Dériver un produit, un quotient, une composée

À tenir avant

• Calculer un nombre dérivé par la définition

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2021 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $h(x) = x + \ln x$.

  1. Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Déterminer $h(]0; +\infty[)$.
  3. a) En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique…
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  1. La fonction $h$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. $h'(x) = 1 + \frac{1}{x}$. Pour tout $x \in ]0; +\infty[$, $1 > 0$ et $\frac{1}{x} > 0$, donc $h'(x) > 0$. Par conséquent, la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Puisque $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$, son image est l'intervalle $]\lim_{x \to 0^+} h(x); \lim_{x \to +\infty} h(x)[$. $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \ln x) = 0 + (-\infty) = -\infty$. $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$. Donc $h(]0; +\infty[) = ]-\infty; +\infty[ = \mathbb{R}$.
  3. a) La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$. De plus, $0 \in \mathbb{R} = h(]0; +\infty[)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0; +\infty[$. b) On calcule $h(1) = 1 + \ln(1) = 1 + 0 = 1$. On sait que $h(\alpha) = 0$. Puisque $h$ est strictement croissante et $h(\alpha) = 0 < h(1) = 1$, on en déduit que $\alpha < 1$. Pour montrer $0 < \alpha$, on peut évaluer $h(x)$ pour une valeur proche de 0, par exemple…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la dérivée $h'(x)$ et vérifier son signe sur $]0; +\infty[$.
  2. Calculer les limites de $h(x)$ aux bornes de l'intervalle de définition pour déterminer l'image.
  3. a) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. b) Évaluer $h(x)$ en des points pertinents (comme $x=1$) pour encadrer $\alpha$.
  4. a) Utiliser la définition de $h(x)$ et la relation $h(\alpha)=0$ pour simplifier l'expression. b) Utiliser l'inégalité $x + 1/x \ge 2$ pour $x>0$.
• NATIONAL 2019 · normale6 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x}$ 3) a) Montrer que pour tout $x$ de $]1, +\infty[$ : $(x-1) + \ln x > 0$, et que pour tout $x$ de $]0, 1[$ : $(x-1) + \ln x < 0$ b) Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$…
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  3.a)

  • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $(x-1) + \ln x > 0$ ✓
  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $(x-1) + \ln x < 0$ ✓

  3.b) $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}$ 3.c) Tableau de variations :

  • $f$ est décroissante sur $]0, 1[$
  • $f$ admet un minimum au point $x = 1$ avec $f(1)$ non défini (limite)
  • $f$ est croissante sur $]1, +\infty[$

  4.a) $f''(x) = \frac{2 - \ln x}{x^2(\ln x)^3}$ 4.b) Le point d'inflexion est en $x = e^2$ avec les coordonnées $(e^2, e^2 + 1 - \frac{1}{2}) = (e^2, e^2 + \frac{1}{2})$ 5.a) $f(x) - x = \frac{(1-x)(\ln x - 1)}{x(\ln x)^2}$ Position relative :

  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $f(x) > x$ (courbe au-dessus de la droite)
  • Pour $x = 1$ : point limite
  • Pour $x \in ]1, e[$ : $f(x) > x$
  • Pour $x = e$ : $f(e) = e$
  • Pour $x \in ]e, +\infty[$ : $f(x) < x$ (courbe au-dessous de la droite)

  5.b) Voir construction graphique (asympotote verticale $x = 0$, asymptote oblique $y = x$, point d'inflexion, etc.)

  ce que le barème veut ·

  Question 3.a) Considérer la fonction $g(x) = (x-1) + \ln x$ sur $]0, +\infty[$.

  • Calculer $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$, donc $g$ est strictement croissante.
  • $g(1) = 0 + 0 = 0$
  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $g(x) < g(1) = 0$
  • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $g(x) > g(1) = 0$

  Question 3.b) $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + 1 - \frac{1}{\ln x}\right) = 1 - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln x}\right)$ Utiliser la règle de dérivation : $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln x}\right) = -\frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x}$ Donc : $f'(x) = 1 + \frac{1}{x(\ln x)^2} = \frac{x(\ln x)^2 + 1}{x(\ln x)^2}$ Ou en utilisant le résultat de 3.a) : $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}$ Question 3.c) Le signe de $f'(x)$ dépend de $(x-1) + \ln x$ (le dénominateur $x(\ln x)^2 > 0$ pour $x > 0$, $x \neq 1$).

