Dénombrement et probabilités

L'intuition

Imagine que tu dois choisir des camarades pour un travail de groupe. Si tu dois former une équipe de 3 personnes parmi 10, l'ordre dans lequel tu les choisis n'a pas d'importance. Que tu prennes Ali, puis Fatima, puis Omar, ou Omar, puis Ali, puis Fatima, c'est la même équipe. C'est ce qu'on appelle une combinaison.

Maintenant, si tu dois désigner un chef, un secrétaire et un trésorier parmi ces 10 personnes, l'ordre des choix devient crucial. Ali chef, Fatima secrétaire, Omar trésorier, ce n'est pas la même chose qu'Omar chef, Ali secrétaire, Fatima trésorier. C'est un arrangement.

En probabilités, c'est la même logique. Pour calculer la chance qu'un événement se produise, tu dois d'abord savoir combien de possibilités il y a en tout, et combien de ces possibilités correspondent à ton événement. Le dénombrement, c'est l'art de compter ces possibilités. C'est la base pour tout calcul de probabilité.

Le cours

I. Dénombrement

Le dénombrement est l'ensemble des techniques permettant de compter le nombre de façons d'organiser ou de choisir des éléments dans un ensemble.

1. Principe fondamental du dénombrement

Si une tâche peut être accomplie de $n_1$ façons, et une deuxième tâche de $n_2$ façons, ..., et une $k$-ième tâche de $n_k$ façons, alors le nombre total de façons d'accomplir toutes les tâches est le produit $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$.

2. Arrangements

Un arrangement est une sélection ordonnée de $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments est important et les répétitions ne sont pas permises.

Définition: Le nombre d'arrangements de $k$ éléments parmi $n$ est noté $A_n^k$ et est donné par la formule:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

où $n!$ (factorielle $n$) est le produit de tous les entiers positifs de 1 à $n$. Par convention, $0! = 1$.

Exemple: Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former avec les lettres A, B, C, D, E ? Ici, $n=5$ (nombre de lettres disponibles) et $k=3$ (longueur du mot). L'ordre compte (ABC est différent de ACB) et les lettres sont distinctes.

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

3. Permutations

Une permutation est un arrangement de tous les $n$ éléments d'un ensemble. C'est un cas particulier d'arrangement où $k=n$.

Définition: Le nombre de permutations de $n$ éléments est noté $P_n$ ou $n!$ et est donné par la formule:

$P_n = n!$

Exemple: Combien de façons y a-t-il d'ordonner 4 livres différents sur une étagère ? Ici, $n=4$. L'ordre compte et tous les éléments sont utilisés.

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

4. Combinaisons

Une combinaison est une sélection non ordonnée de $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments n'est pas important et les répétitions ne sont pas permises.

Définition: Le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ est noté $C_n^k$ ou $\binom{n}{k}$ et est donné par la formule:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Propriétés importantes des combinaisons:

• $C_n^k = C_n^{n-k}$
• $C_n^0 = 1$
• $C_n^n = 1$
• $C_n^1 = n$
• Formule de Pascal: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

Exemple: Combien de façons y a-t-il de choisir 3 étudiants parmi un groupe de 10 pour former un comité ? Ici, $n=10$ et $k=3$. L'ordre ne compte pas (le comité {Ali, Fatima, Omar} est le même que {Fatima, Omar, Ali}).

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

5. Arrangements avec répétition

C'est une sélection ordonnée de $k$ éléments parmi $n$ avec possibilité de répéter les éléments.

Définition: Le nombre d'arrangements avec répétition de $k$ éléments parmi $n$ est $n^k$.

Exemple: Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on former ? Ici, $n=10$ (chiffres de 0 à 9) et $k=4$. L'ordre compte et les chiffres peuvent être répétés.

$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$

6. Combinaisons avec répétition (hors programme officiel 2BAC SM)

Cette notion n'est généralement pas au programme officiel du 2ème Bac SM au Maroc. Concentre-toi sur les arrangements, permutations et combinaisons sans répétition.

