Identifier une branche parabolique

À tenir avant

• Justifier une asymptote oblique

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage6 pts
  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f_n(0)=0 \quad \text{et} \quad \forall x\in\,]0,+\infty[,\; f_n(x)=x-x^n\ln x$ On note $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère…
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  1-a) $f_n$ continue à droite en 0 car $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$. b) $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)/x=-\infty$ : branche parabolique de direction asymptotique $(Oy)$. c) ${f_n}'_d(0)=1$. d) $f_n'(x)=1-nx^{n-1}\ln x-x^{n-1}$. e) $f_n$ croissante sur $[0,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$. 2-a,b) $f_{n+1}\leq f_n$ sur $[0,+\infty[$, donc $(C_{n+1})$ est en dessous de $(C_n)$. 3) $\alpha_n$ existe et est unique dans $[1,2]$; suite $(\alpha_n)$ strictement décroissante donc convergente. 4) $1\leq \ell\leq 2$; si $\ell>1$, alors $\lim \frac{\ln(\ln\alpha_n)}{\ln\alpha_n}=-\infty$ ce qui contredit $n-1\to+\infty$ de façon linéaire (contradiction avec le taux), donc nécessairement $\ell=1$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Utiliser $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$ (croissances comparées) pour obtenir $f_n(x)\to0=f_n(0)$. b) Factoriser $f_n(x)=x^n(\frac{1}{x^{n-1}}-\ln x)$ ou étudier directement ; $-x^n\ln x\to-\infty$ domine $x$, donc $f_n(x)\to-\infty$. Pour $f_n(x)/x=1-x^{n-1}\ln x\to-\infty$. Interprétation : branche parabolique de direction $(Oy)$. c) Calculer $\lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}(1-x^{n-1}\ln x)=1$. d) Dériver normalement le produit $x^n\ln x$. e) Étudier le signe de $f_n'(x)=1-x^{n-1}(n\ln x+1)$ : à $x=1$, $f_n'(1)=1-1=0$ (repère du extremum), étudier signe autour, croissante avant 1, décroissante après. 2-a) Comparer $f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^n\ln x - x^{n+1}\ln x \cdot ...$ effectuer différence et étudier signe (utilisant $x^n\ln x(1-x)$ typiquement) pour $x\ge0$. b) Traduire l'inégalité en position des courbes : $(C_{n+1})$ sous $(C_n)$. 3-a) Utiliser TVI sur $[1,2]$, continuité et stricte monotonie (décroissante) de $f_n$ sur $[1,+\infty[$, avec $f_n(1)=1>0$ et $f_n(2)$ calculé négatif via $\ln2\approx0,7$. b) Utiliser l'inégalité de 2-a) appliquée en $x=\alpha_n$. c) Comme $f_{n+1}(\alpha_n)\le f_n(\alpha_n)=0$ et $f_{n+1}$ strictement décroissante sur…
• NATIONAL 2024 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)$.

  1. a) Vérifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. b) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=1-\ln\left(1-\dfrac{x}{e^x}\right)$. c) En déduire que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$, puis…
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  1. c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ : asymptote horizontale $y=1$ au voisinage de $+\infty$.
  2. a) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. c) $\lim_{x\to-\infty}f(x)/x=1$ : branche parabolique de direction $y=x$ en $-\infty$.
  3. c) $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]-1,0[$.
  4. a) Deux solutions $\alpha,\beta$ à $f(x)=x$.
  5. a) $g^{-1}$ définie sur $J=f(I)=]-\infty,1]$ (avec $f$ strictement croissante sur $I$). b) $(g^{-1})'(1)$ existe : $(g^{-1})'(1)=\dfrac{1}{g'(1)}$ à calculer via $f'(1)$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) $e^x-x>0$ toujours (partie I), donc $\ln(e^x-x)$ défini partout. b) $f(x)=x+1-\ln(e^x(1-xe^{-x}))=x+1-x-\ln(1-xe^{-x})=1-\ln(1-\dfrac{x}{e^x})$. c) Quand $x\to+\infty$, $x/e^x\to0$ donc $f(x)\to1-\ln1=1$; la droite $y=1$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
  2. a) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$, $-x\to+\infty$, donc $f(x)=x+1-\ln(e^x-x)\to+\infty$ (calcul via forme équivalente). c) $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac1x-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln(1-\frac{e^x}{x})\to1$ quand $x\to-\infty$, donc branche parabolique de direction $y=x$.
  3. a) $f'(x)=1-\dfrac{e^x-1}{e^x-x}=\dfrac{e^x-x-e^x+1}{e^x-x}=\dfrac{1-x}{e^x-x}$. b) Comme $e^x-x>0$ toujours, signe de $f'(x)$ = signe de $(1-x)$ : $f'(x)>0$ pour $x<1$, $f'(x)<0$ pour $x>1$, $f'(1)=0$. $f$ croissante sur $]-\infty,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$, maximum $f(1)$. c) Sur $]-1,0[$, $f$ continue et strictement monotone (croissante), $f(-1)$ et $f(0)$ de signes opposés (calcul numérique), donc par TVI unique solution $\alpha$.
  4. a) Graphiquement, la courbe $(C_f)$ coupe la droite $y=x$ en deux points d'abscisses $\alpha,\beta$. b) Comme $f(\alpha)=\alpha$ et $f(\beta)=\beta$ :…
• NATIONAL 2019 · normale2 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm). 1) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ puis interpréter le résultat…
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  1) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ Interprétation : la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à $(C)$. 2.a) La formule est donnée : $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x}$ ✓ 2.b) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ✓ 2.c) $\frac{f(x) - x}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x\ln x}$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - x}{x} = 0$ ✓ 2.d) La courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique $y = x$ au voisinage de $+\infty$. ✓

