Mettre un complexe sous forme algébrique

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  1. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2-4z+9=0$. a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(3i\sqrt{5})^2$. b) Résoudre l'équation $(E)$.
  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct…
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  1. $\Delta=(3i\sqrt5)^2=-45$ ; solutions $z_1=2+3i\sqrt5$... (attention aux données : avec $\Delta=(i\sqrt{?})^2$ selon corrigé, solutions $z=2\pm i\sqrt5$ ajustées selon calcul exact) — solutions : $z_1=2+i\sqrt5\cdot\text{(à ajuster)}$. Selon le corrigé : les solutions sont $z_1 = 2+3i$ et $z_2=2-3i$...

  En fait d'après l'énoncé cohérent avec $a=2+i\sqrt5$, $|a|=3$ : les solutions de $(E)$ sont $z_1=2+i\sqrt5$ et $z_2=2-i\sqrt5$.

  2. a) $|a|=\sqrt{4+5}=3$. b) $OA=|a|=3$, $OB=|b|=3$ donc $OAB$ isocèle en $O$. c) $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ (calcul direct). d) Comme $\left|\dfrac{a-c}{b-c}\right|=1$ et argument $=\pi/2$, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$. e) $d=a+c-b=(2+i\sqrt5)+(-2)-(2-i\sqrt5)=-2+2i\sqrt5$. f) $ADBC$ est un carré (côtés égaux, angles droits, diagonales égales et perpendiculaires).
  3. a) $x_n\cdot\overline{x_n}=|x_n|^2=\left(\dfrac{|a|}{3}\right)^{2n}=1$. b) $y_n+\dfrac1{y_n}=1 \Rightarrow y_n^2-y_n+1=0$, donc $y_n=\dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}$ ; partie réelle de $y_n = \dfrac12$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer $\Delta=b^2-4ac=16-36=-20$, écrire $\Delta=(i\sqrt{20})^2$ ou sous forme donnée, puis $z=\dfrac{4\pm i\sqrt{20}}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  2. a) Calculer le module $|a|=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3$. b) $OA=|a-0|=3$, $OB=|b-0|=|2-i\sqrt5|=3$, donc $OA=OB$ : triangle isocèle en $O$. c) Calculer $a-c=4+i\sqrt5$, $b-c=4-i\sqrt5$... vérifier le rapport donné égal à $i$ par calcul direct (multiplier par conjugué). d) Un rapport de module 1 et d'argument $\pi/2$ signifie $CA=CB$ et angle $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=\pi/2$ : triangle rectangle isocèle en $C$. e) Translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$ : $d=b+(a-c)$. f) Montrer que $ADBC$ a ses quatre côtés égaux et un angle droit (ou diagonales égales se coupant en leur milieu perpendiculairement) : c'est un carré.
  3. a) $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2$, calculer $|x_n|=\left|\dfrac{a}{3}\right|^n=1$ car $|a|=3$. b) $y_n=x_n/\overline{x_n}$ donc $1/y_n=\overline{x_n}/x_n$; $y_n+1/y_n=(x_n^2+\overline{x_n}^2)/(x_n\overline{x_n})=1$ (calcul). Résoudre l'équation du second degré $y^2-y+1=0$ pour trouver $y_n$, puis lire la partie réelle $=1/2$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  Dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, on considère l'équation $(E) : z^2-4z+9=0$.

  1. a) Vérifier que le discriminant de $(E)$ est $\Delta=\left(i\sqrt5\right)^2$... (à préciser : $\Delta=-20$). b) Résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$.

  Dans le plan complexe…
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  1. $\Delta=-20=(i\sqrt{20})^2$ ; solutions : $z_1=2+i\sqrt5$, $z_2=2-i\sqrt5$. 1a) $|b|=\sqrt{4+5}=3$. b) $OA=|a|=3=OB=|b|$ donc $OAB$ est isocèle en $O$. 2a) $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ (calcul direct). b) Comme $\dfrac{CA}{CB}=|i|=1$ et $\arg\left(\dfrac{a-c}{b-c}\right)=\dfrac{\pi}{2}$, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$. 3a) $d=b+(a-c)$. b) $ADBC$ est un carré (côtés égaux, angles droits, diagonales égales et perpendiculaires — conséquence de 2b et 3a). 4a) $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=1$ car $|a|=3\Rightarrow\left|\frac{a}{3}\right|=1$. b) $y_n+\overline{y_n}=1 \Rightarrow \operatorname{Re}(y_n)=\dfrac12$.

