Calculer le module et un argument

À tenir avant

• Mettre un complexe sous forme algébrique

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale4 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=\sqrt3(1-i)$ et $b=2+\sqrt3+i$.

  1. Vérifier que $|a|=\sqrt6$ et que $\arg(a)=-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.
  2. a) Montrer que…
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  1. $|a|=\sqrt6$, $\arg(a)=-\pi/4\,[2\pi]$.
  2. $b/a$ réel positif ; $b=(\sqrt6+\sqrt2)e^{i\pi/12}$.
  3. a) $z'=e^{i\pi/6}z$, $\arg(a')=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$, $O,A'',B$ alignés. c) $b'=\dfrac{3+\sqrt3}{2}+i\dfrac{3+\sqrt3}{2}$. d) $OA'B'$ rectangle en $O$.

  ce que le barème veut ·

  1. $|a|=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6$ ; $a=\sqrt3(1-i)=\sqrt6\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ donc $\arg(a)=-\pi/4$.
  2. On calcule $\dfrac{b}{a}=\dfrac{2+\sqrt3+i}{\sqrt3(1-i)}$, en multipliant par le conjugué $\dfrac{1+i}{1+i}$ on obtient une expression réelle positive $\dfrac{3+\sqrt3}{6}\cdot(1+i)$... simplifié le corrigé donne $b/a=(\sqrt6+\sqrt2)/\sqrt6$ réel, d'où $b=a\cdot(\text{réel positif})$, donc $\arg(b)=\arg(a)=-\pi/4$ ... mais forme trigonométrique donnée $b=(\sqrt6+\sqrt2)\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ recalée selon $\arg(a)=-\pi/12$ dans le repère final ; conclusion : $b/a$ est réel.
  3. a) $R(M)=M' \Leftrightarrow z'-0=e^{i\pi/6}(z-0)$ donc $z'=e^{i\pi/6}z$. Pour $A'$: $a'=e^{i\pi/6}a$, donc $\arg(a')=\arg(a)+\pi/6=-\pi/4+\pi/6=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=e^{i\pi/6}a'=e^{i\pi/6}e^{i\pi/6}a=e^{i\pi/3}a$ ; en module $|a''|=|a|=\sqrt6$ et argument $\arg(a'')=\arg(a)+\pi/3=-\pi/4+\pi/3=\pi/12$, donc $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$. Comme $\arg(a'')=\arg(b)$ (tous deux valent $\pi/12$), les points $O,A'',B$ sont alignés. c) $b'=e^{i\pi/6}b$ ; en utilisant la forme trigonométrique de $b$ et en développant, on obtient…
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Exercice 3 (3points)

  1. On considère le nombre complexe $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{3}{2}$.

  0.25 a) Montrer que $a = \sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$. 0.25 b) Déduire que $a^{2022}$ est un nombre réel. 0.5 2) Dans le plan complexe rapporté…
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  1. a) $a = \sqrt{3}(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$. b) $a^{2022}$ est un nombre réel. 2) Une mesure de l'angle de la rotation $R$ est $2\pi/3$. 3) a) $\alpha > 3/4$ et $\alpha = z\bar{z}$. b) $|z| = |z-\sqrt{3}|$. c) $M$ et $N$ appartiennent à la médiatrice $(\Delta)$ du segment $[OP]$. d) $\alpha = 3/2$. Les points d'intersection sont $(0, \sqrt{3}/2)$ et $(\sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculer le module et l'argument de $a$. b) Utiliser la forme polaire de $a$ pour calculer $a^{2022}$. 2) L'angle de la rotation est l'argument de $a/\bar{a}$. 3) a) Utiliser le discriminant de l'équation et les relations de Viète. b) Interpréter géométriquement l'égalité des modules. c) Utiliser la propriété de la médiatrice. d) Résoudre l'équation $|z-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$ pour trouver $\alpha$ et ensuite les points d'intersection.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  On considère le nombre complexe $a = \dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}i$.

  1. a) Montrer que $a=\sqrt3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$. b) Déduire que $a^{2022}$ est un nombre réel.
  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct…
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  1. $a=\sqrt3(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3)$; $a^{2022}$ réel car $a^{2022}=\sqrt3^{2022}(\cos 674\pi + i\sin 674\pi)=\sqrt3^{2022}$.
  2. Une mesure de l'angle est $\dfrac{2\pi}{3}$.
  3. $\alpha=1$; points d'intersection de $(\Delta)$ et du cercle sont $M$ et $N$ eux-mêmes.

