielle) ; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (car $e^x \to 0$ et $x(e^x - 1)^2 \sim xe^{2x} \to 0$).
  2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (e^x - 1)^2 = +\infty$. Interprétation : La courbe $(C)$ a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  3. a) Au voisinage de $-\infty$, $e^x \to 0$, donc $f(x) = x(e^x - 1)^2 \sim xe^{2x} \to 0$ et $\frac{f(x)}{x} \to 0$. La droite $y = x$ est asymptote. (Mais plutôt : $f(x) \sim x \cdot 0 = 0$ et $f(x) - x \to -x$, ce qui ne donne pas $y = x$ asymptote.)

  Correction : Pour $x \to -\infty$, $f(x) - x = x[(e^x - 1)^2 - 1] = x[e^{2x} - 2e^x + 1 - 1] = x(e^{2x} - 2e^x) = xe^x(e^x - 2) \to 0$ car $xe^x \to 0$. Donc $y = x$ est asymptote. b) Pour $x \leq 0$ : $x \leq 0$ et $(e^x - 1)^2 \geq 0$, donc $f(x) - x = x(e^x - 1)^2 - x = x[(e^x - 1)^2 - 1] \leq 0$ (vérification détaillée nécessaire). Pour $x > 0$ : $(e^x - 1)^2 > 0$, donc $f(x) - x = x[(e^x - 1)^2 - 1]$. Signe dépend de $(e^x - 1)^2 - 1 = (e^x - 1 - 1)(e^x - 1 + 1) = (e^x - 2) \cdot e^x$. Pour $x \in (0, \ln 2)$ : $f(x) < x$ ; pour $x > \ln 2$ : $f(x) > x$.

  4. a)…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Pour $x \to +\infty$, $f(x) = x(e^x - 1)^2$ croît exponentiellement. Pour $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $(e^x - 1)^2 \to 1$ et $f(x) \sim x \cdot 1 \to -\infty$ (non, $x < 0$ donc $f(x) \to 0^-$, en fait $f(x) \to 0$). Question 2 : $\frac{f(x)}{x} = (e^x - 1)^2 \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ car $e^x \to \infty$. Interprétation géométrique : branche parabolique. Question 3a : Vérifier $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = 0$ pour montrer que $y = x$ est asymptote. Question 3b : Étudier le signe de $f(x) - x = x[(e^x - 1)^2 - 1]$ en fonction du signe de $(e^x - 1)^2 - 1 = (e^x - 2) e^x$ (après factorisation). Question 4a : Dériver $f(x) = x(e^x - 1)^2$ par la règle du produit. Question 4b : Montrer que $f'(x) \geq 0$ en analysant chaque facteur. Question 4c : Tableau : $f$ croissante sur $\mathbb{R}$, minimum en $x = 0$ avec $f(0) = 0$. Question 5a : Dériver $f'(x)$ pour obtenir $f''(x)$. Question 5b : Utiliser la courbe de $g$ fournie pour lire les signes. Question 5c : Étudier le signe de $f''(x) = e^x(2 + 4x + g(x))$ et trouver où $f''(x) = 0$ (points d'inflexion). Question 7a : Puisque $f$ est strictement…
• NATIONAL 2021 · rattrapage5 pts
  On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-\infty, 1]$ par : $f(x) = \ln(1-x)$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Partie I

  1. a) Montrer que la fonction $f$ est continue sur $I$.

  b) Montrer que la…
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  1. a) $f$ est continue sur $I$ car elle est composée de fonctions continues : $x \mapsto 1-x$ continue sur $I$ et $\ln$ continue sur $]0, +\infty[$. b) $f'(x) = -\frac{1}{1-x} < 0$ pour tout $x \in I$, donc $f$ est strictement décroissante sur $I$. c)

  • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
  • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$
  • $f(0) = \ln(1) = 0$

  d) La droite $x = 1$ est asymptote verticale à $(C)$. L'axe des abscisses est direction asymptotique pour $(C)$. e) Tableau : $f$ est strictement décroissante de $+\infty$ à $-\infty$ sur $I = ]-\infty, 1]$. 2. a) $f''(x) = -\frac{1}{(1-x)^2} < 0$ pour tout $x \in I$, donc $(C)$ est concave. 3. a) $f$ est continue et strictement décroissante sur $I$, donc bijection de $I$ vers $f(I) = \mathbb{R}$ (d'après théorème de bijection). b) Si $y = \ln(1-x)$, alors $1-x = e^y$, soit $x = 1 - e^y$. Donc : $f^{-1}(x) = 1 - e^x$ c) $f^{-1}(-1) = 1 - e^{-1}$ ✓

  ce que le barème veut ·

  Continuité : Vérifier que $f$ est composée de fonctions continues sur $I$. Monotonie : Calculer $f'(x) = \frac{-1}{1-x}$ et montrer qu'elle est négative sur $I$. Limites :

