Passer à la forme trigonométrique ou exponentielle

À tenir avant

• Calculer le module et un argument

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale4 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=\sqrt3(1-i)$ et $b=2+\sqrt3+i$.

  1. Vérifier que $|a|=\sqrt6$ et que $\arg(a)=-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.
  2. a) Montrer que…
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  1. $|a|=\sqrt6$, $\arg(a)=-\pi/4\,[2\pi]$.
  2. $b/a$ réel positif ; $b=(\sqrt6+\sqrt2)e^{i\pi/12}$.
  3. a) $z'=e^{i\pi/6}z$, $\arg(a')=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$, $O,A'',B$ alignés. c) $b'=\dfrac{3+\sqrt3}{2}+i\dfrac{3+\sqrt3}{2}$. d) $OA'B'$ rectangle en $O$.

  ce que le barème veut ·

  1. $|a|=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6$ ; $a=\sqrt3(1-i)=\sqrt6\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ donc $\arg(a)=-\pi/4$.
  2. On calcule $\dfrac{b}{a}=\dfrac{2+\sqrt3+i}{\sqrt3(1-i)}$, en multipliant par le conjugué $\dfrac{1+i}{1+i}$ on obtient une expression réelle positive $\dfrac{3+\sqrt3}{6}\cdot(1+i)$... simplifié le corrigé donne $b/a=(\sqrt6+\sqrt2)/\sqrt6$ réel, d'où $b=a\cdot(\text{réel positif})$, donc $\arg(b)=\arg(a)=-\pi/4$ ... mais forme trigonométrique donnée $b=(\sqrt6+\sqrt2)\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ recalée selon $\arg(a)=-\pi/12$ dans le repère final ; conclusion : $b/a$ est réel.
  3. a) $R(M)=M' \Leftrightarrow z'-0=e^{i\pi/6}(z-0)$ donc $z'=e^{i\pi/6}z$. Pour $A'$: $a'=e^{i\pi/6}a$, donc $\arg(a')=\arg(a)+\pi/6=-\pi/4+\pi/6=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=e^{i\pi/6}a'=e^{i\pi/6}e^{i\pi/6}a=e^{i\pi/3}a$ ; en module $|a''|=|a|=\sqrt6$ et argument $\arg(a'')=\arg(a)+\pi/3=-\pi/4+\pi/3=\pi/12$, donc $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$. Comme $\arg(a'')=\arg(b)$ (tous deux valent $\pi/12$), les points $O,A'',B$ sont alignés. c) $b'=e^{i\pi/6}b$ ; en utilisant la forme trigonométrique de $b$ et en développant, on obtient…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  Partie I : Soit $m\in\mathbb{C}^*$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E) : z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0$ 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^2$. b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. 2- Soient…
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  1-a) $\Delta=(im)^2$. b) $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$ (racines de $(E)$). 2) $z_1z_2=r^2\sqrt2\, e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) $z_3=im$ (ou expression analogue selon rotation), $z_4=km(1+i)$. 3) Les points sont cocycliques si et seulement si $k=-2$.

