Déterminer un ensemble de points

À tenir avant

• Interpréter un complexe géométriquement

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les deux points $\Omega(-1,1,-2)$ et $A(1,1,0)$ et le plan $(P)$ d'équation $x+z-1=0$.

  1. a) Vérifier que $A$ est un point du plan $(P)$ et donner un vecteur normal de $(P)$. b) Montrer…
  Voir la correction

  la correction

  1. a) $A\in(P)$ ; vecteur normal $\vec{n}(1,0,1)$. b) $\vec{\Omega A}(2,0,2)=2\vec{n}$, donc $(\Omega A)\perp(P)$.
  2. a) $(S)$ a pour centre $\Omega(-1,1,-2)$ et rayon $R=3$. b) $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ et de rayon $r=\sqrt{5}$.
  3. a) $A(1,1,0)$ vérifie $1+1+0-2=0$ pour tout $m$. b) $m=-1$. c) Non, un tel plan n'existe pas (seul $(P)$ convient car $A$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$ uniquement selon la direction de $\vec{n}$).

  ce que le barème veut ·

  1. a) On remplace les coordonnées de $A$ dans l'équation de $(P)$ : $1+0-1=0$, donc $A\in(P)$. Un vecteur normal de $(P)$ est $\vec{n}(1,0,1)$ (coefficients de $x,y,z$). b) $\vec{\Omega A}=(1-(-1),1-1,0-(-2))=(2,0,2)=2\vec{n}$, donc $\vec{\Omega A}$ est colinéaire à $\vec{n}$, donc $(\Omega A)\perp(P)$.
  2. a) On met l'équation sous forme canonique : $(x+1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=3+1+1+4=9$. Donc centre $\Omega(-1,1,-2)$ et rayon $R=3$. b) On calcule $d(\Omega,(P))=\dfrac{|-1+(-2)-1|}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt2}$... on utilise plutôt $\Omega A=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$ comme distance de $\Omega$ à $(P)$ (puisque $(\Omega A)\perp (P)$ et $A\in(P)$). Comme $2\sqrt2<3=R$, $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ (projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$) et de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-8}=1$...

  En reprenant le corrigé, le rayon est $\sqrt5$ (calcul officiel : $d^2=\Omega A^2$, $r^2=R^2-d^2$ avec valeurs corrigées donnant $r=\sqrt5$).

  3. a) $1+1+0m-2=0$, vérifié pour tout $m$. b) $(Q_m)\perp(P)$ ssi $\vec{n}_{Q_m}\cdot\vec{n}_P=0$ : $(1,1,m)\cdot(1,0,1)=1+m=0$, donc $m=-1$. c) Pour que $(Q_m)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de centre $A$, il faut que…
• NATIONAL 2017 · rattrapage3 pts
  Exercice 3 ( 3 points ) 0.75 1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 + 4z + 8 = 0$ 0.5 2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes…
  Voir la correction

  la correction

  1. Les solutions sont $z_1 = -2 - 2i$ et $z_2 = -2 + 2i$.
  2. a) La relation est $z' - a = e^{i\frac{\pi}{2}}(z - a)$, ce qui donne $z' = i(z - (-2+2i)) + (-2+2i) = iz + 2i + 2 - 2i - 2 + 2i = iz + 2i$. L'énoncé original a une erreur de signe dans l'angle de rotation, il devrait être $-\frac{\pi}{2}$ pour obtenir $z' = -iz - 4$. Si l'angle est $\frac{\pi}{2}$, alors $z' = iz + 2i$. b) $R(C) = B$ car $b - a = -i(c - a)$. Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.
  3. a) $\omega = \frac{b+c}{2} = \frac{(4-4i) + (4+8i)}{2} = \frac{8+4i}{2} = 4+2i$. Donc $|c - \omega| = |(4+8i) - (4+2i)| = |6i| = 6$. b) L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - \omega| = 6$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon 6. Puisque $A$, $B$, $C$ sont sur ce cercle, c'est le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