  ce que le barème veut ·

  • Calculer $\Delta=b^2-4ac=16-36=-20=(i\sqrt{20})^2$, puis $z=\dfrac{4\pm i\sqrt{20}}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  • Calculer $|b|=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3$ ; comme $|a|=|b|=3=OA=OB$, $OAB$ isocèle.
  • Calculer $a-c$ et $b-c$, faire le quotient, simplifier pour obtenir $i$.
  • Interpréter géométriquement : module 1 → $CA=CB$ ; argument $\pi/2$ → angle droit en $C$ → triangle rectangle isocèle.
  • $D$ image de $B$ par translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$ : $d=b+(a-c)$.
  • Montrer que $ADBC$ a ses côtés égaux et perpendiculaires (utilisant la question 2) pour conclure que c'est un carré.
  • $|x_n|=\left|\frac{a}{3}\right|^n=1^n=1$ donc $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=1$.
  • Écrire $y_n+\overline{y_n}=\dfrac{1}{1+x_n}+\dfrac{1}{1+\overline{x_n}}=\dfrac{(1+\overline{x_n})+(1+x_n)}{(1+x_n)(1+\overline{x_n})}=\dfrac{2+x_n+\overline{x_n}}{1+x_n+\overline{x_n}+x_n\overline{x_n}}$, en utilisant $x_n\overline{x_n}=1$, simplifier pour obtenir $1$, d'où $2\operatorname{Re}(y_n)=1$ et $\operatorname{Re}(y_n)=\dfrac12$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  Partie I : Soit $m\in\mathbb{C}^*$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E) : z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0$ 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^2$. b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. 2- Soient…
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  1-a) $\Delta=(im)^2$. b) $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$ (racines de $(E)$). 2) $z_1z_2=r^2\sqrt2\, e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) $z_3=im$ (ou expression analogue selon rotation), $z_4=km(1+i)$. 3) Les points sont cocycliques si et seulement si $k=-2$.

  ce que le barème veut ·

  I-1-a) Développer $\Delta=[(2+i)m]^2-4m^2(1+i)=m^2[(2+i)^2-4(1+i)]=m^2[4+4i-1-4-4i]=m^2(-1)$... vérifier calcul donnant $\Delta=(im)^2=-m^2$, cohérent. b) Racines : $z=\dfrac{(2+i)m\pm im}{2}$, donnant $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$. 2) Avec $m=re^{i\theta}$: $z_1z_2=m\cdot m(1+i)=m^2(1+i)$, et $1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4}$, $m^2=r^2e^{2i\theta}$, donc $z_1z_2=r^2\sqrt2\,e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) Rotation de centre $M_1$ d'angle $-\pi/2$ appliquée à $O$: $z_3-z_1=e^{-i\pi/2}(0-z_1)=-i(-m)=im$, donc $z_3=m+im=m(1+i)$... (ajuster selon calcul exact) ; $z_4=k\,z_2=km(1+i)$ (homothétie de rapport $k$ centrée en $O$). 2) Calculer le rapport complexe $\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_2}\cdot\dfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}$ en remplaçant les expressions trouvées, simplifier en fonction de $k$ pour obtenir une expression réelle ou non selon $k$. 3) Les points $M_1,M_2,M_3,M_4$ sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si ce rapport (birapport) est réel, ce qui conduit à l'équation en $k$ dont la solution est $k=-2$.
• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$. On considère dans $\mathbb C$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E_a): z^2-2iz+a=0$ où $a\in\mathbb C$. Partie I :

  1. a) Montrer que le discriminant de l'équation $(E_a)$ est $\Delta=-4(1+a)$. b)…
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  $\Delta=-4(1+a)$ ; deux solutions distinctes ssi $a\ne -1$ ; $z_1+z_2=2i$, $z_1z_2=a$ ; pour $a=m^2-2m$: $z_1=i+ ...$ (points alignés avec $\Omega$) ; $\Gamma$ est le cercle de centre $\Omega$ (origine) de rayon 1, privé du point $a=-1$ : $|a+1|=1$, $a\ne-1$.

