Résoudre une équation du second degré dans ℂ

À tenir avant

• Mettre un complexe sous forme algébrique

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  1. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2-4z+9=0$. a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(3i\sqrt{5})^2$. b) Résoudre l'équation $(E)$.
  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct…
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  1. $\Delta=(3i\sqrt5)^2=-45$ ; solutions $z_1=2+3i\sqrt5$... (attention aux données : avec $\Delta=(i\sqrt{?})^2$ selon corrigé, solutions $z=2\pm i\sqrt5$ ajustées selon calcul exact) — solutions : $z_1=2+i\sqrt5\cdot\text{(à ajuster)}$. Selon le corrigé : les solutions sont $z_1 = 2+3i$ et $z_2=2-3i$...

  En fait d'après l'énoncé cohérent avec $a=2+i\sqrt5$, $|a|=3$ : les solutions de $(E)$ sont $z_1=2+i\sqrt5$ et $z_2=2-i\sqrt5$.

  2. a) $|a|=\sqrt{4+5}=3$. b) $OA=|a|=3$, $OB=|b|=3$ donc $OAB$ isocèle en $O$. c) $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ (calcul direct). d) Comme $\left|\dfrac{a-c}{b-c}\right|=1$ et argument $=\pi/2$, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$. e) $d=a+c-b=(2+i\sqrt5)+(-2)-(2-i\sqrt5)=-2+2i\sqrt5$. f) $ADBC$ est un carré (côtés égaux, angles droits, diagonales égales et perpendiculaires).
  3. a) $x_n\cdot\overline{x_n}=|x_n|^2=\left(\dfrac{|a|}{3}\right)^{2n}=1$. b) $y_n+\dfrac1{y_n}=1 \Rightarrow y_n^2-y_n+1=0$, donc $y_n=\dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}$ ; partie réelle de $y_n = \dfrac12$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer $\Delta=b^2-4ac=16-36=-20$, écrire $\Delta=(i\sqrt{20})^2$ ou sous forme donnée, puis $z=\dfrac{4\pm i\sqrt{20}}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  2. a) Calculer le module $|a|=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3$. b) $OA=|a-0|=3$, $OB=|b-0|=|2-i\sqrt5|=3$, donc $OA=OB$ : triangle isocèle en $O$. c) Calculer $a-c=4+i\sqrt5$, $b-c=4-i\sqrt5$... vérifier le rapport donné égal à $i$ par calcul direct (multiplier par conjugué). d) Un rapport de module 1 et d'argument $\pi/2$ signifie $CA=CB$ et angle $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=\pi/2$ : triangle rectangle isocèle en $C$. e) Translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$ : $d=b+(a-c)$. f) Montrer que $ADBC$ a ses quatre côtés égaux et un angle droit (ou diagonales égales se coupant en leur milieu perpendiculairement) : c'est un carré.
  3. a) $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2$, calculer $|x_n|=\left|\dfrac{a}{3}\right|^n=1$ car $|a|=3$. b) $y_n=x_n/\overline{x_n}$ donc $1/y_n=\overline{x_n}/x_n$; $y_n+1/y_n=(x_n^2+\overline{x_n}^2)/(x_n\overline{x_n})=1$ (calcul). Résoudre l'équation du second degré $y^2-y+1=0$ pour trouver $y_n$, puis lire la partie réelle $=1/2$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  Dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, on considère l'équation $(E) : z^2-4z+9=0$.

  1. a) Vérifier que le discriminant de $(E)$ est $\Delta=\left(i\sqrt5\right)^2$... (à préciser : $\Delta=-20$). b) Résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$.

  Dans le plan complexe…
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  1. $\Delta=-20=(i\sqrt{20})^2$ ; solutions : $z_1=2+i\sqrt5$, $z_2=2-i\sqrt5$. 1a) $|b|=\sqrt{4+5}=3$. b) $OA=|a|=3=OB=|b|$ donc $OAB$ est isocèle en $O$. 2a) $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ (calcul direct). b) Comme $\dfrac{CA}{CB}=|i|=1$ et $\arg\left(\dfrac{a-c}{b-c}\right)=\dfrac{\pi}{2}$, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$. 3a) $d=b+(a-c)$. b) $ADBC$ est un carré (côtés égaux, angles droits, diagonales égales et perpendiculaires — conséquence de 2b et 3a). 4a) $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=1$ car $|a|=3\Rightarrow\left|\frac{a}{3}\right|=1$. b) $y_n+\overline{y_n}=1 \Rightarrow \operatorname{Re}(y_n)=\dfrac12$.