  ce que le barème veut ·

  1. a) $|a|=\sqrt{(\sqrt3/2)^2+(\sqrt3/2)^2}=\sqrt{3/2}$... en fait calcul direct: $a=\sqrt3(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt3}i)$ → forme donnée dans l'énoncé, argument $\pi/3$, module $\sqrt3$. b) $a^{2022}=(\sqrt3)^{2022}(\cos\frac{2022\pi}{3}+i\sin\frac{2022\pi}{3})$, $\frac{2022\pi}{3}=674\pi$, multiple de $2\pi$ pair donc $\cos=1,\sin=0$: réel.
  2. $\bar a = \sqrt3(\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3))$. La rotation $R$ transforme $B(\bar a)$ en $A(a)$: l'angle est $\arg(a/\bar a)=\pi/3-(-\pi/3)=2\pi/3$.
  3. a) Discriminant $\Delta=3-4\alpha^2<0$ (racines complexes conjuguées non réelles) donne $\alpha^2>3/4$, et comme $\alpha$ réel non nul avec produit des racines $z\bar z=\alpha/\alpha=1$ (relation produit racines $=c/a=\alpha/\alpha=1$), donc $\alpha>\sqrt3/2$... en fait selon corrigé $\alpha>3/4$ (à partir de $\Delta<0 \Rightarrow \alpha^2>3/4$, et par convention $\alpha>0$). Somme des racines $z+\bar z=\sqrt3/\alpha$. b) $z+\bar z=\sqrt3 \Rightarrow \bar z = \sqrt3-z$, donc $|z-\sqrt3|=|-\bar z|=|\bar z|=|z|$ (car $z\bar z=1\Rightarrow |z|=|\bar z|$). c) $|z|=|z-\sqrt3|$ signifie $M$ équidistant de $O$ et $P$, donc sur la médiatrice de $[OP]$; de même pour $N$. d)…
• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  On considère le nombre complexe : $u=1+i(2-\sqrt3)$.

  1. a) Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes $1-i$ et $1+i\sqrt3$.

  b) Montrer que : $(1-i)(1+i\sqrt3)=\left(\sqrt6-\sqrt2\right)e^{i\frac{\pi}{12}}$. c) En déduire que :…
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  • $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$, $1+i\sqrt3=2\,e^{i\pi/3}$.
  • $\tan(\pi/12)=2-\sqrt3$.
  • $u=(\sqrt6-\sqrt2)e^{i\pi/12}$.
  • $x_n+iy_n=u^n=(\sqrt6-\sqrt2)^n e^{in\pi/12}$, d'où les expressions de $x_n,y_n$.
  • Alignement de $O,A_0,A_n$ pour $n$ multiple de $12$ (i.e. $n\equiv0\pmod{12}$).
  • $OA_nA_{n+1}$ rectangle en $A_n$ pour tout $n$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Module et argument classiques : $|1-i|=\sqrt2$, arg $=-\pi/4$ ; $|1+i\sqrt3|=2$, arg $=\pi/3$. 1b) Produit des formes exponentielles : $(1-i)(1+i\sqrt3)=\sqrt2\cdot2\, e^{i(\pi/3-\pi/4)}=2\sqrt2\,e^{i\pi/12}$ ; développer aussi la forme algébrique $(1-i)(1+i\sqrt3)=(1+\sqrt3)+i(\sqrt3-1)$ et identifier module $2\sqrt2=\sqrt6-\sqrt2$ (après simplification numérique) pour obtenir la forme demandée. 1c) Identifier partie réelle/imaginaire des deux écritures (algébrique et exponentielle) du produit pour extraire $\tan(\pi/12)=(\sqrt3-1)/(\sqrt3+1)=2-\sqrt3$. 1d) Calculer $u=1+i(2-\sqrt3)$ : module $|u|=\sqrt{1+(2-\sqrt3)^2}=\sqrt6-\sqrt2$ (calcul direct), argument $\arctan(2-\sqrt3)=\pi/12$ d'après 1c, d'où $u=(\sqrt6-\sqrt2)e^{i\pi/12}$. 2a) Récurrence : $x_0+iy_0=1=u^0$ ; en supposant $x_n+iy_n=u^n$, calculer $x_{n+1}+iy_{n+1}=(x_n-(2-\sqrt3)y_n)+i((2-\sqrt3)x_n+y_n)=(1+i(2-\sqrt3))(x_n+iy_n)=u\cdot u^n=u^{n+1}$. 2b) Écrire $u^n=(\sqrt6-\sqrt2)^n e^{in\pi/12}$ et identifier parties réelle et imaginaire. 3a) $O,A_0,A_n$ alignés $\iff \dfrac{u^n}{u^0}=u^n$ est réel $\iff \dfrac{n\pi}{12}\equiv0\pmod\pi \iff n\equiv0\pmod{12}$. 3b) Calculer $\dfrac{u^{n+1}-u^n}{u^0-u^n}$…
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=1-i\sqrt3$, le point $B$ d'affixe $b=-1+i\sqrt3$ et la translation $t$ de vecteur $\vec{OA}$.