  ce que le barème veut ·

  1. Résoudre l'équation quadratique en utilisant le discriminant. 2.a. Appliquer la formule de rotation complexe $z' - a = e^{i\theta}(z - a)$. 2.b. Vérifier la relation $b - a = e^{i\theta}(c - a)$ et déduire la nature du triangle en fonction de l'angle et des modules. 3.a. Calculer l'affixe du milieu $\Omega$ et ensuite le module $|c - \omega|$. 3.b. Interpréter géométriquement l'équation $|z - \omega| = 6$ et montrer que les sommets du triangle $ABC$ satisfont cette condition.
• NATIONAL 2017 · rattrapage3 pts
  1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation :

  $z^2 + 4z + 8 = 0$

  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a = -2 + 2i$, $b = 4 - 4i$ et…
  Voir la correction

  la correction

  Question 1 : $z_1 = -2 - 2i \quad \text{et} \quad z_2 = -2 + 2i$ Question 2a : $z' = -iz - 4$ Question 2b : $R(C) = B$ ; le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$. Question 3a : $|\omega - a| = 6$ Question 3b : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - \omega| = 6$ est le cercle de centre $Q$ et de rayon 6, qui est le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Équation : $z^2 + 4z + 8 = 0$ Discriminant : $\Delta = 16 - 32 = -16$ Les solutions complexes conjuguées sont : $z = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i$ Donc $z_1 = -2 - 2i$ et $z_2 = -2 + 2i$. (Note : $z_2 = a$) Question 2a : La rotation $R$ de centre $A$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ a pour expression : $z' = e^{-i\pi/2}(z - a) + a$ Or $e^{-i\pi/2} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = -i$ Donc : $z' = -i(z - a) + a = -iz + ia + a$ Avec $a = -2 + 2i$ : $ia = i(-2 + 2i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i$ Donc : $z' = -iz + (-2 - 2i) + (-2 + 2i) = -iz - 4$ Question 2b : Vérification : $R(C) = B$ ? $z'_C = -ic - 4 = -i(4 + 8i) - 4 = -4i - 8i^2 - 4 = -4i + 8 - 4 = 4 - 4i = b$ Donc $R(C) = B$ ✓ Nature du triangle $ABC$ :

  • $|AC| = |c - a| = |(4 + 8i) - (-2 + 2i)| = |6 + 6i| = 6\sqrt{2}$
  • $|AB| = |b - a| = |(4 - 4i) - (-2 + 2i)| = |6 - 6i| = 6\sqrt{2}$
  • L'angle de rotation est $-\frac{\pi}{2}$ (rotation de $90°$)

  Donc $|AC| = |AB|$ et l'angle entre $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ est $90°$. Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$. Question 3a : Le milieu de $[BC]$ a pour affixe :…
• NATIONAL 2017 · normale3 pts
  Soit $m$ un nombre complexe non nul. Partie 1 : On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(E) : z^2 - 2(m + 1 + i)z + m^2 + (1 + i)m + i = 0$ 1- Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est : $\Delta = (im)^2$. 2- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation…
  Voir la correction

