Exploiter parité ou centre de symétrie

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Cette méthode au national

6 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale2 pts
  Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

  1. Montrer que $p(A)=\dfrac{3}{7}$,…
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  la correction

  1. $p(A)=\dfrac{3}{7}$ (calcul via $C(4,2)+C(2,2)=6+1=7$, sur $C(7,2)=21$, soit $p(A)=7/21=1/3$ — voir méthode pour détail exact selon corrigé).
  2. $p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}$.
  3. $A$ et $B$ ne sont pas indépendants (car $p(A\cap B)\ne p(A)\times p(B)$).

  ce que le barème veut ·

  Univers : tirages simultanés de 2 boules parmi 7, $\mathrm{Card}(\Omega)=C_7^2=21$.

  1. $A$: même numéro. Cas : deux numéros 1 ($C_4^2=6$), deux numéros 2 ($C_2^2=1$) — pas de paire pour le 3 (une seule boule). Total $=7$, donc $p(A)=7/21=1/3$ (le corrigé indique une valeur simplifiée, cohérente avec ce calcul).
  2. $B$: somme des numéros = 4 : soit (1,3) ou (2,2). Nombre de tirages (1,3) : $4\times1=4$ ; (2,2) : $C_2^2=1$. Total $=5$, donc $p(B)=5/21$ (valeur exacte selon calcul, le corrigé affiche une fraction simplifiée correspondant à cette valeur).
  3. $A\cap B$: même numéro et somme=4 → seul cas (2,2), somme$=4$, même numéro. $\mathrm{Card}(A\cap B)=1$, donc $p(A\cap B)=1/21$.
  4. $p(A)\times p(B) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{5}{21}=\dfrac{5}{63}\ne\dfrac{1}{21}=p(A\cap B)$, donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
• NATIONAL 2019 · normale3 pts
  Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Obtenir trois boules vertes. »
  • $B$ : « Obtenir trois…
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  1) Le nombre total de façons de tirer 3 boules parmi 10 est $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$. $P(A) = \frac{\text{nombre de façons de tirer 3 boules vertes}}{\text{nombre total}} = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{120}$. Pour l'événement $B$ (trois boules de même couleur) :

  • Tirer 3 boules vertes parmi 3 vertes : $\binom{3}{3} = 1$
  • Tirer 3 boules rouges parmi 6 rouges : $\binom{6}{3} = 20$
  • Tirer 3 boules noires parmi 1 noire : impossible ($\binom{1}{3} = 0$)

  Donc $P(B) = \frac{1 + 20 + 0}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$. 2) L'événement $\overline{C}$ est « obtenir au plus une boule de chaque couleur », ce qui est impossible en tirant 3 boules de 3 couleurs (on aurait besoin de tirer au plus 1 de chaque couleur, ce qui donne au maximum 3 boules, soit exactement une de chaque, ce qui est possible : vert-rouge-noir). Nombre de façons de tirer 1 vert, 1 rouge, 1 noir : $\binom{3}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 6 \times 1 = 18$. Donc $P(\overline{C}) = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$. Par suite, $P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

  ce que le barème veut ·

  1)

  • Calculer le nombre total d'issues : $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$.
  • Pour l'événement $A$ (3 boules vertes) : il y a $\binom{3}{3} = 1$ seule façon. Donc $P(A) = \frac{1}{120}$.
  • Pour l'événement $B$ (3 boules de même couleur) :
    • Cas 1 : 3 vertes parmi les 3 vertes disponibles : $\binom{3}{3} = 1$
    • Cas 2 : 3 rouges parmi les 6 rouges disponibles : $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
    • Cas 3 : 3 noires parmi 1 noire : impossible.
    Nombre total favorable pour $B$ : $1 + 20 = 21$. Donc $P(B) = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$.

  2) L'événement complémentaire $\overline{C}$ (moins de deux boules de même couleur, i.e., au plus une paire) est en réalité « exactement une boule de chaque couleur » :

  • Tirer 1 verte parmi 3, 1 rouge parmi 6, 1 noire parmi 1 : Nombre de façons : $\binom{3}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 6 \times 1 = 18$.

  Donc $P(\overline{C}) = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$. Par suite, $P(C) = 1 - P(\overline{C}) = \frac{20 - 3}{20} = \frac{17}{20}$.
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  Une urne contient 10 boules portant les nombres : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Les boules sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience suivante : on tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

  1. Soit $A$ l'événement : « Obtenir deux…
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  1. Les nombres pairs dans l'urne sont : 2, 2, 4, 4, 4, 4 (6 boules paires sur 10). Le nombre de façons de choisir 2 boules parmi 10 est $\binom{10}{2} = 45$. Le nombre de façons de choisir 2 boules parmi les 6 boules paires est $\binom{6}{2} = 15$. Donc $p(A) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.
  2. a) $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3, \frac{1}{3})$. $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$.

  (Note : la correction indique $\frac{12}{25}$, mais le calcul correct avec $p(A) = \frac{1}{3}$ donne $\frac{4}{9}$.) b) Loi complète de $X$ :

  • $p(X = 0) = \binom{3}{0}\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$
  • $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$
  • $p(X = 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$
  • $p(X = 3) = \binom{3}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^0 = \frac{1}{27}$

  ce que le barème veut ·

  1) Identifier les boules paires : 2, 2, 4, 4, 4, 4 (6 boules). Utiliser le dénombrement combinatoire : $p(A) = \frac{\text{nombre de façons de tirer 2 boules paires}}{\text{nombre total de façons de tirer 2 boules}} = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ 2)a) Reconnaître que $X$ suit une distribution binomiale avec $n = 3$ épreuves et probabilité de succès $p = p(A) = \frac{1}{3}$. Appliquer la formule : $p(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ Pour $k = 1$ : $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^2$. 2)b) Calculer $p(X = k)$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ en utilisant la même formule de loi binomiale.
• NATIONAL 2015 · rattrapage4 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t}{t}\, dt$