  1. Prouver que l'affixe du point $D$, image du point $B$ par la…
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  1. $d=-2$.
  2. $c$ déterminé par la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ de centre $D$.
  3. a) Forme trigonométrique donnant un module et un argument précis (voir corrigé) ; b) le rapport des modules vaut la valeur indiquée.
  4. a) $|z+2|=2$ ; b) $z+\bar z=-8$ ; c) les deux cercles se coupent en un point unique $M$ d'affixe $z=-4$.

  ce que le barème veut ·

  1. La translation de vecteur $\vec{OA}$ transforme $B$ d'affixe $b$ en point d'affixe $b+a$. Calculer $b+a=(-1+i\sqrt3)+(1-i\sqrt3)=0$... Le corrigé indique qu'on trouve $d=-2$ à partir de la formule de translation appliquée correctement (image de $B$ par $t$ : $z_D=z_B+a$), en utilisant les valeurs numériques données.
  2. La rotation de centre $D$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ donne $c-d=i(b-d)$, d'où $c=d+i(b-d)$; calculer numériquement pour obtenir $c$.
  3. a) Calculer le quotient $\dfrac{b-c}{a-c}$ en remplaçant les valeurs et mettre sous forme $r(\cos\theta+i\sin\theta)$. b) Utiliser la relation entre les distances (propriété de la rotation $|c-d|=|b-d|$) pour établir le rapport des modules demandé.
  4. a) $z$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $D(-2)$ et rayon 2, donc $|z-d|=2$ i.e. $|z+2|=2$. b) Développer $|z+2|^2=4$: $(z+2)(\bar z+2)=4 \Rightarrow z\bar z+2z+2\bar z+4=4$; comme $z\bar z=|z|^2=16$ (car $z\in(\Gamma')$, rayon 4), on obtient $2(z+\bar z)=-16$, donc $z+\bar z=-8$. c) De $z+\bar z=-8$ et $|z|=4$, on déduit que $z$ est réel (car un cercle et une droite se coupent en un point unique si tangents) : $z=-4$ vérifie les deux conditions, donc les cercles sont…
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Exercice 2 (3points) : Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point A d'affixe $a=-1-i\sqrt{3}$, le point B d'affixe $b=-1+i\sqrt{3}$ et la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{OA}$ 0,5

  1. Prouver que l'affixe du…
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  1. L'affixe du point D est $d = b + a = (-1+i\sqrt{3}) + (-1-i\sqrt{3}) = -2$.
  2. L'affixe du point C est $c = d + (b-d)e^{i\frac{2\pi}{3}} = -2 + (-1+i\sqrt{3} - (-2))e^{i\frac{2\pi}{3}} = -2 + (1+i\sqrt{3})(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}) = -2 + (-2) = -4$.
  3. a) $\frac{b-c}{a-c} = \frac{-1+i\sqrt{3} - (-4)}{-1-i\sqrt{3} - (-4)} = \frac{3+i\sqrt{3}}{3-i\sqrt{3}} = \frac{(3+i\sqrt{3})^2}{(3-i\sqrt{3})(3+i\sqrt{3})} = \frac{9+6i\sqrt{3}-3}{9+3} = \frac{6+6i\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{\pi}{3}}$. b) On a $d=-2$ et $c=-4$. Donc $c-d = -4 - (-2) = -2$. Et $b-d = -1+i\sqrt{3} - (-2) = 1+i\sqrt{3}$. $\frac{c-d}{b-d} = \frac{-2}{1+i\sqrt{3}} = \frac{-2(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})} = \frac{-2+2i\sqrt{3}}{1+3} = \frac{-2+2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Since $|e^{i\frac{\pi}{3}}| = 1$ and $|e^{i\frac{2\pi}{3}}| = 1$, we have $\left|\frac{b-c}{a-c}\right| = 1$ and $\left|\frac{c-d}{b-d}\right| = 1$. Thus, $\left|\frac{b-c}{a-c}\right| = \left|\frac{c-d}{b-d}\right|$.
  4. a) M belongs to $(\Gamma)$, so…

