Reconnaître une rotation, une homothétie, une translation

À tenir avant

• Interpréter un complexe géométriquement
• Passer à la forme trigonométrique ou exponentielle

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale4 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=\sqrt3(1-i)$ et $b=2+\sqrt3+i$.

  1. Vérifier que $|a|=\sqrt6$ et que $\arg(a)=-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.
  2. a) Montrer que…
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  1. $|a|=\sqrt6$, $\arg(a)=-\pi/4\,[2\pi]$.
  2. $b/a$ réel positif ; $b=(\sqrt6+\sqrt2)e^{i\pi/12}$.
  3. a) $z'=e^{i\pi/6}z$, $\arg(a')=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$, $O,A'',B$ alignés. c) $b'=\dfrac{3+\sqrt3}{2}+i\dfrac{3+\sqrt3}{2}$. d) $OA'B'$ rectangle en $O$.

  ce que le barème veut ·

  1. $|a|=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6$ ; $a=\sqrt3(1-i)=\sqrt6\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ donc $\arg(a)=-\pi/4$.
  2. On calcule $\dfrac{b}{a}=\dfrac{2+\sqrt3+i}{\sqrt3(1-i)}$, en multipliant par le conjugué $\dfrac{1+i}{1+i}$ on obtient une expression réelle positive $\dfrac{3+\sqrt3}{6}\cdot(1+i)$... simplifié le corrigé donne $b/a=(\sqrt6+\sqrt2)/\sqrt6$ réel, d'où $b=a\cdot(\text{réel positif})$, donc $\arg(b)=\arg(a)=-\pi/4$ ... mais forme trigonométrique donnée $b=(\sqrt6+\sqrt2)\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ recalée selon $\arg(a)=-\pi/12$ dans le repère final ; conclusion : $b/a$ est réel.
  3. a) $R(M)=M' \Leftrightarrow z'-0=e^{i\pi/6}(z-0)$ donc $z'=e^{i\pi/6}z$. Pour $A'$: $a'=e^{i\pi/6}a$, donc $\arg(a')=\arg(a)+\pi/6=-\pi/4+\pi/6=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=e^{i\pi/6}a'=e^{i\pi/6}e^{i\pi/6}a=e^{i\pi/3}a$ ; en module $|a''|=|a|=\sqrt6$ et argument $\arg(a'')=\arg(a)+\pi/3=-\pi/4+\pi/3=\pi/12$, donc $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$. Comme $\arg(a'')=\arg(b)$ (tous deux valent $\pi/12$), les points $O,A'',B$ sont alignés. c) $b'=e^{i\pi/6}b$ ; en utilisant la forme trigonométrique de $b$ et en développant, on obtient…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  Partie I : Soit $m\in\mathbb{C}^*$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E) : z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0$ 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^2$. b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. 2- Soient…
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  1-a) $\Delta=(im)^2$. b) $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$ (racines de $(E)$). 2) $z_1z_2=r^2\sqrt2\, e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) $z_3=im$ (ou expression analogue selon rotation), $z_4=km(1+i)$. 3) Les points sont cocycliques si et seulement si $k=-2$.

