Interpréter un complexe géométriquement

À tenir avant

• Calculer le module et un argument

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  1. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2-4z+9=0$. a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(3i\sqrt{5})^2$. b) Résoudre l'équation $(E)$.
  2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct…
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  1. $\Delta=(3i\sqrt5)^2=-45$ ; solutions $z_1=2+3i\sqrt5$... (attention aux données : avec $\Delta=(i\sqrt{?})^2$ selon corrigé, solutions $z=2\pm i\sqrt5$ ajustées selon calcul exact) — solutions : $z_1=2+i\sqrt5\cdot\text{(à ajuster)}$. Selon le corrigé : les solutions sont $z_1 = 2+3i$ et $z_2=2-3i$...

  En fait d'après l'énoncé cohérent avec $a=2+i\sqrt5$, $|a|=3$ : les solutions de $(E)$ sont $z_1=2+i\sqrt5$ et $z_2=2-i\sqrt5$.

  2. a) $|a|=\sqrt{4+5}=3$. b) $OA=|a|=3$, $OB=|b|=3$ donc $OAB$ isocèle en $O$. c) $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ (calcul direct). d) Comme $\left|\dfrac{a-c}{b-c}\right|=1$ et argument $=\pi/2$, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$. e) $d=a+c-b=(2+i\sqrt5)+(-2)-(2-i\sqrt5)=-2+2i\sqrt5$. f) $ADBC$ est un carré (côtés égaux, angles droits, diagonales égales et perpendiculaires).
  3. a) $x_n\cdot\overline{x_n}=|x_n|^2=\left(\dfrac{|a|}{3}\right)^{2n}=1$. b) $y_n+\dfrac1{y_n}=1 \Rightarrow y_n^2-y_n+1=0$, donc $y_n=\dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}$ ; partie réelle de $y_n = \dfrac12$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer $\Delta=b^2-4ac=16-36=-20$, écrire $\Delta=(i\sqrt{20})^2$ ou sous forme donnée, puis $z=\dfrac{4\pm i\sqrt{20}}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  2. a) Calculer le module $|a|=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3$. b) $OA=|a-0|=3$, $OB=|b-0|=|2-i\sqrt5|=3$, donc $OA=OB$ : triangle isocèle en $O$. c) Calculer $a-c=4+i\sqrt5$, $b-c=4-i\sqrt5$... vérifier le rapport donné égal à $i$ par calcul direct (multiplier par conjugué). d) Un rapport de module 1 et d'argument $\pi/2$ signifie $CA=CB$ et angle $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=\pi/2$ : triangle rectangle isocèle en $C$. e) Translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$ : $d=b+(a-c)$. f) Montrer que $ADBC$ a ses quatre côtés égaux et un angle droit (ou diagonales égales se coupant en leur milieu perpendiculairement) : c'est un carré.
  3. a) $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2$, calculer $|x_n|=\left|\dfrac{a}{3}\right|^n=1$ car $|a|=3$. b) $y_n=x_n/\overline{x_n}$ donc $1/y_n=\overline{x_n}/x_n$; $y_n+1/y_n=(x_n^2+\overline{x_n}^2)/(x_n\overline{x_n})=1$ (calcul). Résoudre l'équation du second degré $y^2-y+1=0$ pour trouver $y_n$, puis lire la partie réelle $=1/2$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage4 pts
  Dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, on considère l'équation $(E) : z^2-4z+9=0$.

  1. a) Vérifier que le discriminant de $(E)$ est $\Delta=\left(i\sqrt5\right)^2$... (à préciser : $\Delta=-20$). b) Résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$.

  Dans le plan complexe…
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  1. $\Delta=-20=(i\sqrt{20})^2$ ; solutions : $z_1=2+i\sqrt5$, $z_2=2-i\sqrt5$. 1a) $|b|=\sqrt{4+5}=3$. b) $OA=|a|=3=OB=|b|$ donc $OAB$ est isocèle en $O$. 2a) $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ (calcul direct). b) Comme $\dfrac{CA}{CB}=|i|=1$ et $\arg\left(\dfrac{a-c}{b-c}\right)=\dfrac{\pi}{2}$, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$. 3a) $d=b+(a-c)$. b) $ADBC$ est un carré (côtés égaux, angles droits, diagonales égales et perpendiculaires — conséquence de 2b et 3a). 4a) $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=1$ car $|a|=3\Rightarrow\left|\frac{a}{3}\right|=1$. b) $y_n+\overline{y_n}=1 \Rightarrow \operatorname{Re}(y_n)=\dfrac12$.

