Nombres complexesSM-A · SM-B

Résoudre zⁿ = a

n

solutions, régulièrement espacées de

\dfrac{2\pi}{n}

sur un cercle de rayon

|a|^{1/n}

.

La méthode attendue

1Écrire a sous forme exponentielle : a = r·e^(iθ).
2Les solutions sont z_k = r^(1/n)·e^(i(θ + 2kπ)/n), pour k de 0 à n − 1.
3Vérifier qu'on en a bien n, toutes distinctes.

Le piège

Oublier le terme 2kπ. Sans lui on ne trouve qu'une racine sur les n, et le barème compte les n.S'entraîner sur cette méthode

À tenir avant

Passer à la forme trigonométrique ou exponentielle

Cette méthode au national

Questions de type Bac qui demandent cette méthode.

TYPE BAC3 pts
Calculer $(1 + i)^{8}$ . Donner le résultat sous forme algébrique.
la correction
1 + i = racine(2) e^(i pi/4). Donc (1+i)^8 = (racine(2))^8 e^(i 8 pi/4) = 16 e^(i 2 pi) = 16 (cos(2pi) + i sin(2pi)) = 16. Donc (1+i)^8 = 16.
ce que le barème veut · Passer à la forme exponentielle z = r e^(i theta), appliquer la formule de Moivre z^n = r^n e^(i n theta), puis revenir à la forme algébrique.

Tu veux vérifier que tu le tiens vraiment ?

Une séance : tu regardes, tu manipules, tu écris l'étape, on la corrige au barème.

Faire la séance

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