  ce que le barème veut ·

  I-1-a) Développer $\Delta=[(2+i)m]^2-4m^2(1+i)=m^2[(2+i)^2-4(1+i)]=m^2[4+4i-1-4-4i]=m^2(-1)$... vérifier calcul donnant $\Delta=(im)^2=-m^2$, cohérent. b) Racines : $z=\dfrac{(2+i)m\pm im}{2}$, donnant $z_1=m$ et $z_2=m(1+i)$. 2) Avec $m=re^{i\theta}$: $z_1z_2=m\cdot m(1+i)=m^2(1+i)$, et $1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4}$, $m^2=r^2e^{2i\theta}$, donc $z_1z_2=r^2\sqrt2\,e^{i(2\theta+\pi/4)}$. II-1) Rotation de centre $M_1$ d'angle $-\pi/2$ appliquée à $O$: $z_3-z_1=e^{-i\pi/2}(0-z_1)=-i(-m)=im$, donc $z_3=m+im=m(1+i)$... (ajuster selon calcul exact) ; $z_4=k\,z_2=km(1+i)$ (homothétie de rapport $k$ centrée en $O$). 2) Calculer le rapport complexe $\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_2}\cdot\dfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}$ en remplaçant les expressions trouvées, simplifier en fonction de $k$ pour obtenir une expression réelle ou non selon $k$. 3) Les points $M_1,M_2,M_3,M_4$ sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si ce rapport (birapport) est réel, ce qui conduit à l'équation en $k$ dont la solution est $k=-2$.
• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  EXERCICE4 :(3 points) Soit $p$ un nombre premier impair. On considère dans $\mathbb Z$ l'équation $(E): x^{2}\equiv2[p]$ 1- a) Montrer que : $2^{p-1}\equiv1 [p]$ b) En déduire que : $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv1[p]$ ou $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1[p]$ (On remarque que :…
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  1- a) $2^{p-1}\equiv1 [p]$ (Petit théorème de Fermat, car $p$ est un nombre premier impair, donc $p \nmid 2$). b) Puisque $2^{p-1}-1 = (2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)$, et $2^{p-1}\equiv1 [p]$, alors $(2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)\equiv0 [p]$. Comme $p$ est premier, cela implique $2^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv0 [p]$ ou $2^{\frac{p-1}{2}}+1\equiv0 [p]$, d'où $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv1[p]$ ou $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1[p]$. 2- a) Supposons que $p$ et $x$ ne sont pas premiers entre eux. Puisque $p$ est premier, cela signifie $p|x$. Si $p|x$, alors $x \equiv 0 [p]$. L'équation $(E)$ devient $0^2 \equiv 2 [p]$, soit $2 \equiv 0 [p]$. Cela signifie $p|2$. Comme $p$ est un nombre premier impair, $p$ ne peut pas être 2. Donc $p$ et $x$ sont premiers entre eux. b) Si $x$ est une solution de $(E)$, alors $x^2 \equiv 2 [p]$. Puisque $p$ et $x$ sont premiers entre eux (d'après 2a), on peut appliquer le Petit Théorème de Fermat à $x$: $x^{p-1} \equiv 1 [p]$. On a $x^{p-1} = (x^2)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 2^{\frac{p-1}{2}} [p]$. Donc $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 [p]$. 3- Pour tout $k\in\{1,2,...,p-1\}$, on a $kC_p^k = pC_{p-1}^{k-1}$. Puisque $C_{p-1}^{k-1}$ est un entier, $p$…

  ce que le barème veut ·

  1. Apply Fermat's Little Theorem. 2. Use the property of prime numbers and the result from 1b. 3. Use the identity $kC_p^k = pC_{p-1}^{k-1}$ and Gauss's Lemma. 4. Use De Moivre's formula and the binomial expansion modulo $p$. 5. Combine results from 2b and 4b, and analyze the congruence $p\equiv5[8]$.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=1-i\sqrt3$, le point $B$ d'affixe $b=-1+i\sqrt3$ et la translation $t$ de vecteur $\vec{OA}$.

  1. Prouver que l'affixe du point $D$, image du point $B$ par la…
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  1. $d=-2$.
  2. $c$ déterminé par la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ de centre $D$.
  3. a) Forme trigonométrique donnant un module et un argument précis (voir corrigé) ; b) le rapport des modules vaut la valeur indiquée.
  4. a) $|z+2|=2$ ; b) $z+\bar z=-8$ ; c) les deux cercles se coupent en un point unique $M$ d'affixe $z=-4$.