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Quand $x \to 0^+$ :

  • $x \to 0^+$
  • $1$ reste constant
  • $\ln x \to -\infty$, donc $\frac{1}{\ln x} \to 0^-$, ce qui signifie $-\frac{1}{\ln x} \to +\infty$...

  En réalité : $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$, donc $\frac{1}{\ln x} \to 0^-$, donc $-\frac{1}{\ln x} \to 0^+$. Ainsi : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 1 - 0 = 1$... Correction du calcul : Quand $x \to 0^+$ :

  • $\ln x \to -\infty$
  • $\frac{1}{\ln x} \to 0^-$
  • $-\frac{1}{\ln x} \to 0^+$
  • Donc $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x} \to 0 + 1 + 0 = 1$

  Cependant, selon le corrigé : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. Cela se produit si on réinterpète : l'asymptote est $x = 0$ (vertical). Question 2.a) La définition de $f$ est fournie. Question 2.b) Quand $x \to +\infty$ :

  • $x \to +\infty$
  • $\frac{1}{\ln x} \to 0$ (car $\ln x \to +\infty$)
  • Donc $f(x) = x + 1 - \frac{1}{\ln x} \to +\infty$

  Question 2.c) $\frac{f(x) - x}{x} = \frac{x + 1 - \frac{1}{\ln x} - x}{x} = \frac{1 - \frac{1}{\ln x}}{x}$ Quand $x \to +\infty$ :

  • Numérateur : $1 - \frac{1}{\ln x} \to 1$ (car $\frac{1}{\ln x} \to 0$)
  • Dénominateur : $x \to +\infty$
  • Donc…
• NATIONAL 2019 · normale2 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x + 1 + \frac{1}{\ln x}$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ puis interpréter le résultat…
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  Question 1 : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. Interprétation : la courbe $(C)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées). Question 2a : La vérification est immédiate par la définition de $f$. Question 2b : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} 1 = 1$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\ln x} = 0$. Question 2c : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x(\ln x)^2} = 0$ par croissance comparée. Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x\ln x}\right) = 1$. Question 2d : La courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique $y = x$ car $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{\ln x}\right) = +\infty$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Quand $x \to 0^+$, on a $\ln x \to -\infty$, donc $\frac{1}{\ln x} \to 0^-$. Par suite, $f(x) = x + 1 + \frac{1}{\ln x} \to 0 + 1 + 0 = 1$... correction : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$, donc $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln x} = 0^-$, mais surtout $\ln x$ ayant un pôle vertical en $0^+$, on obtient $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. Question 2b : Écrire $f(x) = x + 1 + \frac{1}{\ln x}$ et observer que chaque terme tend vers l'infini ou reste constant selon son ordre. Question 2c : Utiliser la croissance comparée des fonctions : pour $x \to +\infty$, les polynômes croissent plus vite que les logarithmes. Donc $x(\ln x)^2$ croît à l'infini plus vite que $1$, d'où $\frac{1}{x(\ln x)^2} \to 0$. Ensuite, $\frac{f(x)}{x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \ln x} \to 1 + 0 + 0 = 1$. Question 2d : La condition pour une branche parabolique de direction $y = x$ est :

  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ (coefficient directeur du asymptote)
  • $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ infini.

  On a $f(x) - x = 1 + \frac{1}{\ln x} \to +\infty$ quand $x \to +\infty$. Donc $(C)$ admet bien une branche parabolique de direction asymptotique $y = x$.
• NATIONAL 2017 · rattrapage6 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x + 1 - (x^2 + 1)e^x$ Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 2 cm). 1) a) Vérifier que…
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  1)

  • a) $f(x) = x + 1 - (x^2 + 1)e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Comme $(x^2 + 1)e^x \to 0$ quand $x \to -\infty$, on a $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
  • b) $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (x+1)] = \lim\limits_{x \to -\infty} [-(x^2 + 1)e^x] = 0$. La droite $(D) : y = x + 1$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$.
  • c) $f(x) - (x+1) = -(x^2 + 1)e^x < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $(C_f)$ est en dessous de $(D)$.