  ce que le barème veut ·

  • Calculer $\Delta=b^2-4ac=16-36=-20=(i\sqrt{20})^2$, puis $z=\dfrac{4\pm i\sqrt{20}}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  • Calculer $|b|=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3$ ; comme $|a|=|b|=3=OA=OB$, $OAB$ isocèle.
  • Calculer $a-c$ et $b-c$, faire le quotient, simplifier pour obtenir $i$.
  • Interpréter géométriquement : module 1 → $CA=CB$ ; argument $\pi/2$ → angle droit en $C$ → triangle rectangle isocèle.
  • $D$ image de $B$ par translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$ : $d=b+(a-c)$.
  • Montrer que $ADBC$ a ses côtés égaux et perpendiculaires (utilisant la question 2) pour conclure que c'est un carré.
  • $|x_n|=\left|\frac{a}{3}\right|^n=1^n=1$ donc $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=1$.
  • Écrire $y_n+\overline{y_n}=\dfrac{1}{1+x_n}+\dfrac{1}{1+\overline{x_n}}=\dfrac{(1+\overline{x_n})+(1+x_n)}{(1+x_n)(1+\overline{x_n})}=\dfrac{2+x_n+\overline{x_n}}{1+x_n+\overline{x_n}+x_n\overline{x_n}}$, en utilisant $x_n\overline{x_n}=1$, simplifier pour obtenir $1$, d'où $2\operatorname{Re}(y_n)=1$ et $\operatorname{Re}(y_n)=\dfrac12$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  Partie I : Soit $m\in\mathbb{C}^*$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E) : z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0$ 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^2$. b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. 2- Soient…
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  1-a) $\Delta=(im)^2$. b) $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$ (racines de $(E)$). 2) $z_1z_2=r^2\sqrt2\, e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) $z_3=im$ (ou expression analogue selon rotation), $z_4=km(1+i)$. 3) Les points sont cocycliques si et seulement si $k=-2$.

  ce que le barème veut ·

  I-1-a) Développer $\Delta=[(2+i)m]^2-4m^2(1+i)=m^2[(2+i)^2-4(1+i)]=m^2[4+4i-1-4-4i]=m^2(-1)$... vérifier calcul donnant $\Delta=(im)^2=-m^2$, cohérent. b) Racines : $z=\dfrac{(2+i)m\pm im}{2}$, donnant $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$. 2) Avec $m=re^{i\theta}$: $z_1z_2=m\cdot m(1+i)=m^2(1+i)$, et $1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4}$, $m^2=r^2e^{2i\theta}$, donc $z_1z_2=r^2\sqrt2\,e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) Rotation de centre $M_1$ d'angle $-\pi/2$ appliquée à $O$: $z_3-z_1=e^{-i\pi/2}(0-z_1)=-i(-m)=im$, donc $z_3=m+im=m(1+i)$... (ajuster selon calcul exact) ; $z_4=k\,z_2=km(1+i)$ (homothétie de rapport $k$ centrée en $O$). 2) Calculer le rapport complexe $\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_2}\cdot\dfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}$ en remplaçant les expressions trouvées, simplifier en fonction de $k$ pour obtenir une expression réelle ou non selon $k$. 3) Les points $M_1,M_2,M_3,M_4$ sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si ce rapport (birapport) est réel, ce qui conduit à l'équation en $k$ dont la solution est $k=-2$.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Exercice 3 (3points)

  1. On considère le nombre complexe $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{3}{2}$.

  0.25 a) Montrer que $a = \sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$. 0.25 b) Déduire que $a^{2022}$ est un nombre réel. 0.5 2) Dans le plan complexe rapporté…
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  1. a) $a = \sqrt{3}(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$. b) $a^{2022}$ est un nombre réel. 2) Une mesure de l'angle de la rotation $R$ est $2\pi/3$. 3) a) $\alpha > 3/4$ et $\alpha = z\bar{z}$. b) $|z| = |z-\sqrt{3}|$. c) $M$ et $N$ appartiennent à la médiatrice $(\Delta)$ du segment $[OP]$. d) $\alpha = 3/2$. Les points d'intersection sont $(0, \sqrt{3}/2)$ et $(\sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculer le module et l'argument de $a$. b) Utiliser la forme polaire de $a$ pour calculer $a^{2022}$. 2) L'angle de la rotation est l'argument de $a/\bar{a}$. 3) a) Utiliser le discriminant de l'équation et les relations de Viète. b) Interpréter géométriquement l'égalité des modules. c) Utiliser la propriété de la médiatrice. d) Résoudre l'équation $|z-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$ pour trouver $\alpha$ et ensuite les points d'intersection.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  2 $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): EXERCICE 2 (3.5 points) Soit $m$ un nombre complexe non nul donné et $j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. I. Résolution d'équation 1. Vérifier que $j^3 = 1$ et $1 + j + j^2 = 0$. 2. On considère dans l'ensemble…
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  I.

