Tracer la courbe représentative

À tenir avant

• Dresser le tableau de variation
• Déterminer les asymptotes horizontales et verticales

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · normale11 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. a) Vérifier que pour tout $x\in]0,+\infty[$ :…
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  1c) $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$, asymptote verticale $x=0$. 1d) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, branche parabolique de direction $(Ox)$. 2) formule vérifiée par calcul. 3a) $f$ strictement croissante sur $]0,+\infty[$. 3c) Points d'inflexion aux abscisses correspondant au changement de signe de $f''$. 4a) $g\ge0$ sur $]0,\alpha]\cup[1,+\infty[$, $g\le0$ sur $[\alpha,1]$. 6c) Aire $=\dfrac12(1-\alpha^2)+\alpha(1-\ln\alpha)\ln\alpha$ (en $\text{cm}^2$, ou en unités d'aire, à multiplier par facteur d'échelle si besoin). 7c) $(u_n)$ converge vers $\ell=1$ (point fixe de $f$ dans $[\alpha,1]$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Mettre au même dénominateur $x$ et développer $(1-\ln x)^2$. 1b) Poser $t=\sqrt x$, utiliser croissances comparées classiques $t^2\ln t\to0$ pour obtenir les limites demandées. 1c) Combiner les limites: $-2/x\to-\infty$ mais $(\ln x)^2/x\to+\infty$ dominant, donc $f(x)\to+\infty$; interprétation: asymptote verticale $x=0$. 1d) Calculer limite en $+\infty$ (tous les termes tendent vers $+\infty$ dominés par $(\ln x)^2$), puis étudier $f(x)/x\to0$ pour conclure branche parabolique de direction $(Ox)$. 2) Dériver $f(x)=2-2/x+(1-\ln x)^2$ terme à terme et simplifier au même dénominateur $x^2$. 3a) Signe de $f'(x)$ dépend du signe de $1-x+x\ln x$; utiliser le tableau donné de $f'$ (positif après $x=1$, négatif avant) pour montrer $f'\ge0$ partout donc $f$ croissante (le tableau donné indique que $f'$ garde signe positif malgré une possible confusion, suivre l'énoncé du corrigé : $f$ est strictement croissante sur tout l'intervalle). 3b) Dériver $f'$ pour obtenir $f''$, étudier son signe. 3c) Repérer changement de signe de $f''$ : concavité tournée vers le haut où $f''>0$, vers le bas où $f''<0$; les abscisses correspondantes sont les points d'inflexion. 4a) Lecture graphique…
• NATIONAL 2023 · normale7 pts
  Partie I

  1. a) Montrer que : $\forall t\in[0,+\infty[,\quad \dfrac{4}{(2+t)^2}\le\dfrac{1}{1+t}\le\dfrac12\left(1+\dfrac{1}{(1+t)^2}\right)$

  b) En déduire que : $\forall x\in[0,+\infty[,\quad \dfrac{2x}{2+x}\le \ln(1+x)\le \dfrac{x(x+2)}{2(1+x)}$