II. Probabilités

1. Vocabulaire des probabilités

• Expérience aléatoire: Une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude (ex: lancer un dé, tirer une boule d'une urne).
• Univers ($\Omega$): L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• Événement: Un sous-ensemble de l'univers.
• Événement élémentaire: Un événement qui ne contient qu'un seul résultat possible.
• Événement certain: L'univers lui-même. Sa probabilité est 1.
• Événement impossible: L'ensemble vide ($\emptyset$). Sa probabilité est 0.
• Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs): Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps.
• Événement contraire ($\bar{A}$ ou $A^c$): L'ensemble de tous les résultats de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

2. Calcul des probabilités

Dans le cas d'une expérience aléatoire où tous les événements élémentaires sont équiprobables (chaque résultat a la même chance de se produire), la probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule de Laplace:

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}}$

Propriétés:

• $0 \le P(A) \le 1$
• $P(\Omega) = 1$
• $P(\emptyset) = 0$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

3. Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est la probabilité que l'événement $A$ se réalise, sachant que l'événement $B$ est déjà réalisé.

Définition: Si $P(B) \neq 0$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $P(A|B)$ et est donnée par:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

De cette définition, on tire la formule de la probabilité de l'intersection:

$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$

Et de manière symétrique, si $P(A) \neq 0$:

$P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$

Exemple: On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Soit $A$ l'événement "la carte est un as" et $B$ l'événement "la carte est rouge". $P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$. $P(B) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$. $A \cap B$ est l'événement "la carte est un as rouge". Il y a 2 as rouges (as de cœur, as de carreau). $P(A \cap B) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/16}{1/2} = \frac{1}{8}$. Cela signifie que si tu sais que la carte est rouge, la probabilité que ce soit un as est $1/8$.

4. Formule des probabilités totales

Soit $(B_1, B_2, \dots, B_n)$ un système complet d'événements (c'est-à-dire que les $B_i$ sont deux à deux incompatibles et leur union est l'univers $\Omega$). Alors, pour tout événement $A$:

$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \dots + P(A \cap B_n)$

En utilisant la définition de la probabilité conditionnelle, on peut écrire:

$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \dots + P(A|B_n)P(B_n)$

Cette formule est très utile quand l'événement $A$ dépend de plusieurs étapes ou de différentes situations initiales.

5. Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre.

Définition: $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Si $P(B) \neq 0$, cette condition est équivalente à $P(A|B) = P(A)$. Si $P(A) \neq 0$, cette condition est équivalente à $P(B|A) = P(B)$.

Attention: Ne confonds pas événements indépendants et événements incompatibles.

• Indépendants: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. Ils peuvent se produire en même temps.
• Incompatibles: $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps. Si $A$ et $B$ sont incompatibles et $P(A) \neq 0$, $P(B) \neq 0$, alors ils ne sont pas indépendants.

6. Formule de Bayes

La formule de Bayes permet de calculer une probabilité conditionnelle "inverse". Si tu connais $P(A|B)$, elle te permet de trouver $P(B|A)$.

Définition: Si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$:

$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

En utilisant la formule des probabilités totales pour $P(A)$, on peut l'écrire:

$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}$

où $(B_1, B_2, \dots, B_n)$ est un système complet d'événements.

III. Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire.

1. Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire $X$ est discrète si l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable.

• Loi de probabilité: C'est l'ensemble des valeurs $x_i$ que peut prendre $X$ et des probabilités $P(X=x_i)$ associées. On la présente souvent sous forme de tableau. $\sum P(X=x_i) = 1$

• Espérance mathématique ($E(X)$): C'est la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois. $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$

• Variance ($V(X)$): Mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de l'espérance. $V(X) = E((X-E(X))^2) = \sum (x_i - E(X))^2 P(X=x_i) = E(X^2) - (E(X))^2$

• Écart-type ($\sigma(X)$): Racine carrée de la variance. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

2. Loi binomiale

Une loi binomiale modélise le nombre de succès dans une séquence de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques. Une épreuve de Bernoulli est une expérience avec seulement deux issues possibles: succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$).