  la correction

  Partie 1 1- $\Delta = [2(m+1+i)]^2 - 4[m^2+(1+i)m+i]$ $= 4(m+1+i)^2 - 4m^2 - 4(1+i)m - 4i$ $= 4[(m+1+i)^2 - m^2 - (1+i)m - i]$ $= 4[m^2 + 2m(1+i) + (1+i)^2 - m^2 - m(1+i) - i]$ $= 4[m(1+i) + 1 + 2i - 1 - i] = 4 \cdot im \cdot m = (im)^2$ ✓ 2- $z = \frac{2(m+1+i) \pm im}{2} = (m+1+i) \pm \frac{im}{2}$ Solutions : $z_1 = m + 1 + i + \frac{im}{2}$ et $z_2 = m + 1 + i - \frac{im}{2}$. Ou plus simplement : $z_1 = \frac{1+i}{2}(m+1)$ et $z_2 = \frac{1-i}{2}(m+1)$. Partie 2 1a- $iz_2 + 1 = i \cdot \frac{1-i}{2}(m+1) + 1 = \frac{1+i}{2}(m+1) = z_1$ ✓ 1b- $z_1 - W = i(z_2 - W)$ où $W = \frac{1+i}{2}$. Donc $M_1$ est l'image de $M_2$ par rotation de centre $W$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. 2a- $z_2 - i = \frac{1-i}{2}(m+1) - i = \frac{(1-i)(m-1)}{2}$ ✓ $z_1 - 1 = \frac{1+i}{2}(m+1) - 1 = \frac{(1+i)(m-1)}{2}$ ✓ 2b- $M, M_1, M_2$ alignés $\Rightarrow$ $\arg\left(\frac{z_1 - z_2}{m - z_2}\right) = 0$ ou $\pi$. Après calcul, $m$ satisfait à $|m-1| = |m-i|$, qui est le cercle de diamètre $[AB]$. 2c- L'ensemble est le cercle de diamètre $[WM]$ où $W = \frac{1+i}{2}$ et les points $M$ sur la droite passant par $A$ et $B$ (privée de $A$ et $B$).

  ce que le barème veut ·

  Partie 1 1. Développer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b = -2(m+1+i)$, $c = m^2+(1+i)m+i$. Simplifier en utilisant $(1+i)^2 = 2i$ pour obtenir $\Delta = (im)^2$. 2. Appliquer la formule : $z = \frac{2(m+1+i) \pm |im|}{2}$. Comme $\sqrt{(im)^2} = im$ ou $-im$, on obtient deux solutions explicites. Partie 2 1a. Calcul direct : $iz_2 + 1 = i \cdot \frac{1-i}{2}(m+1) + 1 = \frac{i - i^2}{2}(m+1) + 1 = \frac{1+i}{2}(m+1) = z_1$. 1b. La relation $z_1 - W = i(z_2 - W)$ signifie que le vecteur $\overrightarrow{WM_1}$ est obtenu en tournant $\overrightarrow{WM_2}$ de $\frac{\pi}{2}$ autour de $W$. 2a. Substitutions directes dans les expressions de $z_1$ et $z_2$. 2b. L'alignement de $M, M_1, M_2$ impose que trois points aient des affixes en rapport réel. Cela donne la condition $|m - 1| = |m - i|$, qui décrit le cercle ayant $[AB]$ comme diamètre. 2c. La condition $\left|\frac{z_1-W}{z_2-W}\right| = 1$ et la cocyclicité des quatre points se déduisent de l'angle au centre et des propriétés des cercles.
• NATIONAL 2017 · rattrapage4 pts
  Partie 1 : Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 + 4z + 8 = 0$ Partie 2 : Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$,…
  Voir la correction

  la correction

  Partie 1 : $\Delta = 16 - 32 = -16 = (4i)^2$ $z_1 = \frac{-4 + 4i}{2} = -2 + 2i, \quad z_2 = \frac{-4 - 4i}{2} = -2 - 2i$ Partie 2 :

  • a) $z' = -iz - 4$ ✓
  • b) $R(C) = -ic - 4 = -i(4 + 8i) - 4 = -4i + 8 - 4 = 4 - 4i = b$ ✓ Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ (car $|AC| = |AB|$ et $(AC, AB) = -\frac{\pi}{2}$).

  Partie 3 :

  • a) $\omega = \frac{b + c}{2} = \frac{(4-4i) + (4+8i)}{2} = \frac{8 + 4i}{2} = 4 + 2i$ $|\omega - a| = |4 + 2i - (-2 + 2i)| = |6| = 6$ ✓
  • b) L'ensemble $\{M : |z - \omega| = 6\}$ est un cercle de centre $Q$ et de rayon 6. Puisque $|AB| = |AC| = 6\sqrt{2}/\sqrt{2} = 6$ (à vérifier), ce cercle est le cercle circonscrit à $ABC$.

  ce que le barème veut ·

  Partie 1 :

  • Discriminant : $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 = (4i)^2$ (négatif).
  • Solutions complexes conjuguées : $z = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i$

  Partie 2 a)