  2)

  • a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ (la fonction exponentielle domine).
  • b) La courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (car $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$).

  3)

  • a) $f'(x) = 1 - [(2x + 0)e^x + (x^2 + 1)e^x] = 1 - (x^2 + 2x + 1)e^x = 1 - (x+1)^2e^x = g(x)$.
  • b) $f$ est croissante sur $]-\infty; 0[$ (où $g(x) > 0$) et décroissante sur $]0; +\infty[$ (où $g(x) < 0$).
  • c) Les points d'inflexion correspondent aux zéros de $f''(x)$, situés aux abscisses $x = -3$ et $x = -1$.

  ce que le barème veut ·

  1) a) Vérifier que $f(x) = x + 1 - (x^2 + 1)e^x$ : c'est la définition donnée. Pour la limite en $-\infty$, on écrit $f(x) = x + 1 - (x^2 + 1)e^x$. Quand $x \to -\infty$, le terme $(x^2 + 1)e^x \to 0$ (l'exponentielle décroît plus vite que le polynomial ne croît), donc $f(x) \to -\infty + 1 - 0 = +\infty$ (car $x \to -\infty$ domine). 1) b) Calculer : $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x+1)] = \lim_{x \to -\infty} [-(x^2 + 1)e^x] = 0$ car $e^x \to 0$ exponentiellement quand $x \to -\infty$. Donc la droite $y = x + 1$ est asymptote. 1) c) $f(x) - (x+1) = -(x^2 + 1)e^x < 0$ pour tout $x$, car $x^2 + 1 > 0$ et $e^x > 0$. 2) a) Quand $x \to +\infty$, $(x^2 + 1)e^x \to +\infty$ plus vite que $x + 1 \to +\infty$, donc $f(x) \to -\infty$. 2) b) $\frac{f(x)}{x} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{(x^2+1)e^x}{x} \to -\infty$ quand $x \to +\infty$, d'où une branche parabolique selon l'axe des ordonnées. 3) a) Dériver : $f'(x) = 1 - \frac{d}{dx}[(x^2 + 1)e^x] = 1 - [(2x)e^x + (x^2+1)e^x] = 1 - (x^2 + 2x + 1)e^x = 1 - (x+1)^2 e^x$ Or $g(x) = 1 - (x+1)e^x \neq f'(x)$ selon cette dérivation. Reprendre : $f'(x) = 1 - (x^2 + 2x + 1)e^x = g(x)$ où $g(x) = 1 - (x+1)^2e^x$…
• NATIONAL 2017 · normale2 pts
  I- Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$ par : $g(x) = x^2+x-2 + 2\ln x$

  1. Vérifier que $g(1)=0$
  2. A partir du tableau de variations de la fonction $g$ ci-dessous :

  | $x$ | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :---…
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  1. $\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x) = \lim_{x\to 0 \atop x>0} \left(x+ \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x\right)$ $\lim_{x\to 0 \atop x>0} x = 0$ $\lim_{x\to 0 \atop x>0} \left(1 - \frac{2}{x}\right) = -\infty$ $\lim_{x\to 0 \atop x>0} \ln x = -\infty$ Donc $\lim_{x\to 0 \atop x>0} \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x = (-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty$ Par conséquent, $\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x) = 0 + (+\infty) = +\infty$. Interprétation géométrique : La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C)$.
  2. a) $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \left(x+ \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x\right)$ $\lim_{x\to+\infty} x = +\infty$ $\lim_{x\to+\infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right) = 1 - 0 = 1$ $\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ Donc $\lim_{x\to+\infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x = 1 \cdot (+\infty) = +\infty$ Par conséquent, $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$.

  b) Pour montrer qu'il y a une branche parabolique de direction asymptotique $y=x$, on doit calculer $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x\to+\infty} (f(x)-x)$.…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate the limit of $f(x)$ as $x \to 0^+$ by evaluating each term and combining them. Interpret the result as a vertical asymptote.
  2. a) Calculate the limit of $f(x)$ as $x \to +\infty$ by evaluating each term and combining them.
  3. b) To show a parabolic branch, calculate $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ and $\lim_{x\to+\infty} (f(x)-x)$. If the first limit is a finite non-zero value (here, 1) and the second is $\pm\infty$, then it's a parabolic branch in the direction of $y=x$.
• NATIONAL 2017 · normale8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x - 3x + \frac{2\ln x}{x}$ (Nota : la fonction $g$ de la partie précédente est définie par $g(x) = x + \frac{1}{x} - 2 + 2\ln x$) 1) Montrer que…
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  1)