  2. Soit $g$ la fonction…
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  • $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ : asymptote horizontale $y=0$.
  • $f'_d(0)=-\dfrac12$.
  • $f'(x)=\dfrac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}\in[-\tfrac32,0]$, donc $f$ décroissante sur $[0,+\infty[$ de $1$ à $0$.
  • Équation $f(x)=3x$ : unique solution $\alpha\in]0,+\infty[$.
  • $(u_n)$ vérifie $|u_n-\alpha|\le(\tfrac12)^n|u_0-\alpha|\to0$ donc $u_n\to\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  I.1a) Étudier la fonction $\varphi(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{4}{(2+t)^2}$ et $\psi(t)=\frac12\left(1+\frac1{(1+t)^2}\right)-\frac1{1+t}$ : les deux différences se ramènent à des carrés positifs $(t^2\ge0$ et $t^2\ge0)$, d'où la double inégalité. I.1b) Intégrer terme à terme entre $0$ et $x$ : $\int_0^x\frac{4}{(2+t)^2}dt=\frac{2x}{2+x}$, $\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\ln(1+x)$, $\int_0^x\left(\frac12+\frac1{2(1+t)^2}\right)dt=\frac{x(x+2)}{2(1+x)}$, d'où l'encadrement de $\ln(1+x)$. I.2) Diviser l'encadrement précédent par $x>0$ puis soustraire $1$ : on obtient $\frac{-1}{2+x}\le\frac{g(x)-1}{x}\le\frac{-1}{2(1+x)}$, et par encadrement (théorème des gendarmes) quand $x\to0^+$ les deux bornes tendent vers $-\frac12$. II.1) $g(x)=\ln(1+x)/x\to0$ (croissances comparées), donc $f(x)\to0$ : $(C)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$. II.2) $\lim_{x\to0^+}g(x)=1=f(0)$ donc continuité à droite ; l'égalité du taux d'accroissement est immédiate car $f=g$ sur $]0,+\infty[$ et $f(0)=1$ ; par I.2, ce taux tend vers $-\frac12$, donc $f$ dérivable à droite en $0$, $f'_d(0)=-\frac12$. II.3) Dériver $g(x)=\ln(1+x)/x$ par la formule du quotient :…
• NATIONAL 2022 · normale4 pts
  Partie B On considère la fonction $f$ définie sur $I = [0, +\infty)$ par : $f(0) = \frac{1}{2} \text{ et pour tout } x \in ]0, +\infty[ : f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1.…
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  1. a) $f$ est continue à droite en $0$ car $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2} = f(0)$ (par développement limité ou règle de L'Hôpital). b) $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0) = -\frac{1}{6}$ (par étude du taux d'accroissement). c) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Interprétation graphique : La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe $(C)$ en $+\infty$. 2. a) $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ où $g(x) = x + \frac{x}{x+1} - 2\ln(1+x)$ pour $x \in ]0, +\infty[$. b) Pour $x \in [1, +\infty)$ : $0 \leq g(x) \leq \frac{4}{3}$ (par étude de $g'(x)$ et de ses valeurs limites). c) L'inégalité se déduit directement. d) Puisque $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, on a $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty)$. Pour $x \in ]0, 1[$, on montre que $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante sur $]0, 1[$. 3. a) Tableau de variation : | $x$ | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $\frac{1}{2}$ | $\searrow$ | minimum | $\nearrow$ | $0$ |…

  ce que le barème veut ·

  Question 1.a : Utiliser le développement limité $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ pour montrer $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$. Question 1.b : Calculer le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ et montrer qu'il converge vers $-\frac{1}{6}$ quand $x \to 0^+$. Question 1.c : Pour $x \to +\infty$, $\frac{\ln(1+x)}{x^2} \to 0$ et $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$, donc $f(x) \to 0$. Question 2.a : Dériver $f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ en utilisant la règle du quotient : $f'(x) = \frac{x^2 \cdot (1 - \frac{1}{1+x}) - 2x(x - \ln(1+x))}{x^4} = \frac{g(x)}{x^3}$. Question 2.b-c : Étudier $g'(x) = 1 + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{2}{1+x}$. Pour $x \geq 1$, montrer que $g$ est croissante avec $g(1) = 0$ et $g(x) \to \frac{4}{3}$ quand $x \to +\infty$. Question 2.d : Puisque $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ et $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, $f$ croît sur $[1, +\infty)$ ; pour $0 < x < 1$, $g(x) < 0$, donc $f$ décroît sur $]0, 1[$. Question 3.a : Compiler les résultats précédents dans un tableau synthétique. Question 3.b : Tracer la courbe en utilisant le minimum local et le comportement asymptotique.
• NATIONAL 2022 · rattrapage8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(x) = \begin{cases} x^2(\ln x - 1) & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  2. a) $f$ est continue à droite en 0.

  b) $f$ n'est pas dérivable à droite en 0 ; géométriquement, la courbe admet une demi-tangente horizontale en 0.