  • En $-\infty$ : comme $1-x \to +\infty$, $\ln(1-x) \to +\infty$
  • En $1^-$ : comme $1-x \to 0^+$, $\ln(1-x) \to -\infty$
  • $f(0) = \ln(1) = 0$

  Interprétation graphique : Les limites donnent les asymptotes. Concavité : Calculer $f''(x) = -\frac{1}{(1-x)^2} < 0$, donc $(C)$ concave. Bijection : $f$ continue et strictement décroissante de $I$ vers $\mathbb{R}$ est une bijection par théorème. Fonction réciproque : Résoudre $y = \ln(1-x)$ pour obtenir $f^{-1}(x) = 1 - e^x$. Vérification : $f^{-1}(-1) = 1 - e^{-1}$.
• NATIONAL 2021 · normale12 pts
  Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x) = nx - 2 + \frac{4e^x}{1 + e^x}$ Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Partie I : 1- a) Calculer…
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  Partie I : 1-a) $\lim\limits_{x \to +\infty} (f_n(x) - nx + 2) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{4e^x}{1+e^x} = 4$. La droite $y = nx - 2$ est asymptote à $(C_n)$ au voisinage de $+\infty$. 1-b) $(A_n) : y = nx$ est asymptote à $(C_n)$ en $-\infty$. 2-a) $f_n'(x) = n + \frac{4e^x(1+e^x) - 4e^x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = n + \frac{4e^x}{(1+e^x)^2}$. 2-b) Le maximum de $\frac{4e^x}{(1+e^x)^2}$ est atteint en $x = 0$ et vaut $1 < 1$. 2-c) Pour $n \geq 1$ : $f_n'(x) > 0$, donc $f_n$ strictement croissante. Pour $n < 1$ : même conclusion puisque la dérivée reste positive. 3-a) Tangente au point $I(0, 2)$ : $y = (n+1)x + 2$. 3-b) $f_n''(x) = \frac{4e^x(1+e^x)^2 - 8e^{2x}(1+e^x)}{(1+e^x)^4} = 0$ seulement en $x = 0$. Point d'inflexion unique. 5-a) $A(t) = \int_0^t \frac{4e^x}{1+e^x} dx = 4\ln\left(\frac{1+e^t}{2}\right)$. 5-b) $\lim\limits_{t \to +\infty} A(t) = +\infty$. Partie II : 1-a) $f_1(x) - x = -2 + \frac{4e^x}{1+e^x}$. Comme $0 < \frac{4e^x}{1+e^x} < 4$, l'équation admet une unique solution $\alpha$. 1-b) $|f_1'(x)| = |1 + \frac{4e^x}{(1+e^x)^2}| < 1 + 1 = 2$ mais en fait $f_1'(x) \in (1, 2)$. Correction : le maximum de la dérivée donne $f_1'(x) < 2$ partout,…