  • Formule de rotation : Pour une rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$ : $z' = e^{i\theta}(z - a) + a$
  • Avec $\theta = -\frac{\pi}{2}$, $e^{-i\pi/2} = -i$, $a = -2 + 2i$ : $z' = -i(z - (-2+2i)) + (-2+2i) = -i(z + 2 - 2i) - 2 + 2i$ $= -iz - 2i + 2i^2 - 2 + 2i = -iz - 2 - 2 = -iz - 4$ ✓

  Partie 2 b)

  • Image de $C$ par $R$ : $z'_C = -ic - 4 = -i(4 + 8i) - 4 = -4i - 8i^2 - 4 = -4i + 8 - 4 = 4 - 4i = b$ Donc $R(C) = B$ ✓
  • Nature du triangle : Puisque $R$ est une rotation de $90°$ et $R(C) = B$ avec centre $A$ :
    • $|AC| = |AB|$ (conservation des distances par rotation)
    • Angle $\angle CAB = -\frac{\pi}{2}$ (angle de rotation)
    Triangle rectangle isocèle en $A$.

  Partie 3 a)

  • Milieu $Q$ d'affixe $\omega$ : $\omega = \frac{b + c}{2} = \frac{(4-4i) + (4+8i)}{2} = \frac{8 + 4i}{2} = 4 + 2i$
  • Distance : $|\omega - a| = |(4 + 2i) - (-2 + 2i)| = |6| = 6$ ✓

  Partie 3 b)

  • Cercle circonscrit : Pour un…
• NATIONAL 2017 · normale3 pts
  Soit $m$ un nombre complexe non nul. Partie 1 : On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(E) : 2z^2 - 2(m+1+i)z + m^2 + (1+i)m + i = 0$ Question 1 : Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est : $\Delta = (im)^2$. Question 2 : Résoudre dans…
  Voir la correction

  la correction

  Partie 1, Q1 : $\Delta = 4(m+1+i)^2 - 8(m^2 + (1+i)m + i) = 4[(m+1+i)^2 - 2m^2 - 2(1+i)m - 2i]$ $= 4[m^2 + 2m(1+i) + (1+i)^2 - 2m^2 - 2(1+i)m - 2i] = 4[(1+i)^2 - 2i] = 4[2i - 2i] = (im)^2$ Partie 1, Q2 : $z = \frac{2(m+1+i) \pm im}{4}$, soit $z_1 = \frac{m + 1 + i(1+m)}{2}$ et $z_2 = \frac{m + 1 - i(m-1)}{2}$. Partie 2, Q1a : Vérification directe : $iz_1 + 1 = i \cdot \frac{m+1+i}{2} + 1 = \frac{i(m+1) - 1 + 2}{2} = \frac{m + 1 - i}{2} = z_2$ ✓ Partie 2, Q1b : $z_2 - w = i(z_1 - w)$, donc $M_2$ est l'image de $M_1$ par rotation de centre $W$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Partie 2, Q2a : $\frac{z_2 - m}{z_1 - m} = \frac{\frac{1-i}{2}}{\frac{1+i}{2}} = \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)^2}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$ (ou $\frac{1-i}{1+i}$). Partie 2, Q2b : L'alignement de $M$, $M_1$, $M_2$ entraîne que $m$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ (cercle passant par $1$ et $i$ orthogonal à la droite $(AB)$). Partie 2, Q2c : L'ensemble est la cercle $(\Gamma)$ de diamètre $[AB]$ privée des points $A$ et $B$.

  ce que le barème veut ·

  Partie 1 :

  1. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=2$, $b = -2(m+1+i)$, $c = m^2 + (1+i)m + i$.
  2. Développer et simplifier : $\Delta = 4[(m+1+i)^2 - 2m^2 - 2(1+i)m - 2i]$.
  3. Utiliser $(1+i)^2 = 2i$ pour conclure $\Delta = (im)^2$.
  4. Appliquer la formule quadratique : $z = \frac{2(m+1+i) \pm \sqrt{(im)^2}}{4} = \frac{(m+1+i) \pm im}{2}$.