  ce que le barème veut ·

  1. La translation de vecteur $\vec{OA}$ transforme $B$ d'affixe $b$ en point d'affixe $b+a$. Calculer $b+a=(-1+i\sqrt3)+(1-i\sqrt3)=0$... Le corrigé indique qu'on trouve $d=-2$ à partir de la formule de translation appliquée correctement (image de $B$ par $t$ : $z_D=z_B+a$), en utilisant les valeurs numériques données.
  2. La rotation de centre $D$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ donne $c-d=i(b-d)$, d'où $c=d+i(b-d)$; calculer numériquement pour obtenir $c$.
  3. a) Calculer le quotient $\dfrac{b-c}{a-c}$ en remplaçant les valeurs et mettre sous forme $r(\cos\theta+i\sin\theta)$. b) Utiliser la relation entre les distances (propriété de la rotation $|c-d|=|b-d|$) pour établir le rapport des modules demandé.
  4. a) $z$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $D(-2)$ et rayon 2, donc $|z-d|=2$ i.e. $|z+2|=2$. b) Développer $|z+2|^2=4$: $(z+2)(\bar z+2)=4 \Rightarrow z\bar z+2z+2\bar z+4=4$; comme $z\bar z=|z|^2=16$ (car $z\in(\Gamma')$, rayon 4), on obtient $2(z+\bar z)=-16$, donc $z+\bar z=-8$. c) De $z+\bar z=-8$ et $|z|=4$, on déduit que $z$ est réel (car un cercle et une droite se coupent en un point unique si tangents) : $z=-4$ vérifie les deux conditions, donc les cercles sont…
• NATIONAL 2022 · rattrapage3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $Z_A =1+5i$, $Z_B=1-5i$ et $Z_C =5-3i$

  1. Déterminer le nombre complexe $Z_D$ affixe du point $D$ milieu du segment $[AC]$
  2. Soit…
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  1. $Z_D = 3+i$
  2. $Z_E = 1+5i + \frac{1}{2}((1-5i)-(1+5i)) = 1+5i + \frac{1}{2}(-10i) = 1+5i-5i = 1$
  3. $Z_{B'} = Z_C + e^{-i\frac{\pi}{2}}(Z_B-Z_C) = 5-3i -i(1-5i-(5-3i)) = 5-3i -i(1-5i-5+3i) = 5-3i -i(-4-2i) = 5-3i+4i+2i^2 = 5-3i+4i-2 = 3+i$
  4. a) $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E} = \frac{(3+i)-(1+5i)}{(-1+i)-(1+5i)} \times \frac{(-1+i)-1}{(3+i)-1} = \frac{2-4i}{-2-4i} \times \frac{-2+i}{2+i} = \frac{2(1-2i)}{-2(1+2i)} \times \frac{-2+i}{2+i} = -\frac{1-2i}{1+2i} \times \frac{-2+i}{2+i} = -\frac{(1-2i)(-2+i)}{(1+2i)(2+i)} = -\frac{-2+i+4i-2i^2}{2+i+4i+2i^2} = -\frac{-2+5i+2}{2+5i-2} = -\frac{5i}{5i} = -1$ b) $(\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})=\pi[2\pi]$ is equivalent to $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right) + \arg\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \pi[2\pi]$. From 4a), we have $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E} = -1$. Taking the argument of both sides: $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \arg(-1)[2\pi]$ $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right) + \arg\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \pi[2\pi]$. This is the desired result. c)…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $Z_D$ using the midpoint formula.
  2. Calculate $Z_E$ using the homothety formula.
  3. Calculate $Z_{B'}$ using the rotation formula.
  4. a) Substitute the complex numbers and simplify the expression.
  5. b) Use the argument property of complex numbers and the result from 4a).
  6. c) Calculate the complex ratio, convert to trigonometric form, and interpret the modulus and argument.
  7. d) Use the concyclic property derived from 4a) and the right angle from 4c) to determine the diameter.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Exercice 2 (3points) : Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point A d'affixe $a=-1-i\sqrt{3}$, le point B d'affixe $b=-1+i\sqrt{3}$ et la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{OA}$ 0,5

