Situer la courbe par rapport à une droite

À tenir avant

• Justifier une asymptote oblique

Cette méthode au national

1 question d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2017 · normale1 pts
  4. a) Résoudre dans l'intervalle $]0,+ \infty[$ l'équation $1-\frac{2}{x} \ln x = 0$ b) En déduire que la courbe $(C)$ coupe la droite $(D)$ en deux points dont on déterminera les coordonnées. c) Montrer que $f(x) \le x$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1, 2]$ et en…
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  4. a) Résolvons l'équation $1-\frac{2}{x} \ln x = 0$ dans $]0,+ \infty[$. $1 = \frac{2\ln x}{x}$ $x = 2\ln x$ $x - 2\ln x = 0$ Soit $h(x) = x - 2\ln x$. On cherche les racines de $h(x)$. On peut tester des valeurs simples: $x=1 \implies 1 - 2\ln 1 = 1 - 0 = 1 \ne 0$. $x=2 \implies 2 - 2\ln 2 = 2(1 - \ln 2) \ne 0$. $x=e \implies e - 2\ln e = e - 2 \ne 0$.

  L'équation dans le PDF est $1-\frac{2}{x} \ln x = 0$. Il semble y avoir une erreur de transcription dans l'énoncé actuel fourni, car l'équation $f(x)=x$ est $x + (1 - \frac{2}{x})\ln x = x \implies (1 - \frac{2}{x})\ln x = 0$. Reprenons avec l'énoncé du PDF: $1-\frac{2}{x} \ln x = 0$. C'est une équation différente de $(1 - \frac{2}{x})\ln x = 0$. Si l'équation est $1-\frac{2}{x} \ln x = 0$: $x = 2\ln x$. Pour résoudre $x = 2\ln x$, on peut étudier la fonction $k(x) = x - 2\ln x$. $k'(x) = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}$. $k'(x) = 0 \implies x=2$. $k(2) = 2 - 2\ln 2 = 2(1-\ln 2) \approx 2(1-0.693) = 2(0.307) = 0.614 > 0$. $\lim_{x\to 0^+} k(x) = \lim_{x\to 0^+} (x - 2\ln x) = 0 - 2(-\infty) = +\infty$.…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Solve the equation $(1-\frac{2}{x}) \ln x = 0$ by setting each factor to zero. (Assuming the equation is $(1-\frac{2}{x}) \ln x = 0$ as it relates to $f(x)-x=0$).
  2. b) The intersection points of $(C)$ and $(D)$ are the solutions to $f(x)=x$. Use the results from part a) to find the x-coordinates, then calculate the corresponding y-coordinates.
  3. c) Analyze the sign of $f(x)-x = (1-\frac{2}{x}) \ln x$ on the interval $[1, 2]$ by examining the sign of each factor. Conclude the relative position of the curve and the line.