  • Pour $x \in ]0, 1[$ : $f'(x) < 0$, donc $f$ décroissante
  • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $f'(x) > 0$, donc $f$ croissante
  • Au point $x = 1$, la dérivée change de signe (de négatif à positif), donc $x = 1$ est un point de minimum local.

  Question 4.a) Calculer la dérivée seconde à partir de $f'(x) = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}$ en utilisant la règle du quotient. Numérateur :…
• NATIONAL 2017 · rattrapage4 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = [0,+\infty[$ par : $f(0)=1 \quad \text{et} \quad \forall x\in ]0,+\infty[ \quad f(x) = \frac{\arctan(x)}{x}$ 1- Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ 2-a) Soit $x$ dans $I$.Montrer que :…
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  1. $f$ est continue sur $]0, +\infty[$ comme quotient de fonctions continues. En $x=0$ : $\lim_{x \to 0^+} \frac{\arctan(x)}{x} = 1$ (limite classique) $= f(0)$, donc $f$ est continue en $0$. Par suite, $f$ est continue sur $[0, +\infty[$. 2.a) Pour $t \in [0,x]$, on a $0 \leq t \leq x$, donc $0 \leq t^2 \leq x^2$. Par conséquent, $1 \leq 1+t^2 \leq 1+x^2$. En prenant l'inverse, on obtient $\frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{1+t^2} \leq 1$. 2.b) En intégrant l'inégalité précédente de $0$ à $x$ (pour $x \geq 0$): $\int_0^x \frac{1}{1+x^2} dt \leq \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt \leq \int_0^x 1 dt$ $\frac{x}{1+x^2} \leq [\arctan(t)]_0^x \leq x$ $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x) \leq x$. 2.c) Pour montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$, on étudie la limite de $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\frac{\arctan(x)}{x} - 1}{x} = \frac{\arctan(x)-x}{x^2}$ quand $x \to 0^+$. En utilisant le développement limité de $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$, on a $\frac{x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) - x}{x^2} = \frac{-\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^2} = -\frac{x}{3} + o(x)$. La limite est $0$. Donc $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=0$. 3.a) Pour $x \in ]0, +\infty[$,…

  ce que le barème veut ·

  1. Vérifier la continuité sur $]0, +\infty[$ et en $0$. 2.a) Partir de $0 \leq t \leq x$ et manipuler les inégalités. 2.b) Intégrer l'inégalité de 2.a) de $0$ à $x$. 2.c) Calculer la limite du taux d'accroissement en $0$ en utilisant un développement limité. 3.a) Calculer la dérivée de $f(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient. 3.b) Étudier le signe de $f'(x)$ en introduisant une fonction auxiliaire et en étudiant ses variations.
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  n est un entier naturel supérieur ou égal à2. On considère la fonction numérique $g_n$ à variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[n, +\infty[$ par: $g_n(x) = \int_n^x \frac{1}{\ln t} dt$ 0.5 1-a) Montrer que la fonction $g_n$ est dérivable sur l'intervalle…
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  1-a) La fonction $t \mapsto \frac{1}{\ln t}$ est continue sur $[n, +\infty[$ (car $n \ge 2 \implies \ln t \ne 0$). Donc $g_n(x)$ est dérivable sur $[n, +\infty[$ et $g'_n(x) = \frac{1}{\ln x}$.
  b) Pour $x \ge n \ge 2$, $\ln x > 0$, donc $g'_n(x) = \frac{1}{\ln x} > 0$. Par conséquent, $g_n$ est strictement croissante sur $[n, +\infty[$.
  2-a) Pour $t \in [n, x]$, $\ln t \le \ln x$. Donc $\frac{1}{\ln t} \ge \frac{1}{\ln x}$.
  $g_n(x) = \int_n^x \frac{1}{\ln t} dt \ge \int_n^x \frac{1}{\ln x} dt = \frac{x-n}{\ln x}$.
  L'inégalité donnée dans l'énoncé est $g_n(x) \ge \ln\left(\frac{x-1}{n-1}\right)$.
  b) $\lim_{x\to +\infty} \frac{x-n}{\ln x} = +\infty$ (par croissance comparée). Donc $\lim_{x\to +\infty} g_n(x) = +\infty$.
  3-a) $g_n$ est continue et strictement croissante sur $[n, +\infty[$. $g_n(n) = 0$ et $\lim_{x\to +\infty} g_n(x) = +\infty$. Donc $g_n$ est une bijection de $[n, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$.
  b) Puisque $1 \in [0, +\infty[$, il existe un unique $u_n \in [n, +\infty[$ tel que $g_n(u_n) = 1$, c'est-à-dire $\int_n^{u_n} \frac{1}{\ln t} dt=1$.
  4-a) L'énoncé de la question 4-a est mal retranscrit. En se référant au PDF, il…