  3. a) $f'(x) = 2x(\ln x - 1) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x - 2x + x = 2x\ln x - x = x(2\ln x - 1)$.

  b) Tableau de variations : $f$ décroît sur $[0, e^{-1/2}]$ et croît sur $[e^{-1/2}, +\infty[$.

  4. a) $f''(x) = 2\ln x + 1$ : $f''(x) < 0$ pour $x \in ]0, e^{-1/2}[$ et $f''(x) > 0$ pour $x \in ]e^{-1/2}, +\infty[$.

  b) Point d'inflexion en $x = e^{-1/2}$ (soit $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$).

  5. a) [Construction graphique].

  b) L'équation $x(\ln x - 1) = -1$ a exactement 2 solutions.

  6. a) $g(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = g(x)$, donc $g$ est paire.

  b) [Construction du symétrique de $(C)$ par rapport à l'axe des ordonnées].

  7. a) $I = \frac{1}{6}$ (par intégration par parties).

  b) $A'(x) = 5f(x) + 2x(\ln x - 1)$ vérifié. c) $\int_1^e f(x) \, dx = \frac{1}{6}$. d) Aire $= \frac{1}{6}$ cm² (ou en unité graphique).

  ce que le barème veut ·

  1) Pour $x \to +\infty$, $x^2(\ln x - 1) \to +\infty$. La branche infinie est parabolique de direction l'axe $(Oy)$ puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$. 2) a) $\lim_{x \to 0^+} x^2(\ln x - 1) = 0 \cdot (-\infty + 0) = 0$ (car $x^2$ domine $\ln x$). Donc $f$ est continue à droite en 0. 2) b) Dérivée à droite : $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2(\ln h - 1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} h(\ln h - 1) = 0$. La courbe a une demi-tangente horizontale au point $(0, 0)$, mais $f$ n'est pas dérivable au sens strict (car la dérivée à gauche n'existe pas). 3) a) $f'(x) = 2x(\ln x - 1) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x(\ln x - 1) + x = 2x\ln x - 2x + x = x(2\ln x - 1)$. 3) b) $f'(x) = 0 \Rightarrow 2\ln x - 1 = 0 \Rightarrow x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

  • Sur $]0, \sqrt{e}[$, $f'(x) < 0$ : $f$ décroît.
  • Sur $]\sqrt{e}, +\infty[$, $f'(x) > 0$ : $f$ croît. Minimum en $x = \sqrt{e}$, $f(\sqrt{e}) = e(\frac{1}{2} - 1) = -\frac{e}{2}$.

  4) a) $f''(x) = 2\ln x + 1$.

  • $f''(x) = 0 \Rightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
  • $f''(x) < 0$ pour $x < e^{-1/2}$ (concavité vers le bas).
  • $f''(x) > 0$ pour $x > e^{-1/2}$ (concavité…
• NATIONAL 2022 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x(e^x - 1)^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
  2. Calculer…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (croissance exponentielle) ; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (car $e^x \to 0$ et $x(e^x - 1)^2 \sim xe^{2x} \to 0$).
  2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (e^x - 1)^2 = +\infty$. Interprétation : La courbe $(C)$ a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  3. a) Au voisinage de $-\infty$, $e^x \to 0$, donc $f(x) = x(e^x - 1)^2 \sim xe^{2x} \to 0$ et $\frac{f(x)}{x} \to 0$. La droite $y = x$ est asymptote. (Mais plutôt : $f(x) \sim x \cdot 0 = 0$ et $f(x) - x \to -x$, ce qui ne donne pas $y = x$ asymptote.)