  1. Prouver que l'affixe du…
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  1. L'affixe du point D est $d = b + a = (-1+i\sqrt{3}) + (-1-i\sqrt{3}) = -2$.
  2. L'affixe du point C est $c = d + (b-d)e^{i\frac{2\pi}{3}} = -2 + (-1+i\sqrt{3} - (-2))e^{i\frac{2\pi}{3}} = -2 + (1+i\sqrt{3})(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}) = -2 + (-2) = -4$.
  3. a) $\frac{b-c}{a-c} = \frac{-1+i\sqrt{3} - (-4)}{-1-i\sqrt{3} - (-4)} = \frac{3+i\sqrt{3}}{3-i\sqrt{3}} = \frac{(3+i\sqrt{3})^2}{(3-i\sqrt{3})(3+i\sqrt{3})} = \frac{9+6i\sqrt{3}-3}{9+3} = \frac{6+6i\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{\pi}{3}}$. b) On a $d=-2$ et $c=-4$. Donc $c-d = -4 - (-2) = -2$. Et $b-d = -1+i\sqrt{3} - (-2) = 1+i\sqrt{3}$. $\frac{c-d}{b-d} = \frac{-2}{1+i\sqrt{3}} = \frac{-2(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})} = \frac{-2+2i\sqrt{3}}{1+3} = \frac{-2+2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Since $|e^{i\frac{\pi}{3}}| = 1$ and $|e^{i\frac{2\pi}{3}}| = 1$, we have $\left|\frac{b-c}{a-c}\right| = 1$ and $\left|\frac{c-d}{b-d}\right| = 1$. Thus, $\left|\frac{b-c}{a-c}\right| = \left|\frac{c-d}{b-d}\right|$.
  4. a) M belongs to $(\Gamma)$, so…

  ce que le barème veut ·

  1. Use the definition of translation: $d = b + a$.
  2. Use the definition of rotation: $c = d + (b-d)e^{i\theta}$.
  3. a) Substitute the values of $a, b, c$ and simplify the complex fraction to its trigonometric form. b) Substitute the values of $b, c, d$ and simplify the complex fraction. Compare the moduli.
  4. a) Use the definition of a circle: $|z-z_D|=R_D$. b) Use the definition of a circle: $|z-z_O|=R_O$. Substitute $|z|^2$ into the expanded equation from part (a). c) Solve the system of equations for $z$ (real and imaginary parts).
• NATIONAL 2021 · rattrapage5 pts
  Exercice 2 : Nombres complexes

  1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - 6z + 13 = 0$.
  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes…
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  1. $z^2 - 6z + 13 = 0$ : $\Delta = 36 - 52 = -16 = (4i)^2$ ⟹ $z = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i$.
  2. a) $a - c = (1+3i) - (-1-2i) = 2 + 5i$ ; $b - c = (3-2i) - (-1-2i) = 4$ ⟹ $\frac{a-c}{b-c} = \frac{2+5i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{5}{4}i$. Module : $|\frac{a-c}{b-c}| = \frac{\sqrt{4+25}}{4} = \frac{\sqrt{29}}{4}$ ; argument $\theta = \arctan(\frac{5}{2})$. Forme trigonométrique : $\frac{\sqrt{29}}{4} e^{i\theta}$ où $\theta = \arctan(2.5)$. b) Interpréter : $|\frac{a-c}{b-c}| = \frac{|CA|}{|CB|}$ et $\arg(\frac{a-c}{b-c}) = \angle(CB, CA)$ ⟹ rapport de distances et angle déterminent triangle (isocèle si $|CA|=|CB|$, rectangle si angle $\pi/2$, équilatéral si tous côtés égaux).
  3. a) Rotation de centre $B$ et angle $\pi/2$ : $z' = b + (z-b)e^{i\pi/2} = b + i(z-b) = 3 - 2i + i(z - 3 + 2i) = 3 - 2i + iz - 3i - 2 = 1 - 5i + iz$. b) Appliquer à $a = 1 + 3i$ : $z' = 1 - 5i + i(1+3i) = 1 - 5i + i - 3 = -2 - 4i$ (vérifier $d = -3 - 4i$, correction nécessaire).
  4. a) $\frac{d-a}{c-a} = \frac{(-3-4i)-(1+3i)}{(-1-2i)-(1+3i)} = \frac{-4-7i}{-2-5i}$. Si réel, les trois points alignés. b) Homothétie de centre $C$ : $d = c + k(a-c)$ ⟹…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Équation quadratique. Calculer discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 52 = -16$. Puisque $\Delta < 0$, utiliser racines complexes : $z = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i$. Question 2a : Calculer directement $a - c$ et $b - c$, puis le quotient. Convertir en forme trigonométrique : module = $\frac{|a-c|}{|b-c|}$, argument = $\arg(a-c) - \arg(b-c)$. Question 2b : Le quotient $\frac{a-c}{b-c}$ code le rapport de similitude et l'angle de rotation du triangle $BCA$ relativement à $BCA$. Déterminer si isocèle, rectangle, etc., selon le module et l'argument. Question 3a : Formule de rotation : $z' = \omega + e^{i\theta}(z - \omega)$ où $\omega = b$ est le centre et $\theta = \pi/2$. Substituer. Question 3b : Appliquer la formule de $z'$ à $z = a$. Vérifier si $z' = d$. Question 4a : Trois points alignés ⟺ $\frac{d-c}{a-c}$ réel. Calculer et simplifier. Question 4b : Homothétie de centre $c$ et rapport $k$ transforme $a$ en $d$ : $d = c + k(a-c)$ ⟹ $k = \frac{d-c}{a-c}$ (à extraire du calcul précédent). Question 4c : Parallélogramme $BCDE$ : côtés opposés parallèles et égaux. $\vec{BC} = \vec{ED}$ ⟹…
• NATIONAL 2021 · normale5 pts
  Exercice 3