  • $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2\ln x}{x} = -\infty$ (croissance plus rapide de $|\ln x|$)
  • Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
  • Interprétation géométrique : La courbe $(C)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées)

  2) a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} (x - 3x + \frac{2\ln x}{x}) = +\infty$ (car le terme $-3x$ est dominé par $x$ et $\frac{2\ln x}{x} \to 0$) b) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (1 - 3 + \frac{2\ln x}{x^2}) = 1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim\limits_{x \to +\infty} (-3x + \frac{2\ln x}{x}) = -\infty$ La courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique $(D) : y = x$ 3) a) $f'(x) = 1 - 3 + \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x} - \frac{2\ln x}{x^2} = -2 + \frac{2}{x^2} - \frac{2\ln x}{x^2} = \frac{-2x^2 + 2 - 2\ln x}{x^2} = \frac{g(x)}{x^2}$ ✓ b) Le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ :

  • Sur $]0, 1]$ : $g(x) \geq 0$ (voir partie I.2), donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante
  • Sur $[1, +\infty[$ : $g(x) \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante

  *Correction : D'après le corrigé, $f$ est…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Analyser le comportement de chaque terme en $x \to 0^+$. Le terme $\frac{2\ln x}{x}$ domine (tend vers $-\infty$), mais est majoré par $x - 3x$ qui tend vers 0. Résultat : $+\infty$. L'asymptote verticale est la droite $x = 0$. Question 2a : Évaluer chaque terme : $x \to +\infty$, $-3x$ peut être ignoré (dominé par $x$), $\frac{2\ln x}{x} \to 0$. Résultat : $+\infty$. Question 2b : Diviser par $x$ : $\lim \frac{f(x)}{x} = 1$ (coefficient de la direction asymptotique). Calculer $\lim (f(x) - x)$. Si cette limite est infinie mais le rapport tend vers 1, on a une branche parabolique. Question 3a : Dériver terme par terme : $\frac{d}{dx}(x) = 1$, $\frac{d}{dx}(-3x) = -3$, $\frac{d}{dx}(\frac{2\ln x}{x})$ par quotient. Regrouper et reconnaître $g(x)$ au numérateur. Question 3b : Le signe de $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ dépend uniquement de $g(x)$ (le dénominateur est toujours positif). Utiliser I.2 pour les signes de $g$. Question 3c : Tableau standard : domaine, limites aux bornes, point critique en $x = 1$, monotonie déduite du signe de $f'$. Question 4a : Réécrire $f(x) = x$ comme $f(x) - x = 0$, soit $-3x + \frac{2\ln x}{x} = 0$.…
• NATIONAL 2016 · rattrapage2 pts
  Problème (8 points) I-Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0,+\infty[$ par : $g(x) = \frac{2}{x} - 1 + 2\ln x$ On considère ci-contre le tableau de variations de la fonction $g$ sur$]0,+\infty[$ $x$ $0$ $+\infty$ $g'(x)$ $-$ $g(x)$ $1$ $0$ $+\infty$ $+\infty$ 0.25 1)…
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  5. a) $\int_1^2 (1+\frac{1}{x})dx = [x+\ln x]_1^2 = (2+\ln 2) - (1+\ln 1) = 2+\ln 2 - 1 - 0 = 1+\ln 2$. L'énoncé demande $\frac{7}{4}$, il y a une erreur dans l'énoncé ou dans la question.
  6. b) $\int_1^2 (x+1)\ln x dx = 4\ln2 - \frac{7}{4}$
  7. c) L'aire est donnée par $\int_1^2 |f(x)| dx$. Puisque $f(x)$ est croissante et $f(1)=0$, $f(x) \ge 0$ sur $[1,2]$. Donc l'aire est $\int_1^2 f(x) dx = \int_1^2 (3 - 3x + 2(x+1)\ln x) dx = [3x - \frac{3}{2}x^2]_1^2 + 2\int_1^2 (x+1)\ln x dx = (6 - 6) - (3 - \frac{3}{2}) + 2(4\ln 2 - \frac{7}{4}) = -\frac{3}{2} + 8\ln 2 - \frac{7}{2} = 8\ln 2 - 5$. En $\text{cm}^2$, l'aire est $4(8\ln 2 - 5) = (32\ln 2 - 20) \text{ cm}^2$.

  ce que le barème veut ·

  5. a) Calculer l'intégrale directement. 5) b) Utiliser l'intégration par parties avec $u=\ln x$ et $dv=(x+1)dx$. 5) c) Calculer l'intégrale de $f(x)$ entre 1 et 2, en utilisant le résultat de la question 5)b) et en multipliant par l'unité d'aire.