Définition: Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès), notée $B(n, p)$, alors la probabilité d'obtenir $k$ succès est:

$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

pour $k \in \{0, 1, \dots, n\}$.

• Espérance: $E(X) = np$
• Variance: $V(X) = np(1-p)$

Exemple: On lance une pièce équilibrée 10 fois. Soit $X$ le nombre de "pile" obtenus. $X$ suit une loi $B(10, 0.5)$. La probabilité d'obtenir 3 "pile" est $P(X=3) = C_{10}^3 (0.5)^3 (0.5)^7$.

IV. Arbres de probabilité

Les arbres de probabilité sont des outils visuels très utiles pour représenter les différentes étapes d'une expérience aléatoire et calculer les probabilités associées.

• Chaque branche représente un événement.
• La probabilité de l'événement est écrite sur la branche.
• La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud doit être 1.
• Pour obtenir la probabilité d'un chemin (séquence d'événements), on multiplie les probabilités le long des branches de ce chemin.
• Pour obtenir la probabilité d'un événement final qui peut être atteint par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.

U1 (5 boules: 3R, 2B) -> U2 (6 boules: 2R, 4B)

Début
├── R1 (prob 3/5)
│   └── (U2 contient 3R, 4B)
│       ├── R2 (prob 3/7)
│       └── B2 (prob 4/7)
└── B1 (prob 2/5)
    └── (U2 contient 2R, 4B)
        ├── R2 (prob 2/6 = 1/3)
        └── B2 (prob 4/6 = 2/3)

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale:

EXERCICE 1 : (3pts) On a deux boîtes $U$ et $V$. La boîte $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. La boîte $V$ contient 2 boules rouges et 4 boules bleues. On considère l'épreuve suivante : On tire au hasard une boule de la boîte $U$. Si elle est rouge, on la remet dans la boîte $V$ puis on tire au hasard une boule de la boîte $V$ ; si elle est bleue on la pose de côté puis on tire une boule de la boîte $V$. Soient les événements suivants :

• $R_1$ : « La boule tirée de la boîte $U$ est rouge »
• $B_1$ : « La boule tirée de la boîte $U$ est bleue »
• $R_2$ : « La boule tirée de la boîte $V$ est rouge »
• $B_2$ : « La boule tirée de la boîte $V$ est bleue »

1. Calculer la probabilité de chacun des deux événements $R_1$ et $B_1$. 2.a) Calculer la probabilité de l'événement $B_2$ sachant que l'événement $R_1$ est réalisé. 2.b) Calculer la probabilité de l'événement $B_2$ sachant que l'événement $B_1$ est réalisé. 3. Montrer que la probabilité de l'événement $B_2$ est : $P(B_2) = \frac{31}{56}$. 4. En déduire la probabilité de l'événement $R_2$.

1. 1

   1. Calculer $P(R_1)$ et $P(B_1)$

2. 2

   2.a) Calculer $P(B_2|R_1)$

3. 3

   2.b) Calculer $P(B_2|B_1)$

4. 4

   3. Montrer que $P(B_2) = \frac{31}{56}$

5. 5

   4. En déduire $P(R_2)$

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les exercices de dénombrement et probabilités:

1. Comprendre l'expérience:

   • Lis attentivement l'énoncé.
   • Identifie la nature des tirages ou des choix:
     • Avec ou sans remise ? (Répétition possible ou non ?)
     • Ordre important ou non ? (Arrangement/Permutation ou Combinaison ?)
   • Dessine un arbre de probabilité si l'expérience se déroule en plusieurs étapes.

2. Dénombrer l'univers ($\Omega$):

   • Calcule le nombre total de cas possibles. C'est souvent la première étape pour appliquer la formule de Laplace.
   • Utilise les formules de dénombrement appropriées ($A_n^k$, $P_n$, $C_n^k$, $n^k$).