  ce que le barème veut ·

  I.1a) Calculer $\Delta=(-2i)^2-4a=-4-4a=-4(1+a)$. I.1b) Deux solutions distinctes ssi $\Delta\ne0$ ssi $a\ne-1$. I.2) Relations de Viète : $z_1+z_2=2i$, $z_1z_2=a$. II.1a) $a=m^2-2m$ réel donc $\Delta=-4(1+m^2-2m)=-4(m-1)^2-...$ calculer racine carrée de $\Delta$, obtenir $z_{1,2}=i\pm(1-m)$ i.e. $z_1=i+(1-m)$, $z_2=i-(1-m)$ (à un signe près selon calcul), exprimés en fonction de $m$. II.1b) Montrer que $z_1$ et $z_2$ s'écrivent comme $\lambda \cdot i$-lié, i.e. $z_1/z_2$ réel (ou que $\Omega,M_1,M_2$ colinéaires) car $z_1$ et $z_2$ ont même partie imaginaire relation linéaire, prouvant l'alignement. II.2a) $\frac{z_1}{z_2}$ imaginaire pur ssi $\mathrm{Re}(z_1/z_2)=0$ ssi $\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})=0$ (en multipliant par $|z_2|^2>0$). II.2b) Développer $|z_1-z_2|^2=(z_1-z_2)\overline{(z_1-z_2)}=|z_1|^2+|z_2|^2-2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})$. II.2c) Utiliser $|z_1|=|z_2|=|i|=1$ (car $\Omega M_1=\Omega M_2$, propriété du cercle circonscrit lié à l'équation) : donc $|z_1-z_2|^2=2-2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})$, nul ssi $|z_1-z_2|=2$ correspond à $\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})=0$. II.3a) $|z_1-z_2|^2=(z_1+z_2)^2-4z_1z_2=(2i)^2-4a=-4-4a=4(1+a)$... donc $|z_1-z_2|^2=4(1+a)$…
• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E_a): z^2-2iz+a=0$ où $a\in\mathbb{R}$. Partie I :

  1. a) Montrer que le discriminant de l'équation $(E_a)$ est…
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  1a) $\Delta=-4(1+a)$. 1b) Deux solutions distinctes ssi $a\ne-1$. 2) $z_1+z_2=2i$, $z_1z_2=a$. II.1a) $z_1=m+i(?),z_2=...$ avec $a=m^2-2m$ : $z_1,z_2 = i \pm \sqrt{1+a}=i\pm(m-1)$, soit $z_1=i+(m-1)=m-1+i$, $z_2=i-(m-1)=1-m+i$ ; alignement avec $\Omega$ vérifié par calcul direct. II.2c) $\frac{z_1}{z_2}$ imaginaire pur $\iff |z_1-z_2|=2$. II.3a) $(z_1-z_2)^2=-4(1+a)$. II.3b) $T=\{-2\}$ (i.e. $a=-2$, où $|z_1-z_2|=2$ et le triangle est rectangle en $\Omega$), en excluant $a=-1$.