  ce que le barème veut · 1. Utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour la dérivabilité et calculer la dérivée. 2. Analyser le signe de la dérivée pour la monotonie. 3. Utiliser des inégalités pour minorer la fonction et déterminer sa limite. 4. Appliquer le théorème de la bijection pour montrer l'existence et l'unicité. 5. Utiliser les propriétés des intégrales et la monotonie de la fonction pour étudier la suite.
• NATIONAL 2014 · normale2 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$

  1. Montrer que $g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$, et en déduire que $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$.
  2. Vérifier que $g(1) = 0$, puis en…
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  1. $g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ pour tout $x > 0$, et $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$.
  2. $g(1) = 0$. On a : $g(x) < 0$ pour $x \in ]0, 1]$ et $g(x) > 0$ pour $x \in [1, +\infty[$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 :

  • Calculer la dérivée : $g'(x) = 0 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) + \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$.
  • Analyser le signe : Pour tout $x > 0$, on a $\frac{1}{x^2} > 0$ et $\frac{1}{x} > 0$.
  • Donc $g'(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$.
  • Conclusion : $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$.

  Question 2 :

  • Vérifier $g(1) = 0$ : $g(1) = 1 - \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0$ ✓.
  • Puisque $g$ est croissante et $g(1) = 0$ :
    • Pour $x \in ]0, 1[$ : $g(x) < g(1) = 0$, donc $g(x) < 0$.
    • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $g(x) > g(1) = 0$, donc $g(x) > 0$.
    • Pour $x = 1$ : $g(1) = 0$.
  • Résumé : $g(x) < 0$ sur $]0, 1[$ et $g(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$ (avec $g(1) = 0$).
• NATIONAL 2011 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction g définie sur I= $]0;+\infty[$ par : $g(x) = x-1+\ln x$

  1. a – Montrer que $g'(x) = \frac{x+1}{x}$ b - Montrer que g est croissante sur I
  2. En déduire que : $g(x) \geq0$ sur $[1,+\infty[$ et $g(x)\leq0$ sur $]0,1]$ (Remarquer que $g(1) = 0$)
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  1. a) Pour tout $x \in I = ]0;+\infty[$, la fonction $g(x) = x-1+\ln x$ est dérivable. $g'(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\ln x) = 1 - 0 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$.

  b) Pour tout $x \in I = ]0;+\infty[$, on a $x > 0$ et $x+1 > 0$, donc $g'(x) = \frac{x+1}{x} > 0$. Puisque $g'(x) > 0$ sur $I$, la fonction $g$ est strictement croissante sur $I$.