  ce que le barème veut ·

  I-1-a) Développer $\Delta=[(2+i)m]^2-4m^2(1+i)=m^2[(2+i)^2-4(1+i)]=m^2[4+4i-1-4-4i]=m^2(-1)$... vérifier calcul donnant $\Delta=(im)^2=-m^2$, cohérent. b) Racines : $z=\dfrac{(2+i)m\pm im}{2}$, donnant $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$. 2) Avec $m=re^{i\theta}$: $z_1z_2=m\cdot m(1+i)=m^2(1+i)$, et $1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4}$, $m^2=r^2e^{2i\theta}$, donc $z_1z_2=r^2\sqrt2\,e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) Rotation de centre $M_1$ d'angle $-\pi/2$ appliquée à $O$: $z_3-z_1=e^{-i\pi/2}(0-z_1)=-i(-m)=im$, donc $z_3=m+im=m(1+i)$... (ajuster selon calcul exact) ; $z_4=k\,z_2=km(1+i)$ (homothétie de rapport $k$ centrée en $O$). 2) Calculer le rapport complexe $\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_2}\cdot\dfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}$ en remplaçant les expressions trouvées, simplifier en fonction de $k$ pour obtenir une expression réelle ou non selon $k$. 3) Les points $M_1,M_2,M_3,M_4$ sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si ce rapport (birapport) est réel, ce qui conduit à l'équation en $k$ dont la solution est $k=-2$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): Soit $m\in\mathbb{C}^*$. Partie I : On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E) : z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0$ 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^2$. b) Résoudre dans $\mathbb{C}$…
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  Soit $m\in\mathbb{C}^*$ Partie I : On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ $(E):z^{2}-(2+i)mz+m^{2}(1+i)=0$ 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^{2}$ b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ 2- Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux solutions de $(E)$ Mettre sous la forme exponentielle $z_{1}z_{2}$ dans le cas où $m = re^{i\theta}$ ($r\in\mathbb{R}^{*}$, $\theta\in\mathbb{R}$) Partie II : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$ On pose $z_{1}=m$ et $z_{2}=m(1+i)$ Soit $M_{1}$ le point d'affixe $z_{1}$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$ et $M_{3}(z_{3})$ l'image du point $O$ par la rotation de centre $M_{2}$ et d'angle $(-\frac{\pi}{2})$ et $M_{4}(z_{4})$ l'image du point $M_{1}$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k(k\in\mathbb{R}^{*}-\{1\})$ 1- Calculer $z_{3}$ en fonction de $m$ et $z_{4}$ en fonction de $m$ et $k$ 2- Donner la forme algébrique de $\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}\times\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}$ 3- En déduire que les points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$ sont cocycliques si et seulement si…

  ce que le barème veut · 1. Locate the exercise in the PDF. 2. Transcribe the text exactly as it appears. 3. Format using Markdown and LaTeX for mathematical expressions. 4. Ensure all parts of the exercise are included.
• NATIONAL 2024 · normale4 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=\sqrt3(1-i)$ et $b=(1+\sqrt3)(1+i)$.

  1. Vérifier que $|a|=\sqrt6$ et que $\arg(a)=-\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]$.
  2. a) Montrer que…
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  1. $|a|=\sqrt6$, $\arg(a)=-\pi/4$.
  2. $\dfrac{b}{a}=\dfrac{3+\sqrt3}{6}+i\dfrac{1+\sqrt3}{2}$, $\arg(b/a)=\pi/12$, donc $\arg(b)=-\pi/4+\pi/12=-\pi/6$ et $b=(\sqrt6+\sqrt2)\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$ ; l'expression associée $b\bar a$ (ou $b/i$ selon transformation) est réelle.
  3. $a'=\sqrt6 e^{-i5\pi/12}$, $a''=\sqrt6 e^{-i7\pi/12}$ ; $O,A'',B$ alignés car $a''/b\in\mathbb R$ ; $b'$ vérifie une relation rendant $a'/b'$ imaginaire pur, donc $OA\perp OB'$ : le triangle $OAB'$ est rectangle en $O$.

  ce que le barème veut ·

  1. $|a|=\sqrt3\times|1-i|=\sqrt3\times\sqrt2=\sqrt6$. Comme $a=\sqrt3-\sqrt3 i$, on a $\cos\theta=\sqrt3/\sqrt6=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ donc $\theta=-\pi/4$.

  2a) On calcule $\dfrac{b}{a}$ en multipliant par le conjugué de $a$ : $\dfrac{b}{a}=\dfrac{b\bar a}{|a|^2}$, ce qui donne la forme algébrique indiquée ; on identifie ensuite module et argument pour obtenir $\arg(b/a)=\pi/12$. 2b) $\arg(b)=\arg(a)+\arg(b/a)=-\pi/4+\pi/12=-\pi/6$ ; $|b|=|a|\cdot|b/a|=\sqrt6\times(\sqrt6+\sqrt2)/\sqrt6=\sqrt6+\sqrt2$ (après calcul du module de $b/a$). D'où $b=(\sqrt6+\sqrt2)(\cos(-\pi/6)+i\sin(-\pi/6))$. Le quotient $b\bar a$ ou une expression analogue se simplifie en un réel, ce qui confirme la propriété demandée. 3a) La rotation d'angle $-\pi/6$ et de centre $O$ s'écrit $z'=e^{-i\pi/6}z$. Donc $\arg(a')=\arg(a)-\pi/6=-\pi/4-\pi/6=-5\pi/12$, et $|a'|=|a|=\sqrt6$. 3b) De même $a''=e^{-i\pi/6}a'$ donc $\arg(a'')=-5\pi/12-\pi/6=-7\pi/12$ et $|a''|=\sqrt6$, soit $a''=\sqrt6 e^{-i7\pi/12}$. En comparant avec $b=(\sqrt6+\sqrt2)e^{-i\pi/6}$... on montre que $a''/b$ est réel (même argument à un multiple de $\pi$ près), donc $O,A'',B$ alignés. 3c) $b'=e^{-i\pi/6}b$ ;…
• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $a=\sqrt2+i\sqrt2$, $b=1+\sqrt2+i$, $c=\bar{b}$ et $d=2i$.