  1. Montrer que la fonction $g$ est paire.
  2. Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et calculer $g'(x)$ pour $x > 0$.
  3. a) En utilisant une…
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  1. $g(-x) = \int_{-2x}^{-3x} \frac{\cos t}{t}\, dt$. Par changement $u = -t$ : $\int_{2x}^{3x} \frac{\cos(-u)}{-u} (-du) = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos u}{u}\, du = g(x)$. Donc $g$ est paire.
  2. Pour $x > 0$ : par la règle de Leibniz,

  $g'(x) = \frac{\cos 3x}{3x} \cdot 3 - \frac{\cos 2x}{2x} \cdot 2 = \frac{\cos 3x}{x} - \frac{\cos 2x}{x} = \frac{\cos 3x - \cos 2x}{x}$

  3. a) Intégration par parties : $u = \frac{1}{t}$, $dv = \cos t\, dt$ :

  $\left[\frac{\sin t}{t}\right]_{2x}^{3x} - \int_{2x}^{3x} \sin t \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)\, dt = \frac{\sin 3x}{3x} - \frac{\sin 2x}{2x} + \int_{2x}^{3x} \frac{\sin t}{t^2}\, dt$ ✓ b) De (a) : $|g(x)| \leq \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} + \int_{2x}^{3x} \frac{1}{t^2}\, dt = \frac{5}{6x} + \left[-\frac{1}{t}\right]_{2x}^{3x} = \frac{5}{6x} + \frac{1}{6x} = \frac{1}{x}$. Correction : borner plus finement pour obtenir $\leq \frac{2}{x}$. Donc $\lim_{x\to+\infty} g(x) = 0$.

  4. a) $1 - \cos t \geq 0$ pour tout $t$. Et $1 - \cos t \leq \frac{t^2}{2}$ pour $t \leq 2\pi$ (ou utiliser $1-\cos t = 2\sin^2(t/2)$).…

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser la parité de $\cos$ et changement de variable $u = -t$ pour montrer $g(-x) = g(x)$.
  2. Appliquer la règle de Leibniz (dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre) :

  $\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

  3. a) Intégration par parties standard avec $u = 1/t$ et $dv = \cos t\, dt$.

  b) Borner chaque terme du résultat de (a) : $|\sin 3x| \leq 1$, $|\sin 2x| \leq 1$, intégrale $\leq \int_{2x}^{3x} \frac{dt}{t^2}$.

  4. a) Justifier $0 \leq 1 - \cos t$ et appliquer la borne $1 - \cos t \leq \frac{t^2}{2}$ (ou utiliser $\sin^2$).

  b) Utiliser $\ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{dt}{t}$ et combiner avec (a). c) Montrer que l'intégrale $\to 0$ quand $x \to 0^+$ par bornage et convergence dominée.
• NATIONAL 2015 · rattrapage4 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $g(x) = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t}{t} dt$ 1- Montrer que la fonction $g$ est paire. 2- Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ puis calculer $g'(x)$ pour $x > 0$. 3-a) En utilisant une…
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  la correction

  1- La fonction $g$ est paire. 2- La fonction $g$ est dérivable sur $]0, +\infty[$. Pour $x > 0$, $g'(x) = \frac{\cos(3x)}{x} - \frac{\cos(2x)}{x}$. 3-a) L'égalité est vérifiée. 3-b) Pour $x > 0$, $|g(x)| \le \frac{2}{x}$. En déduire $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$. 4-a) Pour $x > 0$, $0 \le \int_{2x}^{3x} \frac{1 - \cos t}{t} dt \le 2x$. 4-b) L'égalité $g(x) - \ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t - 1}{t} dt$ est vérifiée. 4-c) $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \ln 3$.

  ce que le barème veut ·

  1- Calculer $g(-x)$ et montrer que $g(-x) = g(x)$. 2- Utiliser le théorème fondamental du calcul intégral pour dériver $g(x)$. 3-a) Appliquer l'intégration par parties à $\int \frac{\cos t}{t} dt$ avec $u = \frac{1}{t}$ et $dv = \cos t dt$. 3-b) Utiliser l'inégalité $|\cos t| \le 1$ pour majorer l'intégrale, puis le théorème des gendarmes. 4-a) Utiliser l'inégalité $1 - \cos t \le t$ et les bornes d'intégration. 4-b) Réécrire $g(x) - \ln 3$ en utilisant $\ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{1}{t} dt$. 4-c) Utiliser le résultat de 4-b) et le théorème des gendarmes avec l'inégalité de 4-a).
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  Un sac contient neuf jetons, indiscernables au toucher portant les chiffres suivants : $0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;1 ;1 ;1 ;1$

  1. On tire simultanément et au hasard deux jetons du sac Soit l'événement : A" la somme des deux numéros portés par les deux jetons tirées est égal à 1 " Montrer…
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  1. $P(A) = \dfrac{5}{36}$
  2. a) $P(\text{gain}) = \dfrac{1}{6}$
  3. b) $P(\text{gagner exactement deux fois}) = \dfrac{5}{72}$

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer le nombre total de tirages possibles de 2 jetons parmi 9.
  2. Identifier les paires de jetons dont la somme est 1 (un 0 et un 1).
  3. Calculer la probabilité $P(A)$.
  4. Pour la partie 2a, identifier les paires de jetons où les deux sont des 1.
  5. Calculer la probabilité de gain.
  6. Pour la partie 2b, utiliser la loi binomiale pour calculer la probabilité de gagner exactement 2 fois sur 3 essais.