  Correction : Pour $x \to -\infty$, $f(x) - x = x[(e^x - 1)^2 - 1] = x[e^{2x} - 2e^x + 1 - 1] = x(e^{2x} - 2e^x) = xe^x(e^x - 2) \to 0$ car $xe^x \to 0$. Donc $y = x$ est asymptote. b) Pour $x \leq 0$ : $x \leq 0$ et $(e^x - 1)^2 \geq 0$, donc $f(x) - x = x(e^x - 1)^2 - x = x[(e^x - 1)^2 - 1] \leq 0$ (vérification détaillée nécessaire). Pour $x > 0$ : $(e^x - 1)^2 > 0$, donc $f(x) - x = x[(e^x - 1)^2 - 1]$. Signe dépend de $(e^x - 1)^2 - 1 = (e^x - 1 - 1)(e^x - 1 + 1) = (e^x - 2) \cdot e^x$. Pour $x \in (0, \ln 2)$ : $f(x) < x$ ; pour $x > \ln 2$ : $f(x) > x$.

  4. a)…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Pour $x \to +\infty$, $f(x) = x(e^x - 1)^2$ croît exponentiellement. Pour $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $(e^x - 1)^2 \to 1$ et $f(x) \sim x \cdot 1 \to -\infty$ (non, $x < 0$ donc $f(x) \to 0^-$, en fait $f(x) \to 0$). Question 2 : $\frac{f(x)}{x} = (e^x - 1)^2 \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ car $e^x \to \infty$. Interprétation géométrique : branche parabolique. Question 3a : Vérifier $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = 0$ pour montrer que $y = x$ est asymptote. Question 3b : Étudier le signe de $f(x) - x = x[(e^x - 1)^2 - 1]$ en fonction du signe de $(e^x - 1)^2 - 1 = (e^x - 2) e^x$ (après factorisation). Question 4a : Dériver $f(x) = x(e^x - 1)^2$ par la règle du produit. Question 4b : Montrer que $f'(x) \geq 0$ en analysant chaque facteur. Question 4c : Tableau : $f$ croissante sur $\mathbb{R}$, minimum en $x = 0$ avec $f(0) = 0$. Question 5a : Dériver $f'(x)$ pour obtenir $f''(x)$. Question 5b : Utiliser la courbe de $g$ fournie pour lire les signes. Question 5c : Étudier le signe de $f''(x) = e^x(2 + 4x + g(x))$ et trouver où $f''(x) = 0$ (points d'inflexion). Question 7a : Puisque $f$ est strictement…
• NATIONAL 2022 · normale10 pts
  Partie A.

  1. Vérifier que pour tout $x \in [0,+\infty[$ :

  $\frac{1}{x+1} = 1 - x + \frac{x^2}{x+1}$ puis en déduire que : $\forall x \in [0,+\infty[,\quad 0 \le x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ln(1+x) \le \frac{x^4}{4}$ Partie B. On considère la fonction $f$…
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  Partie A : identité vérifiée par division ; encadrement obtenu par intégration entre $0$ et $x$. Partie B : $f$ continue et dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0)=-\frac13$ ; $\lim_{+\infty}f=0$, asymptote $y=0$ ; $f$ décroissante sur $I$ (car $g\ge0$ donc $f'\le0$). Partie C : $\alpha$ existe et est unique dans $]0,1[$ ; $(u_n)$ converge vers $\alpha$. Partie D : $F'(x)=f(x)$ ; $\int_0^1 f(t)dt = 2\ln2 -1$ ; aire $=4\ \mathrm{cm}^2$. Partie E : $0\le S_n\le \frac12$ ; $(S_n)$ monotone donc convergente vers $\ell$ avec $\frac12-2\ln2\le\ell\le\frac12$.