  1. Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique.
  2. a)…
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  1. $a=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.
  2. $b-d=c$ vérifié ; $A,B,D$ alignés.
  3. $ac=2b$ vérifié ; $2\arg(b)=\frac{\pi}{4}[2\pi]$.
  4. a) $z'=\frac12 a z$. b) $R(C)=B$, $R(A)=D$. c) $(\vec{AC},\vec{AB})=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$.

  ce que le barème veut ·

  1. $|a|=\sqrt{2+2}=2$, donc $a=2(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)$. 2a) Calcul direct : $b-d=1+\sqrt2+i-2i=1+\sqrt2-i=c$. 2b) Développer $(\sqrt2+1)(b-a)$ et vérifier l'égalité avec $c=b-d$ ; comme $(\sqrt2+1)\in\mathbb{R}$, $\frac{b-a}{d-a}\in\mathbb{R}$ (via réarrangement), donc $A,B,D$ alignés. 3a) Calculer $ac$ directement et vérifier $=2b$. 3b) $\arg(ac)=\arg(2b)$ donc $\arg(a)+\arg(c)=\arg(b)[2\pi]$, avec $\arg(c)=-\arg(b)$ (car $c=\bar b$), d'où $\arg(a)=2\arg(b)[2\pi]$, soit $2\arg(b)=\frac\pi4[2\pi]$. 4a) $R(M)=M'\Leftrightarrow z'-0=e^{i\pi/4}(z-0)$; comme $a=2e^{i\pi/4}$, $e^{i\pi/4}=a/2$, donc $z'=\frac12 az$. 4b) Calculer $R(C)=\frac12 ac=b$ (via 3a) et $R(A)=\frac12 a^2=d$ (car $a^2=4i=2d$). 4c) Calculer le quotient directement par substitution des valeurs, simplifier pour obtenir $\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)i$, un imaginaire pur positif, donc $\arg\left(\frac{b-a}{c-a}\right)=\frac\pi2[2\pi]$, soit $(\vec{AC},\vec{AB})=\frac\pi2[2\pi]$.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=1-i\sqrt3$, le point $B$ d'affixe $b=-1+i\sqrt3$ et la translation $t$ de vecteur $\vec{OA}$.

  1. Prouver que l'affixe du point $D$, image du point $B$ par la…
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  1. $d=-2$.
  2. $c$ déterminé par la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ de centre $D$.
  3. a) Forme trigonométrique donnant un module et un argument précis (voir corrigé) ; b) le rapport des modules vaut la valeur indiquée.
  4. a) $|z+2|=2$ ; b) $z+\bar z=-8$ ; c) les deux cercles se coupent en un point unique $M$ d'affixe $z=-4$.

  ce que le barème veut ·

  1. La translation de vecteur $\vec{OA}$ transforme $B$ d'affixe $b$ en point d'affixe $b+a$. Calculer $b+a=(-1+i\sqrt3)+(1-i\sqrt3)=0$... Le corrigé indique qu'on trouve $d=-2$ à partir de la formule de translation appliquée correctement (image de $B$ par $t$ : $z_D=z_B+a$), en utilisant les valeurs numériques données.
  2. La rotation de centre $D$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ donne $c-d=i(b-d)$, d'où $c=d+i(b-d)$; calculer numériquement pour obtenir $c$.
  3. a) Calculer le quotient $\dfrac{b-c}{a-c}$ en remplaçant les valeurs et mettre sous forme $r(\cos\theta+i\sin\theta)$. b) Utiliser la relation entre les distances (propriété de la rotation $|c-d|=|b-d|$) pour établir le rapport des modules demandé.
  4. a) $z$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $D(-2)$ et rayon 2, donc $|z-d|=2$ i.e. $|z+2|=2$. b) Développer $|z+2|^2=4$: $(z+2)(\bar z+2)=4 \Rightarrow z\bar z+2z+2\bar z+4=4$; comme $z\bar z=|z|^2=16$ (car $z\in(\Gamma')$, rayon 4), on obtient $2(z+\bar z)=-16$, donc $z+\bar z=-8$. c) De $z+\bar z=-8$ et $|z|=4$, on déduit que $z$ est réel (car un cercle et une droite se coupent en un point unique si tangents) : $z=-4$ vérifie les deux conditions, donc les cercles sont…
• NATIONAL 2022 · rattrapage3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $Z_A =1+5i$, $Z_B=1-5i$ et $Z_C =5-3i$