3. Dénombrer les cas favorables:

   • Pour chaque événement dont tu dois calculer la probabilité, détermine le nombre de résultats qui le réalisent.

4. Calculer les probabilités:

   • Si équiprobabilité: $P(A) = \frac{\text{Cas favorables}}{\text{Cas possibles}}$.
   • Si probabilités conditionnelles: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
   • Si plusieurs étapes: utilise la formule des probabilités totales ou multiplie les probabilités le long des branches de l'arbre.

5. Vérifier la cohérence:

   • Les probabilités doivent toujours être entre 0 et 1.
   • La somme des probabilités des événements élémentaires doit être 1.
   • Si tu utilises un arbre, la somme des probabilités des chemins finaux doit être 1.

Pièges classiques

• Confusion entre arrangement et combinaison: C'est l'erreur la plus fréquente. Demande-toi toujours si l'ordre des éléments est important.
  • Si l'ordre compte (ex: mots de passe, podium, numéros de téléphone), c'est un arrangement ou une permutation.
  • Si l'ordre ne compte pas (ex: équipe de sport, comité, tirage de loto), c'est une combinaison.
• Oublier la distinction avec/sans remise: Si les éléments sont remis après tirage, les répétitions sont possibles ($n^k$ pour les arrangements avec répétition). Si non, les éléments sont distincts.
• Erreur dans le calcul de la factorielle: $n!$ croît très vite. $0! = 1$.
• Mauvaise application de la formule des probabilités totales: Assure-toi que les événements qui forment le système complet sont bien deux à deux incompatibles et que leur union est l'univers.
• Confusion indépendance/incompatibilité: Deux événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants (sauf si l'un est impossible).
• Erreurs de calcul avec les fractions: Simplifie au fur et à mesure pour éviter les grosses erreurs.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre de probabilités représente environ 15% de la note totale de l'examen national. Les questions sont généralement structurées en un exercice indépendant de 3 à 4 points.

Formats de questions réels:

• Calcul de probabilités simples: Utilisation du dénombrement (combinaisons, arrangements) pour calculer $P(A)$ dans des situations d'équiprobabilité (tirage de boules, cartes, etc.).
  • Exemple: "Calculer la probabilité de tirer 3 boules de même couleur."
• Probabilités conditionnelles et formule des probabilités totales: Exercices avec des urnes, des tirages successifs, des événements dépendants. Souvent, un arbre de probabilité est implicitement attendu pour organiser la résolution.
  • Exemple: L'exercice résolu ci-dessus est un exemple typique.
• Indépendance d'événements: Vérifier si deux événements sont indépendants.
  • Exemple: "Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?"
• Variables aléatoires discrètes: Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire, calculer son espérance et sa variance.
  • Exemple: "Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer $E(X)$."
• Loi binomiale: Identification d'une situation de loi binomiale et calcul de probabilités associées.
  • Exemple: "On répète 5 fois l'expérience précédente. Soit $Y$ le nombre de fois où l'événement $A$ se réalise. Calculer $P(Y=2)$." (Voir l'extrait d'annale 2017)
• Fréquence d'apparition: Parfois, la variable aléatoire est la fréquence d'apparition d'un événement, ce qui est lié à la loi binomiale.
  • Exemple: "On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie... On désigne par $X$ la variable aléatoire égale à la fréquence d'apparition de la face « pile »." (Extrait d'annale 2018)

Attendus de correction:

• Clarté de la rédaction: Chaque étape doit être justifiée.
• Définition des événements: Toujours définir clairement les événements que tu utilises ($R_1$, $B_2$, etc.).
• Formules: Écrire les formules utilisées (ex: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$).
• Calculs détaillés: Ne saute pas les étapes de calcul, surtout pour les fractions.
• Résultats finaux: Encadre ou souligne tes résultats.

La clé est la rigueur et la méthode. Entraîne-toi régulièrement avec les annales pour maîtriser les différents types d'exercices.