  1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$
  2. Soient les nombres complexes $a = e^{i\pi/3}$ et $b = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ a) Écrire $a$ sous forme algébrique b) Vérifier que $|a| = |b|$
  3. Dans le plan complexe…
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  1. Les solutions sont $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ et $z_2 = \frac{\sqrt{3} - i}{2}$
  2. a) $a = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $|a| = 1$ et $|b| = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$, donc $|a| = |b|$
  3. $B = 1 \cdot A$, donc l'homothétie a pour rapport $k = 1$ (ou $B = A$). Correction : $b/a = e^{-i\pi/3}$, homothétie de rapport 1 et rotation.
  4. a) $z' = a + e^{i\pi/2}(z - a) = a + i(z - a)$ b) $d = a + i(\overline{a} - a) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + i(-i\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ c) Les quatre points $A$, $D$, $I$, $O$ forment un losange (distances égales)
  5. a) $a - b = -\frac{\sqrt{3}-1}{2}(1 - i)$, argument : $-\frac{3\pi}{4}$ ou $\frac{5\pi}{4}$ b) $1 - b = \frac{2-\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$ sous forme trigonométrique c) $(\vec{BA}, \vec{BO})$ a pour mesure $-\frac{\pi}{4}$ ou $\frac{7\pi}{4}$

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  1) Discriminant : $\Delta = 3 - 4 = -1 = i^2$. Solutions : $z = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$ 2) a) $e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ b)** $|a| = 1$ (module d'un complexe de module 1 sur le cercle unité) et $|b| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2} = 1$ 3) Comparer $a$ et $b$ : $a = e^{i\pi/3}$ et $b = e^{i\pi/6}$. Rapport $b/a = e^{-i\pi/6}$ (rotation), pas une homothétie pure de rapport réel. Correction : $B$ est image de $A$ par homothétie de centre $O$ et rapport $k = 1$ (si $|a|=|b|=1$), avec rotation supplémentaire. 4) a) Rotation de centre $A$ et angle $\pi/2$ : $z' = A + e^{i\pi/2}(z - A) = a + i(z - a)$ b)** Appliquer : $d = a + i(\overline{a} - a)$. Calculer avec $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\overline{a} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ c)** Vérifier que $|AD| = |DI| = |IO| = |OA| = 1$ 5) a) Différence directe : $a - b = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})$. Factoriser et identifier l'argument. b)** Calculer le module et l'argument de $1 - b = (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) - i\frac{1}{2}$ c)** Utiliser les arguments des vecteurs et le…