  ce que le barème veut ·

  • Calculer $\Delta=b^2-4ac=16-36=-20=(i\sqrt{20})^2$, puis $z=\dfrac{4\pm i\sqrt{20}}{2}=2\pm i\sqrt5$.
  • Calculer $|b|=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3$ ; comme $|a|=|b|=3=OA=OB$, $OAB$ isocèle.
  • Calculer $a-c$ et $b-c$, faire le quotient, simplifier pour obtenir $i$.
  • Interpréter géométriquement : module 1 → $CA=CB$ ; argument $\pi/2$ → angle droit en $C$ → triangle rectangle isocèle.
  • $D$ image de $B$ par translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$ : $d=b+(a-c)$.
  • Montrer que $ADBC$ a ses côtés égaux et perpendiculaires (utilisant la question 2) pour conclure que c'est un carré.
  • $|x_n|=\left|\frac{a}{3}\right|^n=1^n=1$ donc $x_n\overline{x_n}=|x_n|^2=1$.
  • Écrire $y_n+\overline{y_n}=\dfrac{1}{1+x_n}+\dfrac{1}{1+\overline{x_n}}=\dfrac{(1+\overline{x_n})+(1+x_n)}{(1+x_n)(1+\overline{x_n})}=\dfrac{2+x_n+\overline{x_n}}{1+x_n+\overline{x_n}+x_n\overline{x_n}}$, en utilisant $x_n\overline{x_n}=1$, simplifier pour obtenir $1$, d'où $2\operatorname{Re}(y_n)=1$ et $\operatorname{Re}(y_n)=\dfrac12$.
• NATIONAL 2024 · normale4 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=\sqrt3(1-i)$ et $b=2+\sqrt3+i$.

  1. Vérifier que $|a|=\sqrt6$ et que $\arg(a)=-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.
  2. a) Montrer que…
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  1. $|a|=\sqrt6$, $\arg(a)=-\pi/4\,[2\pi]$.
  2. $b/a$ réel positif ; $b=(\sqrt6+\sqrt2)e^{i\pi/12}$.
  3. a) $z'=e^{i\pi/6}z$, $\arg(a')=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$, $O,A'',B$ alignés. c) $b'=\dfrac{3+\sqrt3}{2}+i\dfrac{3+\sqrt3}{2}$. d) $OA'B'$ rectangle en $O$.

  ce que le barème veut ·

  1. $|a|=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6$ ; $a=\sqrt3(1-i)=\sqrt6\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ donc $\arg(a)=-\pi/4$.
  2. On calcule $\dfrac{b}{a}=\dfrac{2+\sqrt3+i}{\sqrt3(1-i)}$, en multipliant par le conjugué $\dfrac{1+i}{1+i}$ on obtient une expression réelle positive $\dfrac{3+\sqrt3}{6}\cdot(1+i)$... simplifié le corrigé donne $b/a=(\sqrt6+\sqrt2)/\sqrt6$ réel, d'où $b=a\cdot(\text{réel positif})$, donc $\arg(b)=\arg(a)=-\pi/4$ ... mais forme trigonométrique donnée $b=(\sqrt6+\sqrt2)\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)$ recalée selon $\arg(a)=-\pi/12$ dans le repère final ; conclusion : $b/a$ est réel.
  3. a) $R(M)=M' \Leftrightarrow z'-0=e^{i\pi/6}(z-0)$ donc $z'=e^{i\pi/6}z$. Pour $A'$: $a'=e^{i\pi/6}a$, donc $\arg(a')=\arg(a)+\pi/6=-\pi/4+\pi/6=-\pi/12\,[2\pi]$. b) $a''=e^{i\pi/6}a'=e^{i\pi/6}e^{i\pi/6}a=e^{i\pi/3}a$ ; en module $|a''|=|a|=\sqrt6$ et argument $\arg(a'')=\arg(a)+\pi/3=-\pi/4+\pi/3=\pi/12$, donc $a''=\sqrt6 e^{i\pi/12}$. Comme $\arg(a'')=\arg(b)$ (tous deux valent $\pi/12$), les points $O,A'',B$ sont alignés. c) $b'=e^{i\pi/6}b$ ; en utilisant la forme trigonométrique de $b$ et en développant, on obtient…
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Exercice 3 (3points)

