Démontrer par récurrence

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  Exercice 1 (3 points) : On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{4u_n - 2}{1+u_n}$ , pour tout entier naturel $n$

  1. a) Vérifier que $u_{n+1} = 4 - \dfrac{6}{1+u_n}$ , pour tout entier naturel $n$ b) Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$,…
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  1. a) $u_{n+1} = 4 - \dfrac{6}{1+u_n}$ est vérifiée. b) La propriété $2 \le u_n \le 4$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. a) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$ est vérifiée. b) La suite $(u_n)$ est décroissante et convergente.
  3. a) $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$. b) $u_n = 1 + \dfrac{1}{v_n}$ est vérifiée. c) $\lim_{n\to\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Réduire au même dénominateur l'expression donnée pour $u_{n+1}$. b) Utiliser la récurrence en vérifiant l'initialisation et l'hérédité. 2) a) Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et simplifier. b) Déduire le sens de variation de $(u_n)$ à partir du signe de $u_{n+1} - u_n$ et conclure sur la convergence. 3) a) Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. b) Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ à partir de la définition de $v_n$. c) Calculer la limite de $v_n$ puis celle de $u_n$.
• NATIONAL 2021 · normale3 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_1 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ 0.25 1) Calculer $u_2$ 0.5 2) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $0<u_n\leq \frac{1}{2}$ 0.5 3) a) Montrer que pour tout $n$…
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  1. $u_2 = \frac{u_1}{3-2u_1} = \frac{1/2}{3-2(1/2)} = \frac{1/2}{3-1} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$
  2. Initialisation: Pour $n=1$, $u_1 = 1/2$, donc $0 < 1/2 \leq 1/2$. La propriété est vraie pour $n=1$. Hérédité: Supposons que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \leq 1/2$. Alors $2u_n \leq 1$, donc $3-2u_n \geq 2$. Aussi, $u_n > 0$. Donc $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n} > 0$. De plus, $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n} \leq \frac{1/2}{3-2(1/2)} = \frac{1/2}{2} = 1/4$. Puisque $1/4 \leq 1/2$, on a $0 < u_{n+1} \leq 1/2$. La propriété est héréditaire. Conclusion: Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \leq 1/2$.
  3. a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{3-2u_n}$. D'après la question 2), $0 < u_n \leq 1/2$. Donc $2u_n \leq 1$, ce qui implique $3-2u_n \geq 2$. Par conséquent, $\frac{1}{3-2u_n} \leq \frac{1}{2}$. Puisque $1/2 \leq 1$, on a $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$. b) Puisque $u_n > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$, on a $u_{n+1} \leq u_n$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
  4. a) Initialisation: Pour $n=1$, $u_1 = 1/2$, et $(1/2)^{1+1} = 1/4$. On a $0 < 1/2 \not\leq 1/4$. L'énoncé est incorrect. En fait,…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $u_2$ using the recursive definition.
  2. Prove the inequality $0 < u_n \leq 1/2$ by mathematical induction.
  3. a) Show that $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$ by substituting the recursive definition and using the result from step 2. b) Deduce the monotonicity of the sequence from the result of 3a.
  4. a) The statement in the prompt for 4a seems to have a typo. Assuming the limit is 0, calculate the limit of $u_n$. (Based on the context of similar problems, $u_n$ usually converges to 0 for this type of recurrence if $u_1$ is small enough). b) Calculate the limit of $v_n$ using the limit of $u_n$.
  5. a) Verify the given identity by substituting the recursive definition of $u_{n+1}$. b) Recognize the resulting sequence as a geometric progression and find its general term, then express $u_n$ in terms of $n$.
• NATIONAL 2021 · normale4 pts
  Exercice 2: (4 points) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_1 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{IN}$ 0.25 1) Calculer $u_2$ 0.5 2) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{IN}$, $0<u_n\leq\frac{1}{2}$ 0.5 3) a)…
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  la correction