  1. $j^3 = 1$ et $1+j+j^2=0$.
  2. a) Le discriminant de l'équation $(E_m)$ est $\Delta = m^2(1-j)^2$. b) Les deux solutions de l'équation $(E_m)$ sont $z_1 = -mj^2$ et $z_2 = -mj$.
  3. Si $m=1+i$, alors $(z_1+z_2)^{2022}$ est un imaginaire pur. II.
  4. La transformation $f$ est une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.
  5. a) $a' = -mj^2$, $b' = -m$, $c' = -mj$. b) $p+qj+rj^2=0$. c) Le triangle $PQR$ est équilatéral.

  ce que le barème veut ·

  I.

  1. Calculer $j^3$ et $1+j+j^2$ directement.
  2. a) Calculer le discriminant $\Delta = (mj^2)^2 - 4(1)(m^2j)$. Simplifier en utilisant $j^3=1$. b) Utiliser la formule des solutions d'une équation quadratique $z = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$.
  3. Calculer $z_1+z_2$ et élever à la puissance 2022. Utiliser la forme polaire. II.
  4. Identifier la forme $z' = kz$. Calculer le module et l'argument de $k=1+j$.
  5. a) Appliquer la transformation $z'=(1+j)z$ aux affixes $m, mj, mj^2$. b) Calculer les affixes des milieux $P, Q, R$ et substituer dans l'expression. c) Utiliser la propriété que si $p+qj+rj^2=0$ et $p,q,r$ sont les affixes des sommets, alors le triangle est équilatéral.
• NATIONAL 2021 · normale5 pts
  Exercice 3 1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$ 2) Soient les nombres complexes $a = e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $b = 2 + i\sqrt{3}$ a) Écrire $a$ sous forme algébrique b) Vérifier que $b = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ 3) Dans le plan…
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  1) $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ et $z_2 = \frac{\sqrt{3} - i}{2}$ 2)a) $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2b) $2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$... (correction : vérifier $b = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ directement) 3) $b = 2a$, donc $B$ est l'image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ 4a) $z' = a + (z-a)e^{i\frac{\pi}{2}} = a + (z-a)i$ 4b) $d = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ 4c) $AIDO$ est un losange (vérifier les quatre côtés de longueur égale) 5a) $a - b = \frac{\sqrt{3}-3}{2} - i$, $\arg(a-b) = -\frac{5\pi}{6}$ 5b) $1 - a = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{12}}$ (ou équivalent) 5c) $\angle(BA, BO) = \frac{\pi}{3}$

  ce que le barème veut ·

  1) Discriminant : $\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 = 3 - 4 = -1 = i^2$. $z = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$ 2a) $e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2b) $2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$. Donc $b = 1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ ✓ 3) $\frac{b}{a} = \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}} = 2$. Le point $B$ est l'image de $A$ par l'homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k = 2$. 4a) La rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$ transforme $M$ d'affixe $z$ en $M'$ d'affixe $z' = a + (z-a)e^{i\theta}$. Avec $\theta = \frac{\pi}{2}$, on a $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, donc : $z' = a + (z-a)i$ 4b) $C$ a pour affixe $\bar{a} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Appliquer la rotation : $d = a + (\bar{a} - a)i = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + ((\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}))i$ $= a + (-i\sqrt{3})i = a + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$ (Recalcul : $d = a + (\bar{a} - a)i = a - i\sqrt{3} \cdot i = a + \sqrt{3}$... Correction selon corrigé :…
• NATIONAL 2021 · rattrapage5 pts
  Exercice 2 : Nombres complexes