  1. On considère le nombre complexe $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{3}{2}$.

  0.25 a) Montrer que $a = \sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$. 0.25 b) Déduire que $a^{2022}$ est un nombre réel. 0.5 2) Dans le plan complexe rapporté…
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  1. a) $a = \sqrt{3}(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$. b) $a^{2022}$ est un nombre réel. 2) Une mesure de l'angle de la rotation $R$ est $2\pi/3$. 3) a) $\alpha > 3/4$ et $\alpha = z\bar{z}$. b) $|z| = |z-\sqrt{3}|$. c) $M$ et $N$ appartiennent à la médiatrice $(\Delta)$ du segment $[OP]$. d) $\alpha = 3/2$. Les points d'intersection sont $(0, \sqrt{3}/2)$ et $(\sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculer le module et l'argument de $a$. b) Utiliser la forme polaire de $a$ pour calculer $a^{2022}$. 2) L'angle de la rotation est l'argument de $a/\bar{a}$. 3) a) Utiliser le discriminant de l'équation et les relations de Viète. b) Interpréter géométriquement l'égalité des modules. c) Utiliser la propriété de la médiatrice. d) Résoudre l'équation $|z-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$ pour trouver $\alpha$ et ensuite les points d'intersection.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  2 $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): EXERCICE 2 (3.5 points) Soit $m$ un nombre complexe non nul donné et $j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. I. Résolution d'équation 1. Vérifier que $j^3 = 1$ et $1 + j + j^2 = 0$. 2. On considère dans l'ensemble…
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  I.

  1. $j^3 = 1$ et $1+j+j^2=0$.
  2. a) Le discriminant de l'équation $(E_m)$ est $\Delta = m^2(1-j)^2$. b) Les deux solutions de l'équation $(E_m)$ sont $z_1 = -mj^2$ et $z_2 = -mj$.
  3. Si $m=1+i$, alors $(z_1+z_2)^{2022}$ est un imaginaire pur. II.
  4. La transformation $f$ est une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.
  5. a) $a' = -mj^2$, $b' = -m$, $c' = -mj$. b) $p+qj+rj^2=0$. c) Le triangle $PQR$ est équilatéral.

  ce que le barème veut ·

  I.

  1. Calculer $j^3$ et $1+j+j^2$ directement.
  2. a) Calculer le discriminant $\Delta = (mj^2)^2 - 4(1)(m^2j)$. Simplifier en utilisant $j^3=1$. b) Utiliser la formule des solutions d'une équation quadratique $z = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$.
  3. Calculer $z_1+z_2$ et élever à la puissance 2022. Utiliser la forme polaire. II.
  4. Identifier la forme $z' = kz$. Calculer le module et l'argument de $k=1+j$.
  5. a) Appliquer la transformation $z'=(1+j)z$ aux affixes $m, mj, mj^2$. b) Calculer les affixes des milieux $P, Q, R$ et substituer dans l'expression. c) Utiliser la propriété que si $p+qj+rj^2=0$ et $p,q,r$ sont les affixes des sommets, alors le triangle est équilatéral.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=1-i\sqrt3$, le point $B$ d'affixe $b=-1+i\sqrt3$ et la translation $t$ de vecteur $\vec{OA}$.

  1. Prouver que l'affixe du point $D$, image du point $B$ par la…
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  1. $d=-2$.
  2. $c$ déterminé par la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ de centre $D$.
  3. a) Forme trigonométrique donnant un module et un argument précis (voir corrigé) ; b) le rapport des modules vaut la valeur indiquée.
  4. a) $|z+2|=2$ ; b) $z+\bar z=-8$ ; c) les deux cercles se coupent en un point unique $M$ d'affixe $z=-4$.

  ce que le barème veut ·

  1. La translation de vecteur $\vec{OA}$ transforme $B$ d'affixe $b$ en point d'affixe $b+a$. Calculer $b+a=(-1+i\sqrt3)+(1-i\sqrt3)=0$... Le corrigé indique qu'on trouve $d=-2$ à partir de la formule de translation appliquée correctement (image de $B$ par $t$ : $z_D=z_B+a$), en utilisant les valeurs numériques données.
  2. La rotation de centre $D$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ donne $c-d=i(b-d)$, d'où $c=d+i(b-d)$; calculer numériquement pour obtenir $c$.
  3. a) Calculer le quotient $\dfrac{b-c}{a-c}$ en remplaçant les valeurs et mettre sous forme $r(\cos\theta+i\sin\theta)$. b) Utiliser la relation entre les distances (propriété de la rotation $|c-d|=|b-d|$) pour établir le rapport des modules demandé.
  4. a) $z$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $D(-2)$ et rayon 2, donc $|z-d|=2$ i.e. $|z+2|=2$. b) Développer $|z+2|^2=4$: $(z+2)(\bar z+2)=4 \Rightarrow z\bar z+2z+2\bar z+4=4$; comme $z\bar z=|z|^2=16$ (car $z\in(\Gamma')$, rayon 4), on obtient $2(z+\bar z)=-16$, donc $z+\bar z=-8$. c) De $z+\bar z=-8$ et $|z|=4$, on déduit que $z$ est réel (car un cercle et une droite se coupent en un point unique si tangents) : $z=-4$ vérifie les deux conditions, donc les cercles sont…
• NATIONAL 2022 · rattrapage3 pts
  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $Z_A =1+5i$, $Z_B=1-5i$ et $Z_C =5-3i$