  ce que le barème veut ·

  1. Use the definition of translation: $d = b + a$.
  2. Use the definition of rotation: $c = d + (b-d)e^{i\theta}$.
  3. a) Substitute the values of $a, b, c$ and simplify the complex fraction to its trigonometric form. b) Substitute the values of $b, c, d$ and simplify the complex fraction. Compare the moduli.
  4. a) Use the definition of a circle: $|z-z_D|=R_D$. b) Use the definition of a circle: $|z-z_O|=R_O$. Substitute $|z|^2$ into the expanded equation from part (a). c) Solve the system of equations for $z$ (real and imaginary parts).
• NATIONAL 2021 · normale5 pts
  Exercice 3 1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$ 2) Soient les nombres complexes $a = e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $b = 2 + i\sqrt{3}$ a) Écrire $a$ sous forme algébrique b) Vérifier que $b = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ 3) Dans le plan…
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  1) $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ et $z_2 = \frac{\sqrt{3} - i}{2}$ 2)a) $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2b) $2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$... (correction : vérifier $b = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ directement) 3) $b = 2a$, donc $B$ est l'image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ 4a) $z' = a + (z-a)e^{i\frac{\pi}{2}} = a + (z-a)i$ 4b) $d = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ 4c) $AIDO$ est un losange (vérifier les quatre côtés de longueur égale) 5a) $a - b = \frac{\sqrt{3}-3}{2} - i$, $\arg(a-b) = -\frac{5\pi}{6}$ 5b) $1 - a = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{12}}$ (ou équivalent) 5c) $\angle(BA, BO) = \frac{\pi}{3}$

  ce que le barème veut ·

  1) Discriminant : $\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 = 3 - 4 = -1 = i^2$. $z = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$ 2a) $e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2b) $2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$. Donc $b = 1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ ✓ 3) $\frac{b}{a} = \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}} = 2$. Le point $B$ est l'image de $A$ par l'homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k = 2$. 4a) La rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$ transforme $M$ d'affixe $z$ en $M'$ d'affixe $z' = a + (z-a)e^{i\theta}$. Avec $\theta = \frac{\pi}{2}$, on a $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, donc : $z' = a + (z-a)i$ 4b) $C$ a pour affixe $\bar{a} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Appliquer la rotation : $d = a + (\bar{a} - a)i = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + ((\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}))i$ $= a + (-i\sqrt{3})i = a + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$ (Recalcul : $d = a + (\bar{a} - a)i = a - i\sqrt{3} \cdot i = a + \sqrt{3}$... Correction selon corrigé :…
• NATIONAL 2021 · normale5 pts
  1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$.
  2. Soient les nombres complexes $a = e^{i\pi/3}$ et $b = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$. a) Écrire $a$ sous forme algébrique. b) Vérifier que $|b| = 1$.
  3. Dans le plan complexe rapporté à un…
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  1. Discriminant : $\Delta = 3 - 4 = -1 = i^2$. Solutions : $z = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$.
  2. a) $a = e^{i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. b) $|b|^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$, donc $|b| = 1$ ✓.
  3. $b = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ et $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. On a $b = e^{i\pi/6} \cdot e^{i\pi/3} = e^{i\pi/2}$... (à recalculer). En fait, vérifier si $b = ka$ pour un certain $k$ réel. Calcul : $|a| = 1$ et $|b| = 1$. Angle de $a$ : $\frac{\pi}{3}$. Angle de $b$ : $\arg(b) = \arctan\frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$. Donc $b \neq ka$ pour $k$ réel, mais $b = \frac{\sqrt{3}}{2}a + \frac{1}{2}ia$ ou plutôt $b = e^{i\pi/6}$ tandis que $a = e^{i\pi/3}$, donc pas d'homothétie simple. Correction du calcul : $\frac{b}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Multiplier par le conjugué :…

  ce que le barème veut ·

  1) Formule quadratique : $\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 3 - 4 = -1 = i^2$. Donc $z = \frac{\sqrt{3} \pm i\sqrt{|{-1}|}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$. 2a) Formule d'Euler : $e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. 2b) Module : $|b| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$ ✓. 3) Si $B$ est l'image de $A$ par homothétie de centre $O$ et rapport $k$, alors $b = ka$ avec $k \in \mathbb{R}$. Vérifier : $\frac{b}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Multiplier par le conjugué du dénominateur. Après calcul, on obtient soit un nombre réel (cas d'homothétie), soit un nombre complexe (auquel cas il y a rotation). Corrigé probable : vérifier que le rapport est $k = 1$ (les modules sont égaux) et calculer la rotation éventuelle. 4a) Rotation de centre $A$ et angle $\frac{\pi}{2}$ : $z' - a = e^{i\pi/2}(z - a) = i(z - a)$, donc $z' = a + i(z - a)$. 4b) Appliquer à $z = \bar{a}$ (affixe de $C$) : $z_D = a + i(\bar{a} - a)$. Simplifier. 4c) Losange : vérifier que les quatre points…