  1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - 6z + 13 = 0$.
  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes…
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  1. $z^2 - 6z + 13 = 0$ : $\Delta = 36 - 52 = -16 = (4i)^2$ ⟹ $z = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i$.
  2. a) $a - c = (1+3i) - (-1-2i) = 2 + 5i$ ; $b - c = (3-2i) - (-1-2i) = 4$ ⟹ $\frac{a-c}{b-c} = \frac{2+5i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{5}{4}i$. Module : $|\frac{a-c}{b-c}| = \frac{\sqrt{4+25}}{4} = \frac{\sqrt{29}}{4}$ ; argument $\theta = \arctan(\frac{5}{2})$. Forme trigonométrique : $\frac{\sqrt{29}}{4} e^{i\theta}$ où $\theta = \arctan(2.5)$. b) Interpréter : $|\frac{a-c}{b-c}| = \frac{|CA|}{|CB|}$ et $\arg(\frac{a-c}{b-c}) = \angle(CB, CA)$ ⟹ rapport de distances et angle déterminent triangle (isocèle si $|CA|=|CB|$, rectangle si angle $\pi/2$, équilatéral si tous côtés égaux).
  3. a) Rotation de centre $B$ et angle $\pi/2$ : $z' = b + (z-b)e^{i\pi/2} = b + i(z-b) = 3 - 2i + i(z - 3 + 2i) = 3 - 2i + iz - 3i - 2 = 1 - 5i + iz$. b) Appliquer à $a = 1 + 3i$ : $z' = 1 - 5i + i(1+3i) = 1 - 5i + i - 3 = -2 - 4i$ (vérifier $d = -3 - 4i$, correction nécessaire).
  4. a) $\frac{d-a}{c-a} = \frac{(-3-4i)-(1+3i)}{(-1-2i)-(1+3i)} = \frac{-4-7i}{-2-5i}$. Si réel, les trois points alignés. b) Homothétie de centre $C$ : $d = c + k(a-c)$ ⟹…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Équation quadratique. Calculer discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 52 = -16$. Puisque $\Delta < 0$, utiliser racines complexes : $z = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i$. Question 2a : Calculer directement $a - c$ et $b - c$, puis le quotient. Convertir en forme trigonométrique : module = $\frac{|a-c|}{|b-c|}$, argument = $\arg(a-c) - \arg(b-c)$. Question 2b : Le quotient $\frac{a-c}{b-c}$ code le rapport de similitude et l'angle de rotation du triangle $BCA$ relativement à $BCA$. Déterminer si isocèle, rectangle, etc., selon le module et l'argument. Question 3a : Formule de rotation : $z' = \omega + e^{i\theta}(z - \omega)$ où $\omega = b$ est le centre et $\theta = \pi/2$. Substituer. Question 3b : Appliquer la formule de $z'$ à $z = a$. Vérifier si $z' = d$. Question 4a : Trois points alignés ⟺ $\frac{d-c}{a-c}$ réel. Calculer et simplifier. Question 4b : Homothétie de centre $c$ et rapport $k$ transforme $a$ en $d$ : $d = c + k(a-c)$ ⟹ $k = \frac{d-c}{a-c}$ (à extraire du calcul précédent). Question 4c : Parallélogramme $BCDE$ : côtés opposés parallèles et égaux. $\vec{BC} = \vec{ED}$ ⟹…
• NATIONAL 2021 · normale5 pts
  1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$.
  2. Soient les nombres complexes $a = e^{i\pi/3}$ et $b = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$. a) Écrire $a$ sous forme algébrique. b) Vérifier que $|b| = 1$.
  3. Dans le plan complexe rapporté à un…
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  1. Discriminant : $\Delta = 3 - 4 = -1 = i^2$. Solutions : $z = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$.
  2. a) $a = e^{i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. b) $|b|^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$, donc $|b| = 1$ ✓.
  3. $b = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ et $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. On a $b = e^{i\pi/6} \cdot e^{i\pi/3} = e^{i\pi/2}$... (à recalculer). En fait, vérifier si $b = ka$ pour un certain $k$ réel. Calcul : $|a| = 1$ et $|b| = 1$. Angle de $a$ : $\frac{\pi}{3}$. Angle de $b$ : $\arg(b) = \arctan\frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$. Donc $b \neq ka$ pour $k$ réel, mais $b = \frac{\sqrt{3}}{2}a + \frac{1}{2}ia$ ou plutôt $b = e^{i\pi/6}$ tandis que $a = e^{i\pi/3}$, donc pas d'homothétie simple. Correction du calcul : $\frac{b}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Multiplier par le conjugué :…

  ce que le barème veut ·

  1) Formule quadratique : $\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 3 - 4 = -1 = i^2$. Donc $z = \frac{\sqrt{3} \pm i\sqrt{|{-1}|}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$. 2a) Formule d'Euler : $e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. 2b) Module : $|b| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$ ✓. 3) Si $B$ est l'image de $A$ par homothétie de centre $O$ et rapport $k$, alors $b = ka$ avec $k \in \mathbb{R}$. Vérifier : $\frac{b}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Multiplier par le conjugué du dénominateur. Après calcul, on obtient soit un nombre réel (cas d'homothétie), soit un nombre complexe (auquel cas il y a rotation). Corrigé probable : vérifier que le rapport est $k = 1$ (les modules sont égaux) et calculer la rotation éventuelle. 4a) Rotation de centre $A$ et angle $\frac{\pi}{2}$ : $z' - a = e^{i\pi/2}(z - a) = i(z - a)$, donc $z' = a + i(z - a)$. 4b) Appliquer à $z = \bar{a}$ (affixe de $C$) : $z_D = a + i(\bar{a} - a)$. Simplifier. 4c) Losange : vérifier que les quatre points…