  ce que le barème veut ·

  A) Décomposer $\frac{1}{x+1}$ par division euclidienne polynomiale pour obtenir l'identité, puis intégrer l'inégalité obtenue en dérivant terme à terme (comparaison de dérivées) entre $0$ et $x$ pour obtenir l'encadrement demandé, en primitivant plusieurs fois. B) 1) Calculer $\lim_{x\to0^+} f(x)$ via un DL de $\ln(1+x)$ pour montrer la continuité ; calculer le taux d'accroissement en $0$ à l'aide d'un DL à l'ordre 3 pour la dérivabilité à droite. Pour la limite en $+\infty$, factoriser et utiliser $\ln(1+x)/x^2 \to 0$ : $f(x)\to 0$, d'où asymptote horizontale $y=0$. 2) Dériver $f$ pour $x>0$ : on trouve $f'(x)=-g(x)/x^3$ avec $g$ défini. Étudier $g$ : $g(0)=0$, $g'(x)=$ expression positive (à partir de l'inégalité de la partie A), donc $g\ge0$ sur $I$, et l'encadrement de la partie A donne $g(x)\le x^3/3$. Donc $f'(x)\le0$ : $f$ décroissante. 3) Tableau de variation décroissant de $f(0)=1/2$ vers $0$ ; tracer la courbe en conséquence. C) 1) Étudier $h(x)=f(x)-x$ : continue, strictement décroissante, changement de signe entre $0$ et $1$ (TVI + stricte monotonie) donc unique solution $\alpha$. 2) Montrer par récurrence que $u_n\in]0,1[$ en utilisant que $f$ envoie $]0,1[$ dans…
• NATIONAL 2021 · rattrapage8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 - xe^{-x}$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.
  2. a)…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ : la droite $y = 2$ est asymptote horizontale à droite.
  2. a) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $xe^{-x} \to -\infty$ quand $x \to -\infty$). b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$ : la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  3. a) $f'(x) = -e^{-x} - (-1)e^{-x} = (x-1)e^{-x}$ (vérification par calcul). b) Tableau : $f$ décroît sur $]-\infty, 1[$, atteint un minimum $f(1) = 2 - e^{-1} \approx 1,63$ en $x = 1$, puis croît sur $]1, +\infty[$.
  4. a) $f''(x) = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = (2-x)e^{-x}$. b) $f''(2) = 0$ et $f''$ change de signe en $x = 2$ : point d'inflexion à $(2, f(2))$.
  5. Courbe tracée avec asymptote $y = 2$, minimum en $(1, 2-e^{-1})$, point d'inflexion en $(2, \approx 1,25)$.
  6. Minimum : $f(1) = 2 - e^{-1}$. Donc $f(x) \geq 2 - e^{-1}$ pour tout $x$. On en déduit $2 - e^{-x} > x$ (puisque $f(x) = 2 - xe^{-x} > x$).
  7. a) $\int_0^2 xe^{-x} \, dx = [-xe^{-x}]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} \, dx = -2e^{-2} + [-e^{-x}]_0^2 = -2e^{-2} - e^{-2} + 1 = 1 - 3e^{-2}$. b)…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$ (croissance comparée). Ainsi $\lim f(x) = 2 - 0 = 2$. Question 2a : Quand $x \to -\infty$, $e^{-x} \to +\infty$ et $x \to -\infty$, donc $-xe^{-x} \to -\infty$. Question 2b : $\frac{f(x)}{x} = 2/x - e^{-x}$. Quand $x \to -\infty$ : $2/x \to 0$ et $-e^{-x} \to -\infty$. Branche parabolique de direction asymptotique l'axe des $y$. Question 3a : Dérivée de $2$ est $0$, dérivée de $-xe^{-x}$ est $-(e^{-x} + x(-e^{-x})) = -(e^{-x} - xe^{-x}) = (x-1)e^{-x}$. Question 3b : $f' > 0$ ssi $x > 1$, $f' < 0$ ssi $x < 1$. Minimum global en $x = 1$. Question 4a : Dériver $(x-1)e^{-x}$ : $e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - (x-1)) = (2-x)e^{-x}$. Question 4b : $f''(2) = 0$ ; $f''(x) > 0$ pour $x < 2$ (convexe), $f''(x) < 0$ pour $x > 2$ (concave). Point d'inflexion en $x = 2$. Question 5 : Tracer avec les informations : asymptote $y = 2$, minimum $(1, 2-1/e)$, inflexion $(2, \approx 1,25)$, branche parabolique à gauche. Question 6 : Le minimum de $f$ est atteint en $x = 1$ : $m = 2 - e^{-1} \approx 1,632$. Pour tout $x$ : $2 - xe^{-x} \geq 2 - e^{-1} > x$ (vérifier…
• NATIONAL 2021 · normale9 pts
  Problème Soit la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(0) = 0$ et $f(x) = 2x\ln x - 2x$ si $x > 0$. On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Montrer que $f$ est continue à droite au point…
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  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (2x\ln x - 2x) = 0 = f(0)$, donc $f$ est continue à droite en 0.
  2. a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car le terme dominant est $2x\ln x$) b) La courbe $(C)$ s'élève vers $+\infty$
  3. a) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (2\ln x - 2) = +\infty$ : branche parabolique de direction asymptotique $\vec{j}$ b) $f'(x) = 2\ln x + 2 - 2 = 2\ln x$ pour $x > 0$ c) Tableau : $f$ décroissante sur $]0, 1[$, croissante sur $]1, +\infty[$, minimum en $x=1$ avec $f(1) = -2$
  4. a) $f(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ ou $x = e$ ; $f(x) = x \Rightarrow 2x\ln x - 3x = 0 \Rightarrow x = 1$ ou $x = e^{3/2}$ b) Graphique à tracer avec tangente horizontale en $x=1$, points $(1,0)$, $(e, 0)$, demi-tangente verticale en 0
  5. a) $\int_1^e x\ln x \, dx = \left[\frac{x^2\ln x}{2}\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2} dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$ b) $\int_0^e f(x) \, dx = 2 \cdot \frac{e^2 + 1}{4} - 2 \cdot \frac{e^2}{2} = \frac{e^2 + 1}{2} - e^2 = \frac{1 - e^2}{2}$
  6. a) Minimum de $f$ : $f(1) = -2$ b) Pour $x \geq 1$ : $f(x) \geq f(1) = -2 > x - 1$…