  1. $u_2 = \frac{u_1}{3-2u_1} = \frac{1/2}{3-2(1/2)} = \frac{1/2}{3-1} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$
  2. Pour $n=1$, $0 < u_1 = 1/2 \leq 1/2$. Supposons $0 < u_n \leq 1/2$. Alors $0 < 2u_n \leq 1$, donc $2 \leq 3-2u_n < 3$. Ainsi $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n}$. Puisque $u_n > 0$ et $3-2u_n > 0$, alors $u_{n+1} > 0$. De plus, $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n} \leq \frac{1/2}{2} = 1/4 \leq 1/2$. Donc $0 < u_{n+1} \leq 1/2$.
  3. a) $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{3-2u_n}$. Puisque $0 < u_n \leq 1/2$, on a $0 < 2u_n \leq 1$, donc $2 \leq 3-2u_n < 3$. Par conséquent, $\frac{1}{3-2u_n} < \frac{1}{2} < 1$. Donc $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$. b) Puisque $u_n > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, on a $u_{n+1} < u_n$. La suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante.
  4. a) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite $L$. En passant à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n}$, on obtient $L = \frac{L}{3-2L}$. Cela implique $L(3-2L) = L$, donc $3L - 2L^2 = L$, ce qui donne $2L - 2L^2 = 0$, ou $2L(1-L) = 0$. Les solutions sont $L=0$ ou $L=1$. Puisque $u_1 = 1/2$ et la suite est décroissante, $L \leq 1/2$. Donc la limite de la suite…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $u_2$ using the given recurrence relation.
  2. Prove the inequality $0 < u_n \leq 1/2$ by induction.
  3. Analyze the ratio $u_{n+1}/u_n$ to determine the monotonicity of the sequence.
  4. Find the limit of the sequence $(u_n)$ by solving the fixed-point equation and then calculate the limit of $v_n$.
  5. Verify the given relation for $1/u_{n+1}-1$ and use it to find an explicit formula for $u_n$.
• NATIONAL 2021 · normale4 pts
  Exercice 2: (4 points) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par: $u_0=\frac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{3-2u_n}$ pour tout $n$ de IN 0.25 1) Calculer $u_1$ 0.5 2) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de IN, $0<u_n\le\frac{1}{2}$ 0.5 3) a) Montrer que pour tout…
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  la correction

  1. $u_1 = \frac{1}{4}$
  2. Par récurrence: Pour $n=0$, $0 < u_0 = \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}$. Supposons $0 < u_n \le \frac{1}{2}$. Alors $0 < 2u_n \le 1$, donc $2 \le 3-2u_n < 3$. Ainsi $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{3-2u_n} \le \frac{1}{2}$. Donc $0 < u_{n+1} = u_n \frac{1}{3-2u_n} \le \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \le \frac{1}{2}$.
  3. a) $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{3-2u_n}$. Puisque $0 < u_n \le \frac{1}{2}$, on a $2 \le 3-2u_n < 3$, donc $\frac{1}{3} < \frac{1}{3-2u_n} \le \frac{1}{2}$. D'où $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{1}{2}$. b) Puisque $u_n > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{1}{2} < 1$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
  4. a) Par récurrence: Pour $n=0$, $0 < u_0 = \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{0+1}$. Supposons $0 < u_n \le (\frac{1}{2})^{n+1}$. Alors $u_{n+1} = \frac{u_n}{3-2u_n} \le \frac{u_n}{2} \le \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{n+1} = (\frac{1}{2})^{n+2}$. Comme $0 < u_n \le (\frac{1}{2})^{n+1}$ et $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{2})^{n+1} = 0$, par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. b) $\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} ln(3-2u_n) = ln(3-2 \cdot 0) = ln(3)$.
  5. a)…

  ce que le barème veut ·

  1. Calcul direct de $u_1$.
  2. Preuve par récurrence de l'encadrement de $u_n$.
  3. Calcul du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et déduction de la monotonie.
  4. Preuve par récurrence de l'encadrement de $u_n$ et calcul de la limite.
  5. Vérification de la relation de récurrence pour une suite auxiliaire et expression de $u_n$ en fonction de $n$.
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = \frac{3}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