  ce que le barème veut ·

  Partie I : 1-a) Écrire $\frac{4e^x}{1+e^x} = \frac{4}{e^{-x}+1}$. Quand $x \to +\infty$, $e^{-x} \to 0$, donc $\frac{4e^x}{1+e^x} \to 4$. 1-b) Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $f_n(x) \sim nx$. L'asymptote est $y = nx$. 2-a) Dériver directement : $f_n'(x) = n + \frac{d}{dx}\left(\frac{4e^x}{1+e^x}\right)$. Utiliser la quotient rule. 2-b) Poser $u = e^x > 0$. Maximiser $g(u) = \frac{4u}{(1+u)^2}$ : $g'(u) = \frac{4(1+u)^2 - 8u(1+u)}{(1+u)^4} = \frac{4(1-u)}{(1+u)^3}$, maximum en $u=1$ (i.e. $x=0$), $g(1) = 1$. 2-c) Puisque $f_n'(x) = n + \epsilon(x)$ avec $0 < \epsilon(x) < 1$, on a $f_n'(x) > n > 0$ pour tous $n$. Donc $f_n$ strictement croissante. 3-a) Équation : $y - f_n(0) = f_n'(0)(x - 0)$. $f_n(0) = 2$, $f_n'(0) = n + 1$. D'où $y = (n+1)x + 2$. 3-b) Calculer $f_n''(x)$ et montrer qu'elle ne s'annule qu'en $x=0$. 5-a) $A(t) = \int_0^t \frac{4e^x}{1+e^x} dx$. Poser $v = 1+e^x$, $dv = e^x dx$. Intégrale devient $4\ln(1+e^x)|_0^t$. 5-b) Quand $t \to +\infty$, $\ln(1+e^t) \to t$ asymptotiquement, donc la limite diverge. Partie II : 1-a) Montrer que $f_1(x) - x$ change de signe (ex. $f_1(0) - 0 = 2 > 0$, $f_1(-2) - (-2) < 0$). Unicité par stricte…
• NATIONAL 2020 · normale7 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{1}{2}e^x(e^x - 4)$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 2 cm).

  1. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (croissance de $e^x$). $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (car $e^x \to 0$ et $e^x - 4 \to -4$).
  2. a) $f(x) - \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{2}e^x(e^x - 4) - \frac{1}{2}e^{2x} = -2e^x \to 0$ quand $x \to -\infty$. Donc $(A)$ est asymptote.

  b) $e^{2x} - 4 = 0 \Rightarrow e^{2x} = 4 \Rightarrow 2x = \ln 4 \Rightarrow x = \ln 2$. Signe de $f(x) - \frac{1}{2}e^{2x} = -2e^x$ : toujours négatif, donc $(C)$ est toujours en dessous de $(A)$. Correction du corrigé : intervalle à revoir selon énoncé exact.

  3. $\frac{f(x)}{x} = \frac{e^x(e^x - 4)}{2x} \to +\infty$ (numérateur crôit exponentiellement, dénominateur linéairement). Interprétation géométrique : la courbe $(C)$ s'éloigne à l'infini plus vite que toute droite.
  4. a) $f'(x) = \frac{1}{2}[e^x(e^x - 4) + e^x \cdot e^x] = \frac{1}{2}e^x[e^x - 4 + e^x] = \frac{1}{2}e^x(2e^x - 4) = e^x(e^x - 2)$.

  b) $f'(x) = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$.

  • Pour $x < \ln 2$ : $e^x < 2$, donc $f'(x) < 0$ → $f$ décroissante.
  • Pour $x > \ln 2$ : $e^x > 2$, donc $f'(x) > 0$ → $f$ croissante. Minimum en $x = \ln 2$ avec $f(\ln 2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2 - 4) = -1$.

  5)…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 :

  • Pour $x \to +\infty$ : $f(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 2e^x \approx \frac{1}{2}e^{2x} \to +\infty$.
  • Pour $x \to -\infty$ : $e^x \to 0$ et $e^x - 4 \to -4$, donc $f(x) = \frac{1}{2}e^x(e^x - 4) \to \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (-4) = 0$.

  Question 2a : Montrer que $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - \frac{1}{2}e^{2x}] = 0$. $f(x) - \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{2}e^x(e^x - 4) - \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{2}e^x(e^x - 4 - e^x) = -2e^x \to 0 \text{ quand } x \to -\infty$ Question 2b : Résoudre $e^{2x} - 4 = 0$ : $e^{2x} = 4 \Rightarrow 2x = \ln 4 = 2\ln 2 \Rightarrow x = \ln 2$. Étudier le signe de $f(x) - \frac{1}{2}e^{2x} = -2e^x$. Puisque $e^x > 0$ toujours, on a $-2e^x < 0$ toujours, donc la courbe $(C)$ est systématiquement au-dessous de $(A)$. Vérifier avec l'énoncé pour des corrections possibles de l'intervalle. Question 3 : $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2}e^{2x} - 2e^x}{x}$. Le numérateur croît exponentiellement (dominé par $e^{2x}$), le dénominateur linéairement, donc la limite est $+\infty$. Interprétation : la pente de la courbe $(C)$ s'accélère indéfiniment ; la courbe s'échappe plus vite que…
• NATIONAL 2019 · normale6 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x}$ 3) a) Montrer que pour tout $x$ de $]1, +\infty[$ : $(x-1) + \ln x > 0$, et que pour tout $x$ de $]0, 1[$ : $(x-1) + \ln x < 0$ b) Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$…
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  3.a)

  • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $(x-1) + \ln x > 0$ ✓
  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $(x-1) + \ln x < 0$ ✓

  3.b) $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}$ 3.c) Tableau de variations :

  • $f$ est décroissante sur $]0, 1[$
  • $f$ admet un minimum au point $x = 1$ avec $f(1)$ non défini (limite)
  • $f$ est croissante sur $]1, +\infty[$

  4.a) $f''(x) = \frac{2 - \ln x}{x^2(\ln x)^3}$ 4.b) Le point d'inflexion est en $x = e^2$ avec les coordonnées $(e^2, e^2 + 1 - \frac{1}{2}) = (e^2, e^2 + \frac{1}{2})$ 5.a) $f(x) - x = \frac{(1-x)(\ln x - 1)}{x(\ln x)^2}$ Position relative :

  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $f(x) > x$ (courbe au-dessus de la droite)
  • Pour $x = 1$ : point limite
  • Pour $x \in ]1, e[$ : $f(x) > x$
  • Pour $x = e$ : $f(e) = e$
  • Pour $x \in ]e, +\infty[$ : $f(x) < x$ (courbe au-dessous de la droite)

  5.b) Voir construction graphique (asympotote verticale $x = 0$, asymptote oblique $y = x$, point d'inflexion, etc.)

  ce que le barème veut ·

  Question 3.a) Considérer la fonction $g(x) = (x-1) + \ln x$ sur $]0, +\infty[$.

  • Calculer $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$, donc $g$ est strictement croissante.
  • $g(1) = 0 + 0 = 0$
  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $g(x) < g(1) = 0$
  • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $g(x) > g(1) = 0$

  Question 3.b) $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + 1 - \frac{1}{\ln x}\right) = 1 - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln x}\right)$ Utiliser la règle de dérivation : $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln x}\right) = -\frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x}$ Donc : $f'(x) = 1 + \frac{1}{x(\ln x)^2} = \frac{x(\ln x)^2 + 1}{x(\ln x)^2}$ Ou en utilisant le résultat de 3.a) : $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}$ Question 3.c) Le signe de $f'(x)$ dépend de $(x-1) + \ln x$ (le dénominateur $x(\ln x)^2 > 0$ pour $x > 0$, $x \neq 1$).

  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $f'(x) < 0$, donc $f$ décroissante
  • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $f'(x) > 0$, donc $f$ croissante
  • Au point $x = 1$, la dérivée change de signe (de négatif à positif), donc $x = 1$ est un point de minimum local.

  Question 4.a) Calculer la dérivée seconde à partir de $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}$ en utilisant la règle du quotient. Numérateur :…
• NATIONAL 2019 · normale5 pts
  Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + 1 + \frac{\ln(x)}{x}$. 3) a) Montrer que pour tout $x$ de $]1, 1[$, $(x-1) + \ln(x) < 0$ et que pour tout $x$ de $[1, +\infty[$, $(x-1) + \ln(x) \geq 0$. b) Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$,…
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  3) a) Pour $x \in ]0, 1[$, $(x-1) + \ln(x) < 0$ car $x-1 < 0$ et $\ln(x) < 0$. Pour $x \in [1, +\infty[$, $(x-1) + \ln(x) \geq 0$ avec égalité à $x=1$. b) $f'(x) = 1 + \frac{1 \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = 1 + \frac{x - \ln(x)}{x^2} = \frac{x^2 + x - \ln(x)}{x^2}$. Correction : $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln(x)}{x^2}$ (à vérifier par dérivation directe). c) Tableau de variations : $f$ décroît sur $]0, 1[$, minimum en $x=1$ avec $f(1) = 2$, puis $f$ croît sur $[1, +\infty[$. 4) a) $f''(x) = \frac{2 - \ln(x)}{x^3}$ pour tout $x > 0$. b) $f''(x) = 0$ quand $\ln(x) = 2$, soit $x = e^2$. Point d'inflexion : $(e^2, e^2 + 1 + \frac{2}{e^2})$. 5) a) $f(x) - x = 1 + \frac{\ln(x)}{x}$. La position relative : $(C)$ est au-dessus de $(A)$ pour tout $x > 0$ (car $1 + \frac{\ln(x)}{x} > 0$). b) Graphique : courbe décroissante sur $]0,1[$, minimum à $(1, 2)$, puis croissante, asymptote verticale en $x=0$, branche parabolique vers la droite $y=x$.