  2. On sait que $g(1) = 1-1+\ln(1) = 0$. Puisque $g$ est strictement croissante sur $I$ :

  • Pour $x \in ]0,1]$, on a $x \leq 1$. Comme $g$ est croissante, $g(x) \leq g(1)$. Donc $g(x) \leq 0$.
  • Pour $x \in [1,+\infty[$, on a $x \geq 1$. Comme $g$ est croissante, $g(x) \geq g(1)$. Donc $g(x) \geq 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la dérivée $g'(x)$ de la fonction $g(x)$.
  2. Déterminer le signe de $g'(x)$ pour en déduire le sens de variation de $g(x)$.
  3. Utiliser la valeur de $g(1)$ et le sens de variation de $g(x)$ pour déduire le signe de $g(x)$ sur les intervalles spécifiés.
• NATIONAL 2011 · rattrapage2 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $I= ]0;+\infty[$ par : $g(x) = x-1+\ln x$

  1. a) Montrer que $g'(x) = \frac{x+1}{x}$ $\forall x \in I$ b) Montrer que $g$ est croissante sur $I$
  2. En déduire que : $g(x) \ge 0$ sur $[1;+\infty[$ et $g(x) \le 0$ sur $]0;1]$ (Remarquer que…
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  1. a) $g'(x) = \frac{d}{dx}(x-1+\ln x) = 1 + 0 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$. b) Pour tout $x \in I = ]0;+\infty[$, on a $x > 0$ et $x+1 > 0$. Donc $g'(x) = \frac{x+1}{x} > 0$. Puisque la dérivée $g'(x)$ est strictement positive sur $I$, la fonction $g$ est strictement croissante sur $I$.
  2. On sait que $g(1) = 1-1+\ln(1) = 0$. Puisque $g$ est croissante sur $I$ :

  • Pour $x \in [1;+\infty[$, on a $x \ge 1$. Donc $g(x) \ge g(1)$, ce qui signifie $g(x) \ge 0$.
  • Pour $x \in ]0;1]$, on a $x \le 1$. Donc $g(x) \le g(1)$, ce qui signifie $g(x) \le 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la dérivée $g'(x)$.
  2. Déterminer le signe de $g'(x)$ pour conclure sur la monotonie de $g$.
  3. Utiliser la valeur de $g(1)$ et la monotonie de $g$ pour déduire le signe de $g(x)$ sur les intervalles donnés.
• NATIONAL 2011 · rattrapage4 pts
  2. a) Montrer que $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ $\forall x \in I$ b) En déduire que $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ et décroissante sur $]0;1]$ c) Dresser le tableau des variations de $f$.
  3. Construire la courbe $(C_f)$ (on admettra que $(C_f)$ possède un seul point…
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  2. a) La fonction $f(x) = (x-1) \frac{\ln x}{x} = \frac{x\ln x - \ln x}{x}$. Pour calculer $f'(x)$, on utilise la formule de dérivation d'un quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Soit $u(x) = x\ln x - \ln x$ et $v(x) = x$. $u'(x) = (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} = \ln x + 1 - \frac{1}{x}$. $v'(x) = 1$. $f'(x) = \frac{(\ln x + 1 - \frac{1}{x})x - (x\ln x - \ln x) \cdot 1}{x^2}$ $f'(x) = \frac{x\ln x + x - 1 - x\ln x + \ln x}{x^2}$ $f'(x) = \frac{x - 1 + \ln x}{x^2}$. On sait que $g(x) = x-1+\ln x$. Donc $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$. b) Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $g(x)$ car $x^2 > 0$ pour $x \in I=]0;+\infty[$. D'après la partie I, on sait que :

  • $g(x) \le 0$ sur $]0;1]$, donc $f'(x) \le 0$ sur $]0;1]$. Ainsi, $f$ est décroissante sur $]0;1]$.
  • $g(x) \ge 0$ sur $[1;+\infty[$, donc $f'(x) \ge 0$ sur $[1;+\infty[$. Ainsi, $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$. c) Tableau des variations de $f$ : | $x$ | $0$ | $1$ | $+ \infty$ | |---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $+ \infty$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $+ \infty$ |

  Note : $f(1) = (1-1) \frac{\ln 1}{1} = 0 \cdot 0 = 0$. 3) Construction de la courbe $(C_f)$ :…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant la règle du quotient et la dérivée de $x\ln x$.
  2. Utiliser le signe de $g(x)$ (établi dans la partie I) pour déterminer le signe de $f'(x)$ et en déduire les intervalles de monotonie de $f$.
  3. Construire le tableau de variations en incluant les limites et les valeurs aux points critiques.
  4. Pour la construction de la courbe, utiliser les informations obtenues (asymptotes, minimum, branche parabolique, point d'inflexion).