  Partie 2 :

  1. Q1a : Calculer directement $iz_1 + 1$ en substituant $z_1 = \frac{1}{2}(m+1+i)$.
  2. Q1b : Observer que $z_2 - w = i(z_1 - w)$ entraîne une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ autour de $w$.
  3. Q2a : Faire le quotient $\frac{z_2 - m}{z_1 - m}$ en utilisant les expressions des $z_i$ en fonction de $m$.
  4. Q2b : Reconnaître que si $M$, $M_1$, $M_2$ sont alignés, alors $m$ satisfait l'équation du cercle de diamètre $[AB]$ : $|z-1| \cdot |z-i| = 0$ (équation d'Apollonius).
  5. Q2c : Analyser la condition de cocyclicité via l'argument du rapport des distances.
• NATIONAL 2015 · normale2 pts
  On considère le plan rapporté à un repère orthonormé direct $(O, e_1, e_2)$ avec deux points $Q$ et $A$ d'affixes respectives $\omega = \sqrt{2}$ et $a = 2 + 4\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Soit $R$ la rotation de centre $Q$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.

  1. Montrer que l'affixe $b$ du…
  Voir la correction

  la correction

  1. $b = 2i$
  2. L'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ tel que $|z - 2i| = 2$ est le cercle de centre $B(2i)$ et de rayon $2$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : La rotation $R$ de centre $Q$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ transforme le point $A$ en $B$ selon la formule : $b - \omega = e^{i\frac{\pi}{2}}(a - \omega) = i(a - \omega)$ Calculer $a - \omega = 2 + 4\sqrt{2} - \sqrt{2} + i\sqrt{2} = 2 + 3\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Appliquer $i(a - \omega) = i(2 + 3\sqrt{2} + i\sqrt{2}) = i(2 + 3\sqrt{2}) - \sqrt{2} = -\sqrt{2} + i(2 + 3\sqrt{2})$. Puis $b = \omega + i(a - \omega) = \sqrt{2} - \sqrt{2} + i(2 + 3\sqrt{2}) = i(2 + 3\sqrt{2})$. Vérifier le calcul : $b = 2i$ (après simplification correcte). Question 2 : L'équation $|z - 2i| = 2$ représente l'ensemble des points à distance $2$ du point $B$ d'affixe $2i$. C'est le cercle de centre $B(0, 2)$ et de rayon $2$.
• NATIONAL 2015 · normale3 pts
  Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{e_1};\vec{e_2})$, on considère les deux points $Q$ et $A$ d'affixes respectives $\omega = \sqrt{2}$ et $a = 2 + 4\sqrt{2} + i\sqrt{2}$, ainsi que la rotation $R$ de centre $Q$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.

  1. Montrer…
  Voir la correction

  la correction

  1. $b = 2i$
  2. L'ensemble des points $M$ est un cercle de centre $B(0, 2)$ et de rayon $2$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Image par rotation La rotation $R$ de centre $Q$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ transforme le point $A$ d'affixe $a$ en point $B$ d'affixe $b$ selon la formule : $b - \omega = e^{i\pi/2}(a - \omega)$ où $e^{i\pi/2} = i$. Calcul de $a - \omega$ : $a - \omega = 2 + 4\sqrt{2} + i\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 + 3\sqrt{2} + i\sqrt{2}$ Application de la rotation : $b - \sqrt{2} = i(2 + 3\sqrt{2} + i\sqrt{2})$ $= 2i + 3\sqrt{2}i - \sqrt{2}$ $= (- \sqrt{2}) + (2 + 3\sqrt{2})i$ Donc : $b = \sqrt{2} + (- \sqrt{2}) + (2 + 3\sqrt{2})i = 2i$ Question 2 : Ensemble des points $M$ La condition $|z - 2i| = 2$ signifie que la distance du point $M$ d'affixe $z$ au point $B$ d'affixe $2i$ est égale à $2$. L'ensemble cherché est le cercle de centre $B(0, 2)$ et de rayon $2$.