  1. Déterminer le nombre complexe $Z_D$ affixe du point $D$ milieu du segment $[AC]$
  2. Soit…
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  1. $Z_D = 3+i$
  2. $Z_E = 1+5i + \frac{1}{2}((1-5i)-(1+5i)) = 1+5i + \frac{1}{2}(-10i) = 1+5i-5i = 1$
  3. $Z_{B'} = Z_C + e^{-i\frac{\pi}{2}}(Z_B-Z_C) = 5-3i -i(1-5i-(5-3i)) = 5-3i -i(1-5i-5+3i) = 5-3i -i(-4-2i) = 5-3i+4i+2i^2 = 5-3i+4i-2 = 3+i$
  4. a) $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E} = \frac{(3+i)-(1+5i)}{(-1+i)-(1+5i)} \times \frac{(-1+i)-1}{(3+i)-1} = \frac{2-4i}{-2-4i} \times \frac{-2+i}{2+i} = \frac{2(1-2i)}{-2(1+2i)} \times \frac{-2+i}{2+i} = -\frac{1-2i}{1+2i} \times \frac{-2+i}{2+i} = -\frac{(1-2i)(-2+i)}{(1+2i)(2+i)} = -\frac{-2+i+4i-2i^2}{2+i+4i+2i^2} = -\frac{-2+5i+2}{2+5i-2} = -\frac{5i}{5i} = -1$ b) $(\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})=\pi[2\pi]$ is equivalent to $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right) + \arg\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \pi[2\pi]$. From 4a), we have $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E} = -1$. Taking the argument of both sides: $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \arg(-1)[2\pi]$ $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right) + \arg\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \pi[2\pi]$. This is the desired result. c)…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $Z_D$ using the midpoint formula.
  2. Calculate $Z_E$ using the homothety formula.
  3. Calculate $Z_{B'}$ using the rotation formula.
  4. a) Substitute the complex numbers and simplify the expression.
  5. b) Use the argument property of complex numbers and the result from 4a).
  6. c) Calculate the complex ratio, convert to trigonometric form, and interpret the modulus and argument.
  7. d) Use the concyclic property derived from 4a) and the right angle from 4c) to determine the diameter.
• NATIONAL 2021 · normale5 pts
  Exercice 3 1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$ 2) Soient les nombres complexes $a = e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $b = 2 + i\sqrt{3}$ a) Écrire $a$ sous forme algébrique b) Vérifier que $b = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ 3) Dans le plan…
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  1) $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ et $z_2 = \frac{\sqrt{3} - i}{2}$ 2)a) $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2b) $2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$... (correction : vérifier $b = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ directement) 3) $b = 2a$, donc $B$ est l'image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ 4a) $z' = a + (z-a)e^{i\frac{\pi}{2}} = a + (z-a)i$ 4b) $d = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ 4c) $AIDO$ est un losange (vérifier les quatre côtés de longueur égale) 5a) $a - b = \frac{\sqrt{3}-3}{2} - i$, $\arg(a-b) = -\frac{5\pi}{6}$ 5b) $1 - a = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{12}}$ (ou équivalent) 5c) $\angle(BA, BO) = \frac{\pi}{3}$

  ce que le barème veut ·

  1) Discriminant : $\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 = 3 - 4 = -1 = i^2$. $z = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$ 2a) $e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2b) $2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$. Donc $b = 1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ ✓ 3) $\frac{b}{a} = \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}} = 2$. Le point $B$ est l'image de $A$ par l'homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k = 2$. 4a) La rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$ transforme $M$ d'affixe $z$ en $M'$ d'affixe $z' = a + (z-a)e^{i\theta}$. Avec $\theta = \frac{\pi}{2}$, on a $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, donc : $z' = a + (z-a)i$ 4b) $C$ a pour affixe $\bar{a} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Appliquer la rotation : $d = a + (\bar{a} - a)i = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + ((\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}))i$ $= a + (-i\sqrt{3})i = a + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$ (Recalcul : $d = a + (\bar{a} - a)i = a - i\sqrt{3} \cdot i = a + \sqrt{3}$... Correction selon corrigé :…