  1. Calculer $u_1$.
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n > 0$. 3)a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$,…
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  1. $u_1 = \frac{3}{4}$
  2. La propriété est $P(n): u_n > 0$.
     • Initialisation: $u_0 = \frac{3}{2} > 0$, donc $P(0)$ est vraie.
     • Hérédité: Supposons $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $u_n > 0$. Alors $2u_n > 0$ et $2u_n + 5 > 0$. Donc $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5} > 0$. Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
     • Conclusion: Par récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3)a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. On a $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$. On veut montrer $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Cela équivaut à $\frac{2u_n}{2u_n + 5} \leq \frac{2}{5}u_n$. Puisque $u_n > 0$, on peut diviser par $2u_n$: $\frac{1}{2u_n + 5} \leq \frac{1}{5}$. Ceci est équivalent à $2u_n + 5 \geq 5$, ce qui signifie $2u_n \geq 0$, ou $u_n \geq 0$. Cette dernière inégalité est vraie d'après la question 2). Donc $0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Par récurrence, on peut déduire $u_n \leq \left(\frac{2}{5}\right)^n u_0 = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n$. Puisque $u_n > 0$, on a $0 < u_n \leq \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n$. b) Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$. Par le théorème des gendarmes,…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $u_1$ by substituting $n=0$ into the recurrence relation.
  2. Prove $u_n > 0$ by mathematical induction. 3.a. Prove the inequality $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$ by algebraic manipulation, then use it to deduce the upper bound for $u_n$. 3.b. Use the squeeze theorem (théorème des gendarmes) to find the limit of $u_n$. 4.a. Calculate $v_{n+1}$ in terms of $u_n$ and show that $v_{n+1} = q v_n$ for a constant $q$. 4.b. Find $v_0$ and express $v_n$ in terms of $n$, then rearrange the definition of $v_n$ to express $u_n$ in terms of $v_n$ and substitute $v_n$.
• NATIONAL 2020 · normale3 pts
  Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = \frac{3}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ 0.25

  1. Calculer $u_1$ 0.5
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n > 0$ 1 3)a) Montrer que pour tout $n$ de…
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  1. $u_1 = \frac{2(3/2)}{2(3/2)+5} = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$
  2. Par récurrence:
     • Initialisation: Pour $n=0$, $u_0 = 3/2 > 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.
     • Hérédité: Supposons que $u_n > 0$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$. Alors $2u_n > 0$ et $2u_n + 5 > 5 > 0$. Donc $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5} > 0$. Par le principe de récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3)a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}$. Puisque $u_n > 0$, $2u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 0$. $u_{n+1} - \frac{2}{5}u_n = \frac{2u_n}{2u_n + 5} - \frac{2}{5}u_n = \frac{10u_n - 2u_n(2u_n+5)}{5(2u_n+5)} = \frac{10u_n - 4u_n^2 - 10u_n}{5(2u_n+5)} = \frac{-4u_n^2}{5(2u_n+5)}$. Puisque $u_n > 0$, $-4u_n^2 < 0$ et $5(2u_n+5) > 0$. Donc $u_{n+1} - \frac{2}{5}u_n < 0$, ce qui implique $u_{n+1} < \frac{2}{5}u_n$. Ainsi, $0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$. Par récurrence, $u_n \leq (\frac{2}{5})^n u_0 = (\frac{2}{5})^n \frac{3}{2}$. Donc $0 < u_n \leq \frac{3}{2}(\frac{2}{5})^n$. b) Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$, $\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{5})^n = 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. 4)a)…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $u_1$ by substituting $n=0$ into the recurrence relation.
  2. Prove $u_n > 0$ by mathematical induction. 3.a. Show $u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n$ by comparing $u_{n+1}$ with $\frac{2}{5}u_n$. Then use induction or direct iteration to deduce the upper bound for $u_n$. 3.b. Use the squeeze theorem (théorème des gendarmes) to find the limit of $u_n$. 4.a. Calculate $v_{n+1}$ in terms of $u_n$ and then substitute $v_n$ to show it's a geometric sequence. 4.b. Find $v_0$ and write $v_n$ in terms of $n$. Then rearrange the definition of $v_n$ to express $u_n$ in terms of $v_n$, and substitute $v_n$ with its expression in terms of $n$.
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  Exercice 1 : (4 points ) Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par : $u_{0}=\frac{3}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{2u_{n}}{2u_{n}+5}$ pour tout $n$ de IN 0.25

  1. Calculer $u_{1}$ 0.5
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de IN, $u_{n}>0$ 1 3)a) Montrer que pour tout $n$ de IN,…
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  la correction