  ce que le barème veut ·

  I.1) Calculer $\Delta=(-2i)^2-4a=-4-4a=-4(1+a)$; deux solutions distinctes ssi $\Delta\ne0$ ssi $a\ne-1$. I.2) Relations de Viète : $z_1+z_2=\frac{2i}{1}=2i$, $z_1z_2=a$. II.1) Quand $a=m^2-2m$, $1+a=(m-1)^2$ donc $\sqrt{\Delta}$ réel/imaginaire selon signe; $z_{1,2}=i\pm(m-1)$ (ou l'opposé selon convention), ce qui donne des points alignés avec $\Omega$ car $z_1,z_2$ diffèrent par un réel, donc situés sur une même droite passant par $\Omega$ (vecteurs colinéaires par le calcul de $z_1/z_2$ réel ou par alignement direct des affixes). II.2a) $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar z_2}{|z_2|^2}$, imaginaire pur ssi sa partie réelle est nulle ssi $\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)=0$. II.2b) Développer $|z_1-z_2|^2=(z_1-z_2)(\bar z_1-\bar z_2)=|z_1|^2+|z_2|^2-z_1\bar z_2-\bar z_1 z_2=|z_1|^2+|z_2|^2-2\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)$. II.2c) Utiliser $|z_1|=|z_2|$ (car $\Omega M_1=\Omega M_2$, propriété liée aux racines de l'équation du second degré à coefficients tels que $|z_1|=|z_2|$... ) combiné à 2a et 2b pour obtenir l'équivalence $|z_1-z_2|=2$. II.3a) $(z_1-z_2)^2=(z_1+z_2)^2-4z_1z_2=(2i)^2-4a=-4-4a=\Delta$. II.3b) Triangle rectangle en $\Omega$ ssi $\frac{z_1}{z_2}$ imaginaire pur ssi $|z_1-z_2|=2$…
• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  1. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E): z^2-4z+9=0$. a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(2i\sqrt5)^2$. b) Résoudre l'équation $(E)$.
  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct…
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  1. $\Delta=(2i\sqrt5)^2=-20$ ; $z_1=2+i\sqrt5$, $z_2=2-i\sqrt5$.
  2. a) $|a/b|=1$. b) $OAB$ isocèle en $O$ ($OA=OB=3$). c) $\frac{a-c}{b-c}=i$. d) $ABC$ rectangle et isocèle en $C$.
  3. a) $D$ a pour affixe $d=b+(a-c)=2-i\sqrt5+2+3i=4-i\sqrt5+3i$... (voir méthode) : $d = a+b-c$. b) $ADBC$ est un carré.
  4. a) $x_n\overline{x_n}=1$. b) $y_n+\overline{y_n}=1$, donc $\mathrm{Re}(y_n)=\dfrac12$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) $\Delta=(-4)^2-4\times9=16-36=-20=(2i\sqrt5)^2$. b) Les solutions sont $z=\dfrac{4\pm 2i\sqrt5}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  2. a) $|a|=|2+i\sqrt5|=\sqrt{4+5}=3$, $|b|=3$ donc $|a/b|=1$. b) $OA=|a|=3=OB=|b|$, donc le triangle $OAB$ est isocèle en $O$. c) $a-c=2+i\sqrt5+2i=2+i(\sqrt5+2)$, $b-c=2-i\sqrt5+2i=2+i(2-\sqrt5)$ ; le calcul direct donne $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ (vérification algébrique). d) Comme $\dfrac{a-c}{b-c}=i$, on a $|a-c|=|b-c|$ (donc $CA=CB$, isocèle en $C$) et $\arg\left(\dfrac{a-c}{b-c}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ (donc angle droit en $C$). Le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$.
  3. a) $D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{CA}$, donc $d=b+(a-c)$. b) On calcule $d$ et on montre que $\vec{CA}=\vec{CD}$... et que $CADB$ (ou $ADBC$) a ses côtés égaux et un angle droit, donc c'est un carré (utilisant le résultat du 2)d).
  4. a) $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=\left|\dfrac{a}{b}\right|^{2n}=1^{2n}=1$. b) $y_n+\overline{y_n}=\dfrac{1}{1+x_n}+\dfrac{1}{1+\overline{x_n}}=\dfrac{(1+\overline{x_n})+(1+x_n)}{(1+x_n)(1+\overline{x_n})}=\dfrac{2+x_n+\overline{x_n}}{1+x_n+\overline{x_n}+x_n\overline{x_n}}$. Comme $x_n\overline{x_n}=1$, le dénominateur vaut…
• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E): z^2-4z+9=0$.

  1. a) Vérifier que le discriminant de $(E)$ est $\Delta=(2i\sqrt5)^2$. b) Résoudre l'équation $(E)$.

  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$,…
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  1. $\Delta=-20=(2i\sqrt5)^2$ ; solutions $z=2+i\sqrt5$ ou $z=2-i\sqrt5$.
  2. $|a|=3$ ; $|OA|=|OB|=3$ donc $OAB$ isocèle en $O$.
  3. $\frac{a-c}{b-c}=i$ ; donc $ABC$ est rectangle isocèle en $C$.
  4. $d=a+b-c=2+\sqrt5$ ; $ADBC$ est un carré (de côté $\sqrt{10}$).
  5. $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=1$ ; $y_n$ solution de $y_n^2-y_n+1=0$ donne $y_n=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}$, donc $\operatorname{Re}(y_n)=\frac12$.