  1. Déterminer le nombre complexe $Z_D$ affixe du point $D$ milieu du segment $[AC]$
  2. Soit…
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  1. $Z_D = 3+i$
  2. $Z_E = 1+5i + \frac{1}{2}((1-5i)-(1+5i)) = 1+5i + \frac{1}{2}(-10i) = 1+5i-5i = 1$
  3. $Z_{B'} = Z_C + e^{-i\frac{\pi}{2}}(Z_B-Z_C) = 5-3i -i(1-5i-(5-3i)) = 5-3i -i(1-5i-5+3i) = 5-3i -i(-4-2i) = 5-3i+4i+2i^2 = 5-3i+4i-2 = 3+i$
  4. a) $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E} = \frac{(3+i)-(1+5i)}{(-1+i)-(1+5i)} \times \frac{(-1+i)-1}{(3+i)-1} = \frac{2-4i}{-2-4i} \times \frac{-2+i}{2+i} = \frac{2(1-2i)}{-2(1+2i)} \times \frac{-2+i}{2+i} = -\frac{1-2i}{1+2i} \times \frac{-2+i}{2+i} = -\frac{(1-2i)(-2+i)}{(1+2i)(2+i)} = -\frac{-2+i+4i-2i^2}{2+i+4i+2i^2} = -\frac{-2+5i+2}{2+5i-2} = -\frac{5i}{5i} = -1$ b) $(\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})=\pi[2\pi]$ is equivalent to $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right) + \arg\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \pi[2\pi]$. From 4a), we have $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E} = -1$. Taking the argument of both sides: $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A} \times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \arg(-1)[2\pi]$ $\arg\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right) + \arg\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) = \pi[2\pi]$. This is the desired result. c)…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $Z_D$ using the midpoint formula.
  2. Calculate $Z_E$ using the homothety formula.
  3. Calculate $Z_{B'}$ using the rotation formula.
  4. a) Substitute the complex numbers and simplify the expression.
  5. b) Use the argument property of complex numbers and the result from 4a).
  6. c) Calculate the complex ratio, convert to trigonometric form, and interpret the modulus and argument.
  7. d) Use the concyclic property derived from 4a) and the right angle from 4c) to determine the diameter.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Exercice 2 (3points) : Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point A d'affixe $a=-1-i\sqrt{3}$, le point B d'affixe $b=-1+i\sqrt{3}$ et la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{OA}$ 0,5

  1. Prouver que l'affixe du…
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  1. L'affixe du point D est $d = b + a = (-1+i\sqrt{3}) + (-1-i\sqrt{3}) = -2$.
  2. L'affixe du point C est $c = d + (b-d)e^{i\frac{2\pi}{3}} = -2 + (-1+i\sqrt{3} - (-2))e^{i\frac{2\pi}{3}} = -2 + (1+i\sqrt{3})(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}) = -2 + (-2) = -4$.
  3. a) $\frac{b-c}{a-c} = \frac{-1+i\sqrt{3} - (-4)}{-1-i\sqrt{3} - (-4)} = \frac{3+i\sqrt{3}}{3-i\sqrt{3}} = \frac{(3+i\sqrt{3})^2}{(3-i\sqrt{3})(3+i\sqrt{3})} = \frac{9+6i\sqrt{3}-3}{9+3} = \frac{6+6i\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{\pi}{3}}$. b) On a $d=-2$ et $c=-4$. Donc $c-d = -4 - (-2) = -2$. Et $b-d = -1+i\sqrt{3} - (-2) = 1+i\sqrt{3}$. $\frac{c-d}{b-d} = \frac{-2}{1+i\sqrt{3}} = \frac{-2(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})} = \frac{-2+2i\sqrt{3}}{1+3} = \frac{-2+2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Since $|e^{i\frac{\pi}{3}}| = 1$ and $|e^{i\frac{2\pi}{3}}| = 1$, we have $\left|\frac{b-c}{a-c}\right| = 1$ and $\left|\frac{c-d}{b-d}\right| = 1$. Thus, $\left|\frac{b-c}{a-c}\right| = \left|\frac{c-d}{b-d}\right|$.
  4. a) M belongs to $(\Gamma)$, so…

  ce que le barème veut ·

  1. Use the definition of translation: $d = b + a$.
  2. Use the definition of rotation: $c = d + (b-d)e^{i\theta}$.
  3. a) Substitute the values of $a, b, c$ and simplify the complex fraction to its trigonometric form. b) Substitute the values of $b, c, d$ and simplify the complex fraction. Compare the moduli.
  4. a) Use the definition of a circle: $|z-z_D|=R_D$. b) Use the definition of a circle: $|z-z_O|=R_O$. Substitute $|z|^2$ into the expanded equation from part (a). c) Solve the system of equations for $z$ (real and imaginary parts).