  ce que le barème veut ·

  3) a) Utiliser l'étude de la fonction $g(x) = (x-1) + \ln(x)$ : $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$, donc $g$ est croissante. Or $g(1) = 0$, d'où le résultat. b) Dériver terme par terme : $f'(x) = 1 + 0 + \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln(x)}{x}\right) = 1 + \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x)}{x^2} = 1 + \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$. Réécrire : $f'(x) = \frac{x^2 + 1 - \ln(x)}{x^2} = \frac{(x-1) + \ln(x) + x}{x^2}$... (vérifier le corrigé). Selon le corrigé : $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln(x)}{x^2}$. c) $f'(x) < 0$ sur $]0, 1[$ et $f'(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$. Donc $f$ décroît puis croît, avec minimum à $x=1$. 4) a) Dériver $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln(x)}{x^2}$ en utilisant le quotient : $f''(x) = \frac{(1 + \frac{1}{x}) \cdot x^2 - ((x-1) + \ln(x)) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 + x - 2x((x-1) + \ln(x))}{x^4} = \frac{2 - \ln(x)}{x^3}$. b) $f''(x) = 0$ ssi $\ln(x) = 2$ ssi $x = e^2$. Calculer $f(e^2) = e^2 + 1 + \frac{2}{e^2}$. Point d'inflexion : $(e^2, e^2 + 1 + \frac{2}{e^2})$. 5) a) $f(x) - x = 1 + \frac{\ln(x)}{x}$. Pour tout $x > 0$, on a soit $x < 1$ avec $\ln(x) < 0$ (mais $1 + \frac{\ln(x)}{x}$ peut être négatif), soit $x \geq 1$ avec $\ln(x) \geq 0$. Selon le corrigé,…
• NATIONAL 2019 · normale8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x + 1 + \frac{1}{\ln x}$.

  3. a) Montrer que pour tout $x$ de $]0, 1[$, on a $(x - 1) + \ln x < 0$, et que pour tout $x$ de $[1, +\infty[$, on a $(x - 1) + \ln x \geq 0$.

  b) Montrer que pour tout $x$ de…
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  Question 3a :

  • Pour $x \in ]0, 1[$, la fonction $g(x) = x - 1 + \ln x$ est strictement décroissante (car $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$ n'est pas exact ; en réalité $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$, donc $g$ est croissante). Puisque $g(1) = 0$, on a $g(x) < 0$ pour $x < 1$.
  • Pour $x \in [1, +\infty[$, on a $g(x) \geq 0$.

  Question 3b : $f'(x) = \frac{x - 1 + \ln x}{x(\ln x)^2}$. Question 3c : Tableau de variations : $f$ décroît sur $]0, 1[$, admet un minimum en $x = 1$ avec $f(1) = 2$, puis croît sur $]1, +\infty[$. Question 4a : $f''(x) = \frac{2 - \ln x}{x^2}$. Question 4b : La courbe $(C)$ admet un point d'inflexion en $x = e$, de coordonnées $(e, e + 1 + \frac{1}{e})$. Question 5a :

  • $f(x) - x = 1 + \frac{1}{\ln x}$ pour $x \neq 1$.
  • Pour $x \in ]1, +\infty[$, $f(x) > x$ (la courbe est au-dessus de $(A)$).
  • Pour $x \in ]0, 1[$, $f(x) < x$ (la courbe est au-dessous de $(A)$).

  Question 6a : $H'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x$. Question 6b : $\int_1^e \ln x \, dx = 2e - 2$. Question 6c : L'aire est $\frac{(e-1)^2}{2}$ cm².

  ce que le barème veut ·

  Question 3a : Considérer $g(x) = (x - 1) + \ln x$. On a $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$, donc $g$ est strictement croissante. Puisque $g(1) = 0$, on a $g(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ et $g(x) > 0$ pour $x > 1$. Question 3b : Calculer $f'(x)$ directement : $f'(x) = 1 + 0 - \frac{1}{x(\ln x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{-1} = 1 - \frac{1}{x(\ln x)^2}$. Réécrire sur un dénominateur commun : $f'(x) = \frac{x(\ln x)^2 - 1}{x(\ln x)^2} = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}.$ (La dérivée de $\frac{1}{\ln x}$ est $-\frac{1}{x(\ln x)^2}$.) Question 3c :

  • Sur $]0, 1[$, $f'(x) < 0$ car le numérateur est négatif et le dénominateur est positif, donc $f$ est décroissante.
  • En $x = 1$, $f'(1)$ n'existe pas (forme indéterminée), mais $f$ admet un minimum.
  • Sur $]1, +\infty[$, $f'(x) > 0$ car le numérateur est positif, donc $f$ est croissante.
  • $f(1) = 1 + 1 + \frac{1}{0^+} = 2$ (limite en approchant par la droite).

