Limites et continuitéPC · SVT · SM-A · SM-B

Reconnaître une limite usuelle

\dfrac{\sin x}{x}\to 1

\dfrac{e^x-1}{x}\to 1

\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to 1

0

. Je ramène à cette forme.

La méthode attendue

1Identifier le motif usuel caché dans l'expression.
2Poser un changement de variable si l'argument n'est pas x.
3Ramener exactement à la forme de référence.
4Conclure avec la valeur connue.

Le piège

Appliquer

\dfrac{\sin x}{x}\to 1

quand

x\to\infty

. Ces limites ne valent qu'en

0

— en

+\infty

\dfrac{\sin x}{x}\to 0

S'entraîner sur cette méthode

À tenir avant

Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

Questions de type Bac qui demandent cette méthode.

TYPE BAC2 pts
Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}$ .
la correction
On sait que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}=0$ .
ce que le barème veut ·
Utiliser la limite usuelle de l’exponentielle en $+\infty$ .
TYPE BAC3 pts
Soit $f$ définie sur $]-\infty,3[$ par $f(x)=\ln(3-x)$ . Calculer $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to 3^-}f(x)$ , puis en déduire l'asymptote éventuelle de la courbe.
la correction
Quand $x\to -\infty$ , on a $3-x\to +\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\ln(3-x)=+\infty$ . Quand $x\to 3^-$ , on a $3-x\to 0^+$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to 3^-}\ln(3-x)=-\infty$ . Ainsi, la droite d'équation $x=3$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ .
ce que le barème veut ·
Transformer les limites sur l'argument puis utiliser les limites usuelles de $\ln$ .
TYPE BAC2 pts
Étudier les limites de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x$ , aux bornes de son domaine.
la correction
Quand $x\to +\infty$ , on sait que $e^x$ domine toute fonction affine, donc $e^x-x\to +\infty$ . Quand $x\to -\infty$ , on a $e^x\to 0$ et $-x\to +\infty$ , donc $e^x-x\to +\infty$ . Ainsi : $\lim\limits_{x\to +\infty}(e^x-x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}(e^x-x)=+\infty$ .
ce que le barème veut ·

Utiliser les limites usuelles de $e^x$ .

Traiter séparément $+\infty$ et $-\infty$ .

Conclure rigoureusement.
TYPE BAC3 pts
Calculer $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{x}$ .
la correction
On pose $u=2x$ . Quand $x\to0$ , alors $u\to0$ . Ainsi, $\dfrac{\ln(1+2x)}{x}=2\cdot \dfrac{\ln(1+2x)}{2x}=2\cdot \dfrac{\ln(1+u)}{u} \to 2\cdot1=2$ . Donc $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{x}=2$ .
ce que le barème veut ·
Se ramener à la limite usuelle $\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$ .
TYPE BAC2 pts
Calculer la limite suivante: $\lim_{x \to 0^+} \ln(x)$ .
la correction
$-\infty$ .
ce que le barème veut ·

Rappeler la limite usuelle de la fonction $\ln$ en $0^+$ .
TYPE BAC3 pts
Calculer la limite $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x}$ .
la correction
On utilise la limite usuelle $\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$ . Posons $u=2x$ . Alors $u\to 0$ lorsque $x\to 0$ . On a $\dfrac{\ln(1+2x)}{x}=2\times \dfrac{\ln(1+2x)}{2x}$ . Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x}=2\times 1=2$ .
ce que le barème veut · Reconnaître une limite usuelle après un changement de variable simple.
TYPE BAC2 pts
Calculer la limite $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$ .
la correction
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ .
ce que le barème veut ·
Utiliser la limite usuelle fondamentale de la fonction exponentielle au voisinage de $0$ .
TYPE BAC2 pts
Calculer la limite $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}$ .
la correction
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}=0$ .
ce que le barème veut ·
Reconnaître la limite usuelle : quand $x\to +\infty$ , alors $-x\to -\infty$ et $e^{-x}\to 0$ .

Tu veux vérifier que tu le tiens vraiment ?

Une séance : tu regardes, tu manipules, tu écris l'étape, on la corrige au barème.

Faire la séance

Reconnaître une limite usuelle

La méthode attendue

Le piège

À tenir avant

Cette méthode au national

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