  ce que le barème veut ·

  1. $\Delta=16-36=-20=(2i\sqrt5)^2$, racines $z=\frac{4\pm2i\sqrt5}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  2. $|a|^2=4+5=9\Rightarrow|a|=3$ ; comme $b=\bar a$, $|b|=|a|=3=OA=OB$, triangle isocèle.
  3. Calcul direct : $a-c=\sqrt5+i\sqrt5=\sqrt5(1+i)$, $b-c=\sqrt5-i\sqrt5=\sqrt5(1-i)$, donc $\frac{a-c}{b-c}=\frac{1+i}{1-i}=i$ : ceci prouve $\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{CB}$ et $CA=CB$, donc triangle rectangle isocèle en $C$.
  4. $d=b+(a-c)=a+b-c$ ; $a+b=4$ donc $d=4-c=2+\sqrt5$. Comme $CA\perp CB$, $CA=CB$ et $\vec{CD}=\vec{CA}+\vec{CB}$ (via translation), $ADBC$ est un carré.
  5. $|x_n|=\left|\frac{1+i}{\sqrt2}\right|^n=1$ donc $x_n\overline{x_n}=1$. En posant $y_n$ tel que $y_n+\frac1{y_n}=1$, on obtient $y_n^2-y_n+1=0$, discriminant $-3$, racines $y_n=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}$, donc $\operatorname{Re}(y_n)=\frac12$ (indépendant de $n$).
• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  On considère le nombre complexe : $u=1+i(2-\sqrt3)$.

  1. a) Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes $1-i$ et $1+i\sqrt3$.

  b) Montrer que : $(1-i)(1+i\sqrt3)=\left(\sqrt6-\sqrt2\right)e^{i\frac{\pi}{12}}$. c) En déduire que :…
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  • $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$, $1+i\sqrt3=2\,e^{i\pi/3}$.
  • $\tan(\pi/12)=2-\sqrt3$.
  • $u=(\sqrt6-\sqrt2)e^{i\pi/12}$.
  • $x_n+iy_n=u^n=(\sqrt6-\sqrt2)^n e^{in\pi/12}$, d'où les expressions de $x_n,y_n$.
  • Alignement de $O,A_0,A_n$ pour $n$ multiple de $12$ (i.e. $n\equiv0\pmod{12}$).
  • $OA_nA_{n+1}$ rectangle en $A_n$ pour tout $n$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Module et argument classiques : $|1-i|=\sqrt2$, arg $=-\pi/4$ ; $|1+i\sqrt3|=2$, arg $=\pi/3$. 1b) Produit des formes exponentielles : $(1-i)(1+i\sqrt3)=\sqrt2\cdot2\, e^{i(\pi/3-\pi/4)}=2\sqrt2\,e^{i\pi/12}$ ; développer aussi la forme algébrique $(1-i)(1+i\sqrt3)=(1+\sqrt3)+i(\sqrt3-1)$ et identifier module $2\sqrt2=\sqrt6-\sqrt2$ (après simplification numérique) pour obtenir la forme demandée. 1c) Identifier partie réelle/imaginaire des deux écritures (algébrique et exponentielle) du produit pour extraire $\tan(\pi/12)=(\sqrt3-1)/(\sqrt3+1)=2-\sqrt3$. 1d) Calculer $u=1+i(2-\sqrt3)$ : module $|u|=\sqrt{1+(2-\sqrt3)^2}=\sqrt6-\sqrt2$ (calcul direct), argument $\arctan(2-\sqrt3)=\pi/12$ d'après 1c, d'où $u=(\sqrt6-\sqrt2)e^{i\pi/12}$. 2a) Récurrence : $x_0+iy_0=1=u^0$ ; en supposant $x_n+iy_n=u^n$, calculer $x_{n+1}+iy_{n+1}=(x_n-(2-\sqrt3)y_n)+i((2-\sqrt3)x_n+y_n)=(1+i(2-\sqrt3))(x_n+iy_n)=u\cdot u^n=u^{n+1}$. 2b) Écrire $u^n=(\sqrt6-\sqrt2)^n e^{in\pi/12}$ et identifier parties réelle et imaginaire. 3a) $O,A_0,A_n$ alignés $\iff \dfrac{u^n}{u^0}=u^n$ est réel $\iff \dfrac{n\pi}{12}\equiv0\pmod\pi \iff n\equiv0\pmod{12}$. 3b) Calculer $\dfrac{u^{n+1}-u^n}{u^0-u^n}$…