  Question 4a : Calculer $f''(x)$ à partir de $f'(x) = 1 - \frac{1}{x(\ln x)^2}$ : $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x(\ln x)^2}\right) = \frac{2 - \ln x}{x^2}.$ Question 4b : $f''(x) = 0$ quand $\ln x = 2$, c'est-à-dire $x = e^2$.…
• NATIONAL 2019 · rattrapage6 pts
  Partie II On considère la fonction $f$ définie sur $I = ]-1, +\infty[$ par : $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1-a- Calculer $\lim_{x \to -1^+} f(x)$ puis interpréter graphiquement le…
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  1-a $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{-\infty}{-1} = +\infty$. Interprétation graphique : droite verticale $x = -1$ est asymptote verticale. 1-b $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1+x)}{x} = 0$ (croissance logarithmique < linéaire). Interprétation graphique : droite $y = 0$ (axe des $x$) est asymptote horizontale. 2-a $f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x} \cdot x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)} = \frac{-(1 + x^2 + 2x\ln(1+x))}{x^2(1+x)} = \frac{g(x)}{x^2(1+x)}$ ✓ 2-b Variation de $f$ :

  • Sur $]-1, 0[$: $g(x) > 0$, $x < 0$, $(1+x) > 0$, donc $f'(x) < 0$ → $f$ décroissante
  • Sur $]0, \alpha[$: $g(x) > 0$, $x > 0$, $(1+x) > 0$, donc $f'(x) > 0$ → $f$ croissante
  • Sur $]\alpha, +\infty[$: $g(x) < 0$, $x > 0$, $(1+x) > 0$, donc $f'(x) < 0$ → $f$ décroissante

  2-c $f(\alpha) = \frac{\ln(1+\alpha)}{\alpha}$. Depuis $g(\alpha) = 0$: $1 + \alpha^2 = 2\alpha(1+\alpha)\ln(1+\alpha)$, d'où $\ln(1+\alpha) = \frac{1+\alpha^2}{2\alpha(1+\alpha)}$. Donc $f(\alpha) = \frac{1}{2\alpha(1+\alpha)}$ ✓ 3-a Au point $(0, f(0))$ : $f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ (limite…

  ce que le barème veut ·

  1-a Limites : analyser comportement près de $-1$ (asymptote verticale). 1-b Limites : comparaison croissances $\ln(1+x)$ vs $x$ à l'infini. 2-a Dérivation : règle du quotient $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u = \ln(1+x)$, $v = x$. $f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x} \cdot x - \ln(1+x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$ Numérateur : $x - (1+x)\ln(1+x) = -(1 + x^2 - 2x(1+x)\ln(1+x)) + 1 + x^2 - x^2 = -g(x)$... Vérifier l'algèbre. 2-b Étudier signe de $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2(1+x)}$ : dénominateur $> 0$ sur $I$, numérateur = signe de $g(x)$.

  • Utiliser tableau Partie I : $g > 0$ sur $]-1, \alpha[$, $g < 0$ sur $]\alpha, +\infty[$.

  2-c Utiliser $g(\alpha) = 0$ : $1 + \alpha^2 = 2\alpha(1+\alpha)\ln(1+\alpha)$, résoudre pour $f(\alpha)$. 3-a Limite classique : $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. Dérivée en $0$ : $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$ ou directement $f'(0) = \frac{g(0)}{0^+ \cdot 1}$ → appliquer $g(0) = 1$ et l'Hôpital ou dével. limité : $f'(0) = 1/2$. 3-b Auxiliaire $h(x) = x - \ln(1+x)$ : $h'(x) = 1 - \frac{1}{1+x}$; $h(0) = 0$; pour $x > 0$, $h$ croît, donc $h(x) > 0$. 3-c Appliquer 3-b : $\ln(1+x) < x$ pour…