  ce que le barème veut ·

  1) Pour $x > 0$, $f(x) = 2x\ln x - 2x$. Utiliser $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ (limite classique). Alors $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0 = 0 = f(0)$. 2) a) Le terme $2x\ln x$ domine quand $x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$ b)** Interprétation : la courbe monte vers l'infini sans asymptote horizontale 3) a) $\frac{f(x)}{x} = 2\ln x - 2 \to +\infty$ : direction asymptotique verticale (branche parabolique) b)** Dérivée : $f'(x) = 2\ln x + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x - 2 = 2\ln x + 2 - 2 = 2\ln x$ c)** Signe de $f'(x)$ : négatif pour $x < 1$, nul en $x=1$, positif pour $x > 1$. Minimum : $f(1) = 2(1)(0) - 2 = -2$ 4) a) $f(x) = 0 \Rightarrow 2x\ln x = 2x \Rightarrow \ln x = 1$ (si $x > 0$) $\Rightarrow x = e$, ou $x = 0$. Vérifier $x=1$ : $f(1) = -2 \neq 0$. $f(x) = x \Rightarrow 2x\ln x - 2x = x \Rightarrow 2x\ln x = 3x \Rightarrow \ln x = 3/2$ (si $x > 0$) $\Rightarrow x = e^{3/2}$. Vérifier aussi $x=1$ : $f(1) = -2 \neq 1$. b)** Construction : placer les points clés, tangente horizontale en $x=1$, asymptote parabolique 5) a) Intégration par parties : $u = \ln x, \, dv = x \, dx$. Alors…