  1. $u_1 = \frac{2u_0}{2u_0+5} = \frac{2(3/2)}{2(3/2)+5} = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$.
  2. Initialisation: Pour $n=0$, $u_0 = 3/2 > 0$. La propriété est vraie. Hérédité: Supposons que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. Alors $2u_n > 0$ et $2u_n+5 > 5 > 0$. Donc $u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n+5} > 0$. La propriété est héréditaire. Conclusion: Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. 3)a) We want to show $u_{n+1} \le \frac{2}{5}u_n$. This is equivalent to $\frac{2u_n}{2u_n+5} \le \frac{2}{5}u_n$. Since $u_n > 0$, we can divide by $2u_n$: $\frac{1}{2u_n+5} \le \frac{1}{5}$. This implies $2u_n+5 \ge 5$, which means $2u_n \ge 0$, or $u_n \ge 0$. This is true from question 2. So $u_{n+1} \le \frac{2}{5}u_n$. Since $u_n > 0$, we have $0 < u_{n+1}$. By induction, $u_n \le (\frac{2}{5})^n u_0$. Since $u_0 = 3/2$, we have $0 < u_n \le \frac{3}{2}(\frac{2}{5})^n$. b) Since $0 < \frac{2}{5} < 1$, $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\frac{2}{5})^n = 0$. By the Squeeze Theorem, $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 0$. 4)a)…

  ce que le barème veut ·

  1. For 1), substitute $u_0$ into the recurrence relation to find $u_1$. 2. For 2), use mathematical induction: verify the base case and then prove the inductive step. 3. For 3a), prove the inequality $u_{n+1} \le \frac{2}{5}u_n$ by algebraic manipulation, then use induction to deduce the upper bound for $u_n$. 4. For 3b), apply the Squeeze Theorem using the result from 3a). 5. For 4a), calculate $v_{n+1}$ in terms of $u_n$ and show that $v_{n+1} = q v_n$ for a constant $q$. 6. For 4b), find $v_0$ and use the formula for the $n$-th term of a geometric sequence, then rearrange the expression for $v_n$ to solve for $u_n$.
• NATIONAL 2019 · rattrapage3 pts
  Deuxième partie :

  1. On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[2,4]$ par $g(x) = 8(x-2)e^{x-4}-x^2$ 0.25 a) Calculer $g(4)$ 0.5 b) Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $[2,4]$, $g(x) = -(x-4)^2e^{x-4} + x^2 (e^{x-4}-1)$ 0.5 c) vérifier que pour tout $x$ de…
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  la correction

  1. a) $g(4) = -16$.
  2. b) La vérification est effectuée en développant l'expression donnée et en la comparant à la définition de $g(x)$.
  3. c) Pour $x \in [2,4]$, $x-4 \leq 0$, donc $e^{x-4} \leq e^0 = 1$, ce qui implique $e^{x-4}-1 \leq 0$. En utilisant l'expression de $g(x)$ de la question 1) b), on déduit que $g(x) \leq 0$ pour tout $x \in [2,4]$.
  4. a) La vérification est effectuée en substituant $f(x)$ et $g(x)$ dans l'expression et en simplifiant.
  5. b) Puisque $g(x) \leq 0$ et $\frac{(x-2)^2}{x^2} \geq 0$ pour $x \in [2,4]$, on en déduit que $f(x)-x \leq 0$, donc $f(x) \leq x$.
  6. a) La démonstration par récurrence est effectuée.
  7. b) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 2, donc elle est convergente.
  8. c) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Substituer $x=4$ dans l'expression de $g(x)$.
  2. b) Développer l'expression proposée et montrer qu'elle est égale à $g(x)$.
  3. c) Analyser le signe de $e^{x-4}-1$ sur l'intervalle, puis utiliser l'expression de $g(x)$ de la question 1) b) pour conclure sur le signe de $g(x)$.
  4. a) Substituer l'expression de $f(x)$ et $g(x)$ et simplifier pour vérifier l'égalité.
  5. b) Utiliser le résultat de 1) c) et le signe de $\frac{(x-2)^2}{x^2}$ pour déduire le signe de $f(x)-x$.
  6. a) Initialisation pour $n=0$, puis hérédité en utilisant la croissance de $f$ et l'encadrement.
  7. b) Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n = f(u_n)-u_n$ en utilisant le résultat de 2) b). Conclure sur la monotonie et la convergence.
  8. c) Résoudre l'équation $f(L)=L